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Introducción a la estadística

5.3 La distribución exponencial

Introducción a la estadística5.3 La distribución exponencial

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas comerciales de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un auto. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente.

Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.

Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.

Ejemplo 5.7

Sea X = la cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado de correos pasa con su cliente. Se sabe que el tiempo tiene una distribución exponencial con un promedio de cuatro minutos.

X es una variable aleatoria continua ya que el tiempo se mide. Se da que μ = 4 minutos. Para hacer cualquier cálculo, hay que conocer m, el parámetro de decaimiento.

m= 1 μ m= 1 μ . Por lo tanto, m= 1 4 =0,25. m= 1 4 =0,25.

La desviación típica, σ, es la misma que la media. μ = σ

La notación de la distribución es X ~ Exp(m). Por lo tanto, X ~ Exp(0,25).

La función de densidad de probabilidad es f(x) = me-mx. El número e = 2,71828182846... Es un número que se utiliza a menudo en matemáticas. Las calculadoras científicas tienen la clave "ex". Si introduce uno para x, la calculadora mostrará el valor e.

La curva es:

f(x) = 0,25e–0,25x donde x es al menos cero y m = 0,25.

Por ejemplo, f(5) = 0,25e(–0,25)(5) = 0,072. El valor 0,072 es la altura de la curva cuando x = 5. En el Ejemplo 5.8 a continuación, aprenderá a calcular las probabilidades utilizando el parámetro de decaimiento.

El gráfico es el siguiente:

Gráfico exponencial con incrementos de 2 desde 0-20 en el eje x de μ = 4 e incrementos de 0,05 desde 0,05-0,25 en el eje y de m = 0,25. La línea curva comienza en la parte superior en el punto (0, 0,25) y se curva hacia abajo hasta el punto (20, 0). El eje x es igual a una variable aleatoria continua.
Figura 5.22

Observe que el gráfico es una curva descendente. Cuando x = 0,

f(x) = 0,25e(−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m. El valor máximo en el eje y es m.

Inténtelo 5.7

El tiempo que los cónyuges dedican a la compra de tarjetas de aniversario se puede modelar mediante una distribución exponencial con un promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escriba la distribución, indique la función de densidad de probabilidad y haga un gráfico de la distribución.

Ejemplo 5.8

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a. Utilizando la información del Ejemplo 5.7, halle la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar.

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b. ¿La mitad de los clientes terminan en cuánto tiempo? (Calcule el percentil 50)

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c. ¿Qué es más grande, la media o la mediana?

Inténtelo 5.8

El número de días de antelación con el que los viajeros compran sus billetes de avión se puede modelar mediante una distribución exponencial con un tiempo promedio igual a 15 días. Calcule la probabilidad de que un viajero compre un billete con menos de diez días de antelación. ¿Cuántos días esperan la mitad de los viajeros?

Ejercicio colaborativo

Haga que cada miembro de la clase cuente el cambio que tiene en su bolsillo o monedero. Su instructor registrará las cantidades en dólares y centavos. Construya un histograma de los datos tomados por la clase. Utilice cinco intervalos. Dibuje una curva suave a través de las barras. El gráfico debe tener un aspecto aproximadamente exponencial. A continuación, calcule la media.

Sea X = la cantidad de dinero que un estudiante de su clase tiene en su bolsillo o monedero.

La distribución de X es aproximadamente exponencial con media, μ = _______ y m = _______. La desviación típica, σ = ________.

Dibuje el gráfico exponencial adecuado. Deberá etiquetar los ejes X e Y, la tasa de decaimiento y la media. Sombrea el área que representa la probabilidad de que un estudiante tenga menos de 0,40 dólares en su bolsillo o bolso. (Sombree P(x < 0,40)).

Ejemplo 5.9

En promedio, una determinada pieza de computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente.

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a. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure más de 7 años?

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

En la pantalla de inicio, ingrese e^(-.1*7).

Gráfico exponencial con la línea curva que comienza en el punto (0, 0,1) y se curva hacia el punto (∞, 0). Una línea vertical ascendente se extiende desde el punto 1 hasta la línea curva. El área de probabilidad se produce desde el punto 1 hasta el final de la curva. El eje x es igual a la cantidad de tiempo que dura una pieza de computadora.
Figura 5.25

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b. En promedio, ¿cuánto tiempo durarían cinco piezas de computadora si se utilizan una tras otra?

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c. El ochenta por ciento de las piezas de las computadoras duran como máximo ¿cuánto tiempo?

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

En la pantalla de inicio, ingrese ln(10,80) 0,1 ln(10,80) 0,1

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d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años?

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

En la pantalla de inicio, ingrese e^(-0,1*9) - e^(-0,1*11).

Inténtelo 5.9

En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días?

Ejemplo 5.10

Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro de decaimiento 1 12 1 12 . Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que usted, calcule la probabilidad de que tenga que esperar más de cinco minutos. Supongamos que X = la duración de una llamada telefónica en minutos.

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¿Qué son m, μ y σ? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______.

