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1.

Distribución uniforme

3.

Distribución normal

5.

P(6 < x < 7)

7.

uno

9.

cero

11.

uno

13.

0,625

15.

La probabilidad es igual al área desde x = 3 2 3 2 hasta x = 4 por encima del eje x y hasta f(x) = 1 3 1 3 .

17.

Significa que el valor de x tiene la misma probabilidad de ser cualquier número entre 1,5 y 4,5.

19.

1,5 ≤ x ≤ 4,5

21.

0,3333

23.

cero

25.

0,6

27.

b es 12, y representa el valor más alto de x.

29.

seis

31.
Este gráfico muestra una distribución uniforme. El eje horizontal va de 0 a 12. La distribución se modela mediante un rectángulo que se extiende desde x = 0 hasta x = 12. En el interior del rectángulo está sombreada una región desde x = 9 hasta x = 12.
Figura 5.52
33.

4,8

35.

X = La edad (en años) de los automóviles en el estacionamiento del personal

37.

de 0,5 a 9,5

39.

f(x) = 1 9 1 9 donde x está entre 0,5 y 9,5, ambos inclusive.

41.

μ = 5

43.
  1. Compruebe la solución del estudiante.
  2. 3,5 7 3,5 7
45.
  1. Compruebe la solución del estudiante.
  2. k = 7,25
  3. 7,25
47.

No, los resultados no son igualmente probables. En esta distribución más personas requieren poco tiempo y menos personas requieren mucho tiempo, por lo que es más probable que alguien requiera menos tiempo.

49.

cinco

51.

f(x) = 0,2e–0,2x

53.

0,5350

55.

6,02

57.

f(x) = 0,75e–0,75x

59.
Este gráfico muestra una distribución exponencial. El gráfico tiene una pendiente hacia abajo. Comienza en el punto (0, 0,75) del eje y y se acerca al eje x en el borde derecho del gráfico. El parámetro de decaimiento, m, es igual a 0,75.
Figura 5.53
61.

0,4756

63.

La media es mayor. La media es 1 m = 1 0,75 1,33 1 m = 1 0,75 1,33 , que es superior a 0,9242.

65.

continuos

67.

m = 0,000121

69.
  1. Compruebe la solución del estudiante.
  2. P(x < 5.730) = 0,5001
71.
  1. Compruebe la solución del estudiante.
  2. k = 2.947,73
73.

La edad es una medida, independientemente de la exactitud utilizada.

75.
  1. X ~ U(1, 9)
  2. Compruebe la solución del estudiante.
  3. e(x)= 1 8 e(x)= 1 8 donde 1x9 1x9
  4. cinco
  5. 2,3
  6. 15 32 15 32
  7. 333 800 333 800
  8. 2 3 2 3
  9. 8,2
77.
  1. La X representa el tiempo que un viajero debe esperar a que llegue un tren en la línea roja.
  2. X ~ U(0, 8)
  3. Grafique la distribución de probabilidad.
  4. e ( x ) = 1 8 e ( x ) = 1 8 donde 0 x 8 0 x 8
  5. cuatro
  6. 2,31
  7. 1 8 1 8
  8. 1 8 1 8
  9. 3,2
79.

d

81.

