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Introducción a la estadística

5.2 La distribución uniforme

Introducción a la estadística5.2 La distribución uniforme

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o exclusivos de los extremos.

Ejemplo 5.2

Los datos en la Tabla 5.1 son 55 tiempos de sonrisa, en segundos, de un bebé de ocho semanas.

10,4 19,6 18,8 13,9 17,8 16,8 21,6 17,9 12,5 11,1 4,9
12,8 14,8 22,8 20,0 15,9 16,3 13,4 17,1 14,5 19,0 22,8
1.3 0,7 8,9 11,9 10,9 7,3 5,9 3,7 17,9 19,2 9,8
5,8 6,9 2,6 5,8 21,7 11,8 3,4 2,1 4,5 6,3 10,7
8,9 9,4 9,4 7,6 10,0 3,3 6,7 7,8 11,6 13,8 18,6
Tabla 5.1

La media muestral = 11,49 y la desviación típica de la muestra = 6,23.

Supondremos que los tiempos de sonrisa, en segundos, siguen una distribución uniforme entre cero y 23 segundos, ambos inclusive. Esto significa que cualquier tiempo de sonrisa desde cero hasta 23 segundos inclusive es igualmente probable. El histograma que se construyó a partir de la muestra es una distribución empírica que se acerca mucho a la distribución uniforme teórica.

Supongamos que X = la duración, en segundos, de la sonrisa de un bebé de ocho semanas.

La notación para la distribución uniforme es

X ~ U(a, b) donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x.

La función de densidad de probabilidad es f(x) = 1 ba 1 ba para axb.

En este ejemplo, X ~ U(0, 23) y f(x) = 1 230 1 230 para 0 ≤ X ≤ 23.

Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son

μ= a+b 2 μ= a+b 2 y σ= (ba) 2 12 σ= (ba) 2 12

En este problema, la media teórica y la desviación típica son

μ = 0 + 23 2 0 + 23 2 = 11,50 segundos y σ = (23  0) 2 12 (23  0) 2 12 = 6,64 segundos.

Observe que en este ejemplo la media teórica y la desviación típica se aproximan a la media muestral y a la desviación típica.

Inténtelo 5.2

Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b. Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica.

1 12 4 10 4 14 11
7 11 4 13 2 4 6
3 10 0 12 6 9 10
5 13 4 10 14 12 11
6 10 11 0 11 13 2
Tabla 5.2

Ejemplo 5.3

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a. Consulte el Ejemplo 5.2. ¿Cuál es la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría entre dos y 18 segundos?

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b. Halle el percentil 90 para el tiempo de sonrisa de un bebé de ocho semanas.

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c. Halle la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría más de 12 segundos SABIENDO que el bebé sonríe MÁS DE OCHO SEGUNDOS.

Inténtelo 5.3

Una distribución está dada como X ~ U (0, 20). ¿Cuál es la P(2 < X < 18)? Calcule el percentil 90.

Ejemplo 5.4

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive.

Translation missing: es.problem

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos?

b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ, y la desviación típica, σ.

c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces?

Esto pide calcular el percentil 90.

Inténtelo 5.4

La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive.

  1. Calcule a y b y describa lo que representan.
  2. Escriba la distribución.
  3. Calcule la media y la desviación típica.
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas?
  5. ¿Cuál es el percentil 65 de la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011?

Ejemplo 5.5

Supongamos que el tiempo que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla está entre 0,5 y 4 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla. Entonces X ~ U (0,5, 4).

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a. La probabilidad de que un niño de nueve años seleccionado al azar se coma una rosquilla en al menos dos minutos es _______.

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b. Halle la probabilidad de que otro niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos.

La segunda pregunta tiene una probabilidad condicional. Se le pide que halle la probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya lleva comiendo la rosquilla más de 1,5 minutos. Resuelva el problema de dos formas diferentes (vea el Ejemplo 5.3). Debe reducir el espacio de la muestra. Primera forma: Como sabe que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos, ya no empieza en a = 0,5 minutos. Su punto de partida es 1,5 minutos.

Escriba una nueva f(x):

f(x) = 1 41,5 1 41,5 = 2 5 2 5 para 1,5 ≤ x ≤ 4.

Halle P(X > 2|x > 1,5). Dibuje un gráfico.

Gráfico f(X) = 2/5 que muestra una región delimitada formada por una línea horizontal que se extiende hacia la derecha desde el punto 2/5 del eje y, una línea vertical ascendente desde los puntos 1,5 y 4 del eje x, y el eje x. La región sombreada de los puntos 2-4 se encuentra dentro de esa región.
Figura 5.17

P(X > 2|x > 1,5) = (base)(nueva altura) = (4 - 2) ( 2 5 ) =45 ( 2 5 ) =45

La probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiendo la rosquilla durante más de 1,5 minutos, es 4545.

Segunda forma: Dibuje el gráfico original para X ~ U (0,5, 4). Utilice la fórmula condicional

P(x > 2|x > 1,5) =   P(x>2 Y x>1,5) P(x>10,5) = P(x>2) P(x>1,5) = 2 3,5 2,5 3,5 =00,8= 4 5   P(x>2 Y x>1,5) P(x>10,5) = P(x>2) P(x>1,5) = 2 3,5 2,5 3,5 =00,8= 4 5

Inténtelo 5.5

Supongamos que el tiempo que tarda un estudiante en terminar un examen se distribuye uniformemente entre 6 y 15 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un estudiante en terminar un examen. Entonces X ~ U (6, 15).

Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar necesite al menos ocho minutos para completar la prueba. A continuación, halle la probabilidad de que otro estudiante necesite al menos ocho minutos para terminar el cuestionario, dado que ya se ha tomado más de siete minutos.

Ejemplo 5.6

La compañía Ace Heating and Air Conditioning Service considera que el tiempo que necesita un técnico para arreglar un horno se distribuye uniformemente entre 1,5 y 4 horas. Supongamos que x = el tiempo necesario para arreglar un horno. Entonces X ~ U (1,5, 4).

Translation missing: es.problem

  1. Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera más de dos horas.
  2. Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera menos de tres horas.
  3. Halle el percentil 30 de los tiempos de reparación de hornos.
  4. El 25 % de los tiempos más largos de reparación de hornos ¿cuánto tiempo toma al menos? (En otras palabras: halle el tiempo mínimo para el 25 % más largo de los tiempos de reparación). ¿Qué percentil representa esto?
  5. Halle la desviación media y la típica

Inténtelo 5.6

El tiempo que necesita un técnico de servicio para cambiar el aceite de un auto se distribuye uniformemente entre 11 y 21 minutos. Supongamos que X = el tiempo necesario para cambiar el aceite de un auto.

  1. Escriba en palabras la variable aleatoria X. X = __________________.
  2. Escriba la distribución.
  3. Grafique la distribución.
  4. Halle P (x > 19).
  5. Calcule el percentil 50.
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