Inténtelo 5.10

Supongamos que la distancia, en millas, que la gente está dispuesta a recorrer para ir al trabajo es una variable aleatoria exponencial con un parámetro de decaimiento 1 20 1 20 . Supongamos que X = la distancia que la gente está dispuesta a recorrer en millas. ¿Qué son m, μ y σ? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté dispuesta a recorrer más de 25 millas?

Ejemplo 5.11

El tiempo de espera entre eventos se suele modelar mediante la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que a una tienda llegan un promedio de 30 clientes por hora y que el tiempo entre las llegadas se distribuye exponencialmente.

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  1. ¿Cuántos minutos transcurren en promedio entre dos llegadas sucesivas?
  2. Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan en llegar tres clientes?
  3. Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde menos de un minuto en llegar.
  4. Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde más de cinco minutos en llegar.
  5. ¿El setenta por ciento de los clientes llegan antes de cuántos minutos después del cliente anterior?
  6. ¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación?

Inténtelo 5.11

Supongamos que en un determinado tramo de autopista los autos pasan a una tasa promedio de cinco autos por minuto. Supongamos que la duración del tiempo entre autos sucesivos sigue la distribución exponencial.

  1. En promedio, ¿cuántos segundos transcurren entre dos autos sucesivos?
  2. Después de que pase un auto, ¿cuánto tiempo, en promedio, tardarán en pasar otros siete autos?
  3. Calcule la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente pase en los siguientes 20 segundos.
  4. Calcule la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente no pase durante al menos otros 15 segundos.

La falta de memoria de la distribución exponencial

En el Ejemplo 5.7 recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos (X ~ Exp (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que

P (X > r + t | X > r) = P (X > t) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0

Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior.

P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = e ( 0,5 )( 1 ) e ( 0,5 )( 1 ) ≈ 0,6065.

Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior.

La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el Ejemplo 5.9, la vida útil de una determinada pieza de una computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años (X ~ Exp(0,1)). La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0,4966.

Ejemplo 5.12

Consulte el Ejemplo 5.7 donde el tiempo que un empleado de correos pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado de la oficina postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase, al menos, tres minutos más con el empleado de la oficina postal?

El parámetro de decaimiento de X es m = 1 4 1 4 = 0,25, por lo que XExp(0,25).

La función de distribución acumulativa es P(X < x) = 1 – e–0,25x.

Queremos despejar P(X > 7|X > 4). La propiedad de falta de memoria dice que P(X > 7|X > 4) = P (X > 3), así que solo tenemos que hallar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado de la oficina postal.

Esto es P(X > 3) = 1 – P (X < 3) = 1 – (1 – e–0,25⋅3) = e–0,75 ≈ 0,4724.

Este gráfico muestra una distribución exponencial. El gráfico tiene una pendiente hacia abajo. Comienza en el punto (0, 0,25) del eje y y se acerca al eje x en el borde derecho del gráfico. La región debajo del gráfico a la derecha de x = 3 está sombreada para representar P(x > 3) = 0,4724.
Figura 5.31

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

1-(1-e^(-0,25*3)) = e^(-0,25*3).

Inténtelo 5.12

Supongamos que la longevidad de una bombilla es exponencial con una vida media de ocho años. Si una bombilla ya ha durado 12 años, calcule la probabilidad de que dure un total de más de 19 años.

Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media λ = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si X tiene la distribución de Poisson con media λ, entonces P(X=k)= λ k e λ k! P(X=k)= λ k e λ k! . Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.(k! = k*(k–1*)(k–2)*(k–3)*…3*2*1)

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Supongamos que X tiene la distribución de Poisson con media λ. Calcule P(X = k) introduciendo 2nd, VARS(DISTR), C: poissonpdf, k). Para calcular P(Xk), ingrese 2nd, VARS (DISTR), D:poissoncdf(λ, k).

Ejemplo 5.13

En una comisaría de Policía de una gran ciudad las llamadas llegan a una tasa promedio de cuatro llamadas por minuto. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. Hay que tener en cuenta que solo nos preocupa el ritmo de entrada de las llamadas, y que ignoramos el tiempo que se pasa al teléfono. También debemos suponer que los tiempos transcurridos entre las llamadas son independientes. Esto significa que un retraso particularmente largo entre dos llamadas no significa que habrá un periodo de espera más corto para la siguiente llamada. Podemos deducir entonces que el número total de llamadas recibidas durante un periodo tiene la distribución de Poisson.

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  1. Calcule el tiempo promedio entre dos llamadas sucesivas.
  2. Calcule la probabilidad de que después de recibir una llamada, la siguiente se produzca en menos de diez segundos.
  3. Calcule la probabilidad de que se produzcan exactamente cinco llamadas en un minuto.
  4. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de cinco llamadas en un minuto.
  5. Calcule la probabilidad de que se produzcan más de 40 llamadas en un periodo de ocho minutos.

Inténtelo 5.13

En una ciudad pequeña, el número de accidentes de tráfico se produce con una distribución de Poisson a un promedio de tres por semana.

  1. Calcule la probabilidad de que se produzcan como máximo 2 accidentes en una semana determinada.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos semanas entre dos accidentes?
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