Objetivos del capítulo
Al final de este capítulo el estudiante podrá:
- Reconocer y comprender las funciones de densidad de probabilidad continuas en general.
- Reconocer la distribución de probabilidad uniforme y aplicarla adecuadamente.
- Reconocer la distribución de probabilidad exponencial y aplicarla adecuadamente.
Introducción
Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI (coeficiente intelectual), el tiempo que dura una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, el tiempo que dura un chip de computadora y las puntuaciones de la prueba de aptitud académica (Scholastic Aptitude Test, SAT) son solo algunos de ellos. El campo de la fiabilidad depende de una serie de variables aleatorias continuas.
Nota
Los valores de las variables aleatorias discretas y continuas pueden ser ambiguos. Por ejemplo, si X es igual al número de millas (a la milla más cercana) que conduce al trabajo, entonces X es una variable aleatoria discreta. Puede contar las millas. Si X es la distancia que se recorre en automóvil hasta el trabajo, entonces se miden valores de X y X es una variable aleatoria continua. Para un segundo ejemplo, si X es igual al número de libros que hay en una mochila, entonces X es una variable aleatoria discreta. Si X es el peso de un libro, entonces X es una variable aleatoria continua porque el peso se mide. La forma de definir la variable aleatoria es muy importante.
Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas
El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva.
La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf). Utilizamos el símbolo f(x) para representar la curva. f(x) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f(x) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad.
El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa (cdf). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área.
- Los resultados se miden, no se cuentan.
- Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno.
- La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x.
- P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d. P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x, a la derecha de c y a la izquierda de d.
- P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero.
- P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área.
Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, es necesario el cálculo para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Sin embargo, debido a que la mayoría de los estudiantes que toman este curso no han estudiado cálculo, no utilizaremos el cálculo en este libro de texto.
Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera.
En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones.