5.1 Funciones de probabilidad continuas
Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo.
Considere el siguiente experimento. Usted es una de las 100 personas reclutadas para participar en un estudio para determinar el porcentaje de enfermeros en Estados Unidos con un título de enfermero registrado (registered nurse, RN). Les pregunta a los enfermeros si tienen un título de RN. Los enfermeros responden “sí” o “no”. Luego, calcula el porcentaje de enfermeros con un título de RN. Le da ese porcentaje a su supervisor.
- ¿Qué parte del experimento producirá datos discretos?
- ¿Qué parte del experimento producirá datos continuos?
Cuando se redondea la edad al año más cercano, ¿los datos siguen siendo continuos o se convierten en discretos? ¿Por qué?
5.2 La distribución uniforme
Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo.
Los nacimientos se distribuyen de forma aproximadamente uniforme a lo largo del año. Se puede decir que siguen una distribución uniforme de 0 a 2 (extensión de 52 semanas).
- X ~ _________
- Grafique la distribución de probabilidad.
- f(x) = _________
- μ = _________
- σ = _________
- Calcule la probabilidad de que una persona nazca en el momento exacto en que termina la semana 19. Es decir, calcule P(x = 19) = _________
- P(2 < x < 31) = _________
- Calcule la probabilidad de que una persona nazca después de la semana 40.
- P(12 < x|x < 28) = _________
- Calcule el percentil 70.
- Halle el mínimo para el cuarto superior.
Un generador de números aleatorios elige un número del uno al nueve de manera uniforme.
- X ~ _________
- Grafique la distribución de probabilidad.
- f(x) = _________
- μ = _________
- σ = _________
- P(3,5 < x < 7,25) = _________
- P(x > 5,67)
- P(x > 5|x > 3) = _________
- Calcule el percentil 90.
Según un estudio realizado por el Dr. John McDougall sobre su programa en vivo de pérdida de peso, las personas que siguen su programa pierden entre seis y 15 libras al mes hasta acercarse al peso corporal ideal. Supongamos que la pérdida de peso se distribuye uniformemente. Nos interesa la pérdida de peso de una persona seleccionada al azar que sigue el programa durante un mes.
- Defina la variable aleatoria. X = _________
- X ~ _________
- Grafique la distribución de probabilidad.
- f(x) = _________
- μ = _________
- σ = _________
- Calcule la probabilidad de que la persona haya perdido más de diez libras en un mes.
- Supongamos que se sabe que la persona ha perdido más de diez libras en un mes. Calcule la probabilidad de que haya perdido menos de 12 libras en el mes.
- P(7 < x < 13|x > 9) = __________. Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad.
Un tren del metro llega cada ocho minutos en la hora pico. Nos interesa el tiempo que debe esperar un viajero para que llegue el tren. El tiempo sigue una distribución uniforme.
- Defina la variable aleatoria. X = _______
- X ~ _______
- Grafique la distribución de probabilidad.
- f(x) = _______
- μ = _______
- σ = _______
- Calcule la probabilidad de que el viajero espere menos de un minuto.
- Calcule la probabilidad de que el viajero espere entre tres y cuatro minutos.
- ¿Cuál es el tiempo máximo que el sesenta por ciento de los viajeros espera a que llegue el tren? Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad.
La edad de los estudiantes de primer grado el 1.º de septiembre en la escuela primaria Garden se distribuye uniformemente de 5,8 a 6,8 años. Seleccionamos al azar un estudiante de primer grado de la clase.
- Defina la variable aleatoria. X = _________
- X ~ _________
- Grafique la distribución de probabilidad.
- f(x) = _________
- μ = _________
- σ = _________
- Calcule la probabilidad de que tenga más de 6,5 años.
- Calcule la probabilidad de que tenga entre cuatro y seis años.
- Halle el percentil 70 para la edad de los estudiantes de primer grado el 1 de septiembre en la escuela primaria Garden.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme.
Halle el percentil 30 de los tiempos de espera (en minutos).
- dos
- 2,4
- 2,75
- tres
¿Cuál es la probabilidad de esperar más de siete minutos dado que una persona ha esperado más de cuatro minutos?
- 0,125
- 0,25
- 0,5
- 0,75
El tiempo (en minutos) que transcurre hasta que el siguiente autobús sale de una estación de autobuses importante sigue una distribución con f(x) = donde x va de 25 a 45 minutos.
- Defina la variable aleatoria. X = ________
- X ~ ________
- Grafique la distribución de probabilidad.
- La distribución es ______________ (nombre de la distribución). Es _____________ (discreta o continua).
