5.1 Funciones de probabilidad continuas

Consideremos la función f(x) = $\frac{1}{20}$ para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f(x) = $\frac{1}{20}$ es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f(x) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive.

Figura 5.5

f(x) = $\frac{1}{20}$ para 0 ≤ x ≤ 20.

El gráfico de f(x) = $\frac{1}{20}$ es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20.

El área entre f(x) = $\frac{1}{20}$ donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = $\frac{1}{20}$.

Supongamos que queremos hallar el área entre f(x) = $\frac{1}{20}$ y el eje xdonde 0 < x < 2.

Figura 5.6

$\text{ÁREA }=(2–0)\left(\frac{1}{20}\right)=\mathrm{0,1}$

$(2–0)=2=\text{base de un rectángulo}$

El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0,1.

Supongamos que queremos hallar el área entre f(x) = $\frac{1}{20}$ y el eje x donde 4 < x < 15.

Figura 5.7

\text{ÁREA }=(15–4)\left(\frac{1}{20}\right)=\mathrm{0,55}

$(15–4)=11=\text{ la base de un rectángulo}$

El área corresponde a la probabilidad P(4 < x < 15) = 0,55.

Supongamos que queremos hallar P(x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P(x = 15) = (base)(altura) = (0)$\left(\frac{1}{20}\right)$ = 0

Figura 5.8

P(X ≤ x), que también se puede escribir como P(X < x) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P(X > x). La cdf da el “área a la izquierda” y P(X > x) da el “área a la derecha”. Calculamos P(X > x) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P(X > x) = 1 – P (X < x).

Figura 5.9

Identifique el gráfico con f(x) y x. Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y. f(x) = $\frac{1}{20}$, 0 ≤ x ≤ 20.

Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo.

Figura 5.10

$P(\mathrm{2,3}<x<\mathrm{12,7})=(\text{base})(\text{altura})=(\mathrm{12,7}–\mathrm{2,3})\left(\frac{1}{20}\right)=\mathrm{0,52}$