b

83.
  1. La función de densidad de probabilidad de X es 1 2516 = 1 9 1 2516 = 1 9 .
    P(X > 19) = (25 – 19) ( 1 9 ) ( 1 9 ) = 6 9 6 9 = 2 3 2 3 .
    Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/9, la función de densidad de probabilidad (probability density function, pdf) para una distribución uniforme. Una línea horizontal va desde el punto (16; 1/9) hasta el punto (25; 1,9). Las líneas verticales se extienden desde el eje x hasta el gráfico en x = 16 y x = 25 y crean un rectángulo. En el interior del rectángulo hay una región sombreada desde x = 19 hasta x = 25. El texto señala que el área sombreada representa P(x > 19) = 2/3.
    Figura 5.54
  2. P(19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1 9 ) ( 1 9 ) = 3 9 3 9 = 1 3 1 3 .
    Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/9, la función de densidad de probabilidad (probability density function, pdf) para una distribución uniforme. Una línea horizontal va desde el punto (16; 1/9) hasta el punto (25; 1,9). Las líneas verticales se extienden desde el eje x hasta el gráfico en x = 16 y x = 25 y crean un rectángulo. En el interior del rectángulo hay una región sombreada desde x = 19 hasta X = 22. El texto señala que la región sombreada representa P(19< X < 22) = 1/3.
    Figura 5.55
  3. Esta debe ser 0,25, y 0,25 = (ancho) ( 1 9 ) ( 1 9 ) , por lo que la anchura = (0,25)(9) = 2,25. Así, el valor es 25 - 2,25 = 22,75.
  4. Esta es una pregunta de probabilidad condicional. P(x > 21| X > 18). Puede responderla de dos maneras:
    • Dibuje el gráfico donde a es ahora 18 y b sigue siendo 25. La altura es 1 (2518) 1 (2518) = 1 7 1 7
      Entonces, P(x > 21|x > 18) = (25 - 21) ( 1 7 ) ( 1 7 ) = 4/7.
    • Utilice la fórmula: P(x > 21|x > 18) = P(x>21 Y x>18) P(x>18) P(x>21 Y x>18) P(x>18)
      = P(x>21) P(x>18) P(x>21) P(x>18) = (2521) (2518) (2521) (2518) = 4 7 4 7 .
85.
  1. P(X > 650) = 700650 700300 = 50 400 = 1 8 700650 700300 = 50 400 = 1 8 = 0,125.
  2. P(400 < X < 650) = 650400 700300 = 250 400 650400 700300 = 250 400 = 0,625
  3. 0,10 = ancho 700300 ancho 700300 , por lo que la anchura = 400(0,10) = 40. Como 700 - 40 = 660, los conductores recorren al menos 660 millas en el 10 % de los días de recorridos más lejanos.
87.
  1. X = la vida útil de una determinada batería de automóvil medida en meses.
  2. X es continua.
  3. X ~ Exp(0,025)
  4. 40 meses
  5. 360 meses
  6. 0,4066
  7. 14,27
89.
  1. X = el tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir 60 años
  2. X es continua.
  3. X ~ Exp ( 1 5 ) ( 1 5 )
  4. cinco
  5. cinco
  6. Compruebe la solución del estudiante.
  7. 0,1353
  8. antes
  9. 18,3
91.

a

93.

c

95.

Supongamos que T = el tiempo de vida de una bombilla.

El parámetro de decaimiento es m = 1/8, y T ∼ Exp(1/8). La función de distribución acumulativa es P(T<t)=1 e t 8 P(T<t)=1 e t 8

  1. Por lo tanto, P(T < 1) = 1 – e 1 8 1 8 ≈ 0,1175.
  2. Queremos calcular P(6 < t < 10).
    Para ello, P(6 < t < 10) – P(t < 6)
    = =( 1 e 1 8 *10 )( 1 e 1 8 *6 ) =( 1 e 1 8 *10 )( 1 e 1 8 *6 ) ≈ 0,7135 – 0,5276 = 0,1859
    Este gráfico muestra una distribución exponencial. El gráfico tiene una pendiente hacia abajo. Comienza en el punto (0, 1,2) y se acerca al eje horizontal t en el borde derecho del gráfico. La región bajo el gráfico de x = 6 a x = 10 está sombreada. El texto señala que el área sombreada representa P(6 < t < 10) = 0,1859.
    Figura 5.56
  3. Queremos calcular 0,70 =P(T>t)=1( 1 e t 8 )= e t 8 . =P(T>t)=1( 1 e t 8 )= e t 8 .
    Al resolver t, e t 8 t 8 = 0,70, por lo que t 8 t 8 = ln(0,70), y t = -8ln(0,70) ≈ 2,85 años.
    O utilice t = ln(área_a_la_derecha) (m) = ln(00,70) 1 8 2.85 años ln(área_a_la_derecha) (m) = ln(00,70) 1 8 2.85 años .
    Este gráfico muestra una distribución exponencial. El gráfico tiene una pendiente hacia abajo. Comienza en el punto (0, 1,2) y se acerca al eje horizontal t en el borde derecho del gráfico. La región bajo el gráfico desde x = 2,85 hasta el borde del gráfico está sombreado. El texto señala que el área sombreada representa P(t > 2,85) = 0,70.
    Figura 5.57
  4. Queremos calcular 0,02 = P(T < t) = 1 – e t 8 t 8 .
    Al resolver t, e t 8 t 8 = 0,98, por lo que t 8 t 8 = ln(0,98), y t = -8ln(0,98) ≈ 0,1616 años, es decir, aproximadamente dos meses.
    La garantía debería cubrir las bombillas que duran menos de 2 meses.
    O utilice ln(área_a_la_derecha) (m) = ln(10,2) 1 8 ln(área_a_la_derecha) (m) = ln(10,2) 1 8 = 0,1616.
  5. Debemos hallar P(T < 8|T > 7).
    Observe que por la regla de los eventos complementarios, P(T < 8|T > 7) = 1 – P(T > 8|T > 7).
    Por la propiedad de falta de memoria (P(X > r + t|X > r) = P(X > t)).
    Así que P(T > 8|T > 7) = P(T > 1) = 1( 1 e 1 8 )= e 1 8 0,8825 1( 1 e 1 8 )= e 1 8 0,8825
    Por lo tanto, P(T < 8|T > 7) = 1 – 0,8825 = 0,1175.
97.