- μ = ________
- σ = ________
- Calcule la probabilidad de que el tiempo sea como máximo de 30 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad.
- Calcule la probabilidad de que el tiempo esté entre 30 y 40 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad.
- P(25 < x < 55) = _________. Exponga esto en un enunciado de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad.
- Calcule el percentil 90. Esto significa que el 90 % de las veces, el tiempo es inferior a _____ minutos.
- Halle el percentil 75. Exponga en una frase completa lo que esto significa. (Consulte la parte j.)
- Calcule la probabilidad de que el tiempo sea superior a 40 minutos dado (o sabiendo que) es de al menos 30 minutos.
Suponga que el valor de una acción varía cada día de 16 a 25 dólares con una distribución uniforme.
- Calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea superior a 19 dólares.
- Calcule la probabilidad de que el valor de la acción esté entre 19 y 22 dólares.
- Halle el cuartil superior (el 25 % de todos los días que la acción está por encima de ¿qué valor?). Dibuje el gráfico.
- Dado que el valor de la acción es mayor de 18 dólares, calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea mayor de 21 dólares.
Un espectáculo de fuegos artificiales está diseñado para que el tiempo entre los fuegos artificiales esté entre uno y cinco segundos, y sigue una distribución uniforme.
- Calcule el tiempo promedio entre los fuegos artificiales.
- Calcule la probabilidad de que el tiempo entre los fuegos artificiales sea mayor de cuatro segundos.
El número de millas recorridas por un camionero oscila entre 300 y 700, y sigue una distribución uniforme.
- Calcule la probabilidad de que el camionero recorra más de 650 millas en un día.
- Calcule la probabilidad de que los camioneros recorran entre 400 y 650 millas en un día.
- Al menos, ¿cuántas millas recorre el camionero en el 10 % de los días con recorridos más lejanos?
5.3 La distribución exponencial
Supongamos que se sabe que la duración de las llamadas telefónicas de larga distancia, medida en minutos, tienen una distribución exponencial con la duración promedio de una llamada igual a ocho minutos.
- Defina la variable aleatoria. X = ________________.
- ¿X es continuo o discreto?
- X ~ ________
- μ = ________
- σ = ________
- Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes.
- Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure menos de nueve minutos.
- Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure más de nueve minutos.
- Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure entre siete y nueve minutos.
- Si se hacen 25 llamadas telefónicas una tras otra, en promedio, ¿cuál sería el total esperado? ¿Por qué?
Supongamos que la vida útil de una determinada batería de automóvil, medida en meses, decae con el parámetro 0,025. Nos interesa la duración de la batería.
- Defina la variable aleatoria. X = _________________________________.
- ¿X es continuo o discreto?
- X ~ ________
- En promedio, ¿cuánto tiempo espera que dure la batería de un automóvil?
- ¿Cuánto tiempo en promedio se puede esperar que duren nueve baterías de automóvil si se usan una tras otra?
- Calcule la probabilidad de que la batería de un automóvil dure más de 36 meses.
- ¿Cuánto tiempo duran, al menos, el setenta por ciento de las baterías?
El porcentaje de personas (de cinco años en adelante) en cada estado que hablan un idioma en casa distinto del inglés se distribuye de forma aproximadamente exponencial con una media de 9,848. Supongamos que elegimos un estado al azar.
- Defina la variable aleatoria. X = _________________________________.
- ¿X es continuo o discreto?
- X ~ ________
- μ = ________
- σ = ________
- Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes.
- Calcule la probabilidad de que el porcentaje sea menor que 12.
- Calcule la probabilidad de que el porcentaje esté entre ocho y 14.
- El porcentaje de todas las personas que viven en Estados Unidos que hablan un idioma distinto del inglés en casa es del 13,8.
- ¿Por qué este número es diferente del 9,848 %?
- ¿Qué haría que este número fuera superior al 9,848 %?
El tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir los 60 años se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de unos cinco años. Supongamos que elegimos al azar una persona jubilada. Nos interesa el tiempo que transcurre desde los 60 años hasta la jubilación.
- Defina la variable aleatoria. X = _________________________________.
- ¿X es continuo o discreto?
- X ~ = ________
- μ = ________
- σ = ________
- Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes.
- Calcule la probabilidad de que la persona se jubile después de los 70 años.
- ¿Se jubilan más personas antes de los 65 años o después de los 65?
- En una sala con 1.000 personas mayores de 80 años, ¿cuántas cree que NO se habrán jubilado aún?
El costo de todo el mantenimiento de un automóvil durante su primer año se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de 150 dólares.
