5.2 La distribución uniforme

P(2 < x < 18) = (base)(altura) = (18 - 2)\left(\frac{1}{23}\right) = \frac{16}{23}.

Figura 5.11

b. El noventa por ciento de los tiempos de sonrisa están por debajo del percentil 90, k, por lo que P(x < k) = 0,90.

$P(x<k)=\mathrm{0,90}$

$\left(\text{base}\right)\left(\text{altura}\right)=\mathrm{0,90}$

$\text{(}k–0\text{)}\left(\frac{1}{23}\right)=\mathrm{0,90}$

$k=\left(23\right)\left(\mathrm{0,90}\right)=\mathrm{20,7}$

Figura 5.12

c. Esta pregunta de probabilidad es un condicional. Se le pide que halle la probabilidad de que un bebé de ocho semanas sonría más de 12 segundos cuando ya sabe que el bebé ha sonreído durante más de ocho segundos.

Halle P(x > 12|x > 8) Hay dos maneras de efectuar el problema. En la primera forma, utilice el hecho de que se trata de un condicional y esto cambia el espacio muestral. El gráfico ilustra el nuevo espacio muestral. Ya sabe que el bebé sonrió más de ocho segundos.

Escriba una nueva f(x): f(x) = \frac{1}{23–\text{ 8}} = \frac{1}{15} para 8 < x < 23

P(x > 12|X > 8) = (23 - 12)\left(\frac{1}{15}\right) = \frac{11}{15}

Figura 5.13

En la segunda forma, utilice la fórmula condicional de Temas de probabilidad con la distribución original X ~ U (0, 23):

P(A|B) = $\frac{P(A\text{ Y }B)}{P(B)}$

En este problema, A es (x > 12) y B es (x > 8).

Así, P(x > 12|x > 8) = $\frac{(x>12\text{ Y }x>8)}{P(x>8)}=\frac{P(x>12)}{P(x>8)}=\frac{\frac{11}{23}}{\frac{15}{23}}=\frac{11}{15}$

Figura 5.14 El área sombreada más oscura representa P(x > 12). Toda el área sombreada muestra P(x > 8).

a. Supongamos que X = el número de minutos que una persona debe esperar el autobús. a = 0 y b = 15. X ~ U(0, 15). Escriba la función de densidad de probabilidad. f (x) = \frac{1}{15–0} = \frac{1}{15} para 0 ≤ x ≤ 15.

Calcule P (x < 12,5). Dibuje un gráfico.

$P(x<k)=(\text{base})(\text{altura})=(\mathrm{12,5}–0)\left(\frac{1}{15}\right)=\mathrm{0,8333}$

La probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos es de 0,8333.

Figura 5.15

b. μ = $\frac{a+b}{2}$ = $\frac{15+0}{2}$ = 7,5. En promedio, una persona debe esperar 7,5 minutos.

σ = $\sqrt{\frac{(b–a{)}^2}{12}}=\sqrt{\frac{(\mathrm{15}–0{)}^2}{12}}$ = 4,3. La desviación típica es de 4,3 minutos.

c. Calcule el percentil 90. Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 90.

$P(x<k)=(\text{base})(\text{altura})=(k–0)(\frac{1}{15})$

$\mathrm{0,90}=\left(k\right)\left(\frac{1}{15}\right)$

$k=(\mathrm{0,90})(15)=\mathrm{13,5}$

k se denomina a veces valor crítico.

El percentil 90 es de 13,5 minutos. El noventa por ciento de las veces una persona debe esperar como máximo 13,5 minutos.

Figura 5.16

a. 0,5714

b. $\frac{4}{5}$

a. Para hallar f(x): f (x) = $\frac{1}{4–\mathrm{1,5}}$ = $\frac{1}{\mathrm{2,5}}$ por lo que f(x) = 0,4

P(x > 2) = (base)(altura) = (4 - 2)(0,4) = 0,8

Figura 5.18 Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área sombreada entre dos y cuatro que representa la probabilidad de que el tiempo de reparación x sea superior a dos

b. P(x < 3) = (base)(altura) = (3 - 1,5)(0,4) = 0,6

El gráfico del rectángulo que muestra toda la distribución seguiría siendo el mismo. Sin embargo, el gráfico debe estar sombreado entre x = 1,5 y x = 3. Observe que la zona sombreada comienza en x = 1,5 y no en x = 0; como X ~ U (1,5, 4), x no puede ser menor que 1,5.

Figura 5.19 Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área sombreada entre 1,5 y 3 que representa la probabilidad de que el tiempo de reparación x sea inferior a tres.

c.

Figura 5.20 Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área de 0,30 sombreada a la izquierda, que representa el 30 % más corto de los tiempos de reparación.

P (x < k) = 0,30
P(x < k) = (base)(altura) = (k – 1,5)(0,4)
0,3 = (k – 1,5) (0,4); resuelva para hallar k:
0,75 = k - 1,5, que se obtuvo dividiendo ambos lados entre 0,4
k = 2,25 , que se obtuvo sumando 1,5 a ambos lados
El percentil 30 de los tiempos de reparación es de 2,25 horas. El 30 % de los tiempos de reparación es de 2,25 horas o menos.

d.

Figura 5.21 Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área de 0,25 sombreada a la derecha que representa el 25 % más largo de los tiempos de reparación.

P(x > k) = 0,25
P(x > k) = (base)(altura) = (4 – k)(0,4)
0,25 = (4 – k)(0,4); resuelva para k:
0,625 = 4 − k,
que se obtuvo dividiendo ambos lados entre 0,4
−3,375 = −k,
que se obtuvo restando cuatro a ambos lados: k = 3,375
El 25 % de las reparaciones de hornos más largas tardan al menos 3,375 horas (3,375 horas o más).
Nota: Dado que el 25 % de los tiempos de reparación es de 3,375 horas o más, eso significa que el 75 % de los tiempos de reparación son de 3,375 horas o menos. 3,375 horas es el percentil 75 de los tiempos de reparación de hornos.

e $\mu =\frac{a+b}{2}$ y $\sigma =\sqrt{\frac{{(b–a)}^2}{12}}$
$\mu =\frac{\mathrm{1,5}+4}{2}=\mathrm{2,75}$ horas y $\sigma =\sqrt{\frac{{(4–\mathrm{1,5})}^2}{12}}=\mathrm{0,7217}$ horas