Supongamos que X = el número de sin batazos imparables a lo largo de una temporada. Como la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial, el número de sin batazos imparables por temporada es Poisson con media de λ = 3.
Por lo tanto, (X = 0) = 3 0 e 3 0! 3 0 e 3 0! = e–3 ≈ 0,0498

NOTA

Podría dejar que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Como el tiempo es exponencial y hay 3 sin batazos imparables por temporada, entonces el tiempo entre sin batazos imparables es 1 3 1 3 por temporada. Para la exponencial, µ = 1 3 1 3 .
Por lo tanto, m = 1 μ 1 μ = 3 y TExp(3).

  1. La probabilidad deseada es P(T > 1) = 1 – P(T < 1) = 1 – (1 – e–3) = e–3 ≈ 0,0498.
  2. Supongamos que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Hallamos P(T > 2|T > 1), y por la propiedad de falta de memoria esto es simplemente P(T > 1), que hallamos que es 0,0498 en la parte a.
  3. Supongamos que X = el número de sin batazos imparables es una temporada. Supongamos que X es Poisson con media de λ = 3. Entonces P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 0,3528.
99.
  1. 100 9 100 9 = 11,11
  2. P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10) = 1 – Poissoncdf(11,11; 10) ≈ 0,5532.
  3. El número de personas con sangre de tipo B encontradas sigue más o menos la distribución de Poisson, por lo que el número de personas X que llegan entre las sucesivas llegadas de tipo B es aproximadamente exponencial con media μ = 9 y m = 1 9 1 9 . La función de distribución acumulativa de X es P( X<x )=1 e x 9 P( X<x )=1 e x 9 . Así que, P(X > 20) = 1 – P(X ≤ 20) = 1( 1 e 20 9 )0,1084. 1( 1 e 20 9 )0,1084.

Nota

También podríamos deducir que cada persona que llega tiene una probabilidad de 8/9 de no tener sangre de tipo B. Así que la probabilidad de que ninguna de las primeras 20 personas que lleguen tenga sangre tipo B es ( 8 9 ) 20 0,0948 ( 8 9 ) 20 0,0948 . (la distribución geométrica es más apropiada que la exponencial porque el número de personas entre el tipo B es discreto en vez de continuo).

101.

Supongamos que T = la duración (en minutos) entre visitas sucesivas. Dado que los pacientes llegan a un ritmo de un paciente cada siete minutos, μ = 7 y la constante de decaimiento es m = 1 7 1 7 . La cdf es P(T < t) = 1 e t 7 1 e t 7

  1. P(T < 2) = 1 – 1 e 2 7 1 e 2 7 ≈ 0,2485.
  2. P(T > 15) = 1P( T<15 )=1( 1 e 15 7 ) e 15 7 0,1173 1P( T<15 )=1( 1 e 15 7 ) e 15 7 0,1173 .
  3. P(T > 15|T > 10) = P(T > 5) = 1( 1 e 5 7 )= e 5 7 0,4895 1( 1 e 5 7 )= e 5 7 0,4895 .
  4. Supongamos que X = número de pacientes que llegan durante un periodo de media hora. Entonces X tiene la distribución de Poisson con una media de 30 7 30 7 , X ∼ Poisson ( 30 7 ) ( 30 7 ) . Calcule P(X > 8) = 1 – P(X ≤ 8) ≈ 0,0311.
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