- Defina la variable aleatoria. X = _________________________________.
- X ~ = ________
- μ = ________
- σ = ________
- Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes.
- Calcule la probabilidad de que un automóvil requiera más de 300 dólares para su mantenimiento durante su primer año.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial.
¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra?
- 0,8647
- 0,4866
- 0,2212
- 0,9997
Supongamos que X ~ Exp(0,1).
- tasa de decaimiento = ________
- μ = ________
- Representar gráficamente la función de distribución de la probabilidad.
- En el gráfico, sombree el área correspondiente a P(x < 6) y calcule la probabilidad.
- Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente a P(3 < x < 6) y calcule la probabilidad.
- Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente a P(x < 7) y calcule la probabilidad.
- Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente al percentil 40 y calcule el valor.
- Calcule el valor promedio de x.
Supongamos que la longevidad de una bombilla es exponencial con una vida media de ocho años.
- Calcule la probabilidad de que una bombilla dure menos de un año.
- Calcule la probabilidad de que una bombilla dure entre seis y diez años.
- El setenta por ciento de las bombillas duran al menos ¿cuánto tiempo?
- Una compañía decide ofrecer una garantía para devolver el dinero a las bombillas cuya vida útil está entre el dos por ciento más bajo de todas las bombillas. ¿Cuál es la fecha límite para que se aplique la garantía?
- Si una bombilla ha durado siete años, ¿cuál es la probabilidad de que falle en el octavo año?
Las llamadas al 911 entran a una tasa promedio de una llamada cada dos minutos. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial.
- En promedio, ¿cuánto tiempo pasa entre cinco llamadas consecutivas?
- Calcule la probabilidad de que, tras recibir una llamada, la siguiente tarde más de tres minutos en producirse.
- ¿El noventa por ciento de las llamadas se producen en los minutos siguientes a la llamada anterior?
- Supongamos que han transcurrido dos minutos desde la última llamada. Calcule la probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en el próximo minuto.
- Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 20 llamadas en una hora.
En el béisbol de las grandes ligas, un partido sin batazos imparables es aquel en el que un lanzador, o varios lanzadores, no reciben ningún batazo imparable en todo el partido. Los “sin batazos imparables” se producen a un ritmo de unos tres por temporada. Supongamos que la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial.
- ¿Cuál es la probabilidad de que toda una temporada transcurra con un solo sin batazos imparables?
- Si transcurre una temporada entera sin batazos imparables, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ningún sin batazos imparables en la temporada siguiente?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 sin batazos imparables en una misma temporada?
Entre 1998 y 2012 se han producido un total de 29 terremotos de magnitud superior a 6,5 en Papúa Nueva Guinea. Supongamos que el tiempo que transcurre entre terremotos es exponencial.
- ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo terremoto se produzca en los tres meses siguientes?
- Dado que han pasado seis meses sin que se produzca un terremoto en Papúa Nueva Guinea, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos tres meses no se produzcan terremotos?
- ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cero terremotos en 2014?
- ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan, al menos, dos terremotos en 2014?
Según la Cruz Roja Americana, una de cada nueve personas en EE. UU., aproximadamente, tiene sangre de tipo B. Supongamos que los tipos de sangre de las personas que llegan a una campaña de donación son independientes. En este caso, el número de tipos de sangre de tipo B que llegan sigue más o menos la distribución de Poisson.
- Si llegan 100 personas, ¿cuántas en promedio se espera que tengan sangre de tipo B?
- ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas de estas 100 tengan sangre de tipo B?
- ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 20 personas antes de encontrar una persona con sangre de tipo B?
Un sitio web experimenta un tráfico durante las horas normales de trabajo a un ritmo de 12 visitas por hora. Supongamos que la duración entre visitas tiene la distribución exponencial.
- Calcule la probabilidad de que la duración entre dos visitas sucesivas al sitio web sea superior a diez minutos.
- ¿De cuánto tiempo como mínimo son el 25 % de las duraciones más altas entre visitas?
- Supongamos que han pasado 20 minutos desde la última visita al sitio web. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima visita se produzca durante los 5 minutos siguientes?
- Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 7 visitas en un periodo de una hora.
En un centro de atención de urgencias los pacientes llegan a una tasa promedio de un paciente cada siete minutos. Supongamos que la duración entre llegadas se distribuye exponencialmente.
- Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea inferior a 2 minutos.
- Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea superior a 15 minutos.
- Si han pasado 10 minutos desde la última llegada, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona llegue durante los próximos cinco minutos?
- Calcule la probabilidad de que lleguen más de ocho pacientes durante un periodo de media hora.