12.1 Ecuaciones lineales
Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Un centro vacacional alquila equipos de buceo a buceadores certificados. El complejo cobra una tarifa inicial de 25 dólares y otra de 12,50 dólares por hora.
Halle la ecuación que expresa la tarifa total en función del número de horas de alquiler del equipo.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Una compañía de tarjetas de crédito cobra 10 dólares por cada pago retrasado y 5 dólares por cada día de mora.
Halle la ecuación que expresa la tarifa total en función del número de días de retraso en el pago.
¿Es lineal la ecuación y = 10 + 5x - 3x2? ¿Por qué sí o por qué no?
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales?
a. y = 6x + 8
b. y + 7 = 3x
c. y - x = 8x2
d. 4y = 8
¿Muestra el gráfico una ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no?
La Tabla 12.12 contiene datos reales de las dos primeras décadas de presentación de informes sobre la gripe.
| Año | N.º casos de gripe diagnosticados | N.º muertes por gripe |
| Antes de 1981 | 91 | 29 |
| 1981 | 319 | 121 |
| 1982 | 1.170 | 453 |
| 1983 | 3.076 | 1.482 |
| 1984 | 6.240 | 3.466 |
| 1985 | 11.776 | 6.878 |
| 1986 | 19.032 | 11.987 |
| 1987 | 28.564 | 16.162 |
| 1988 | 35.447 | 20.868 |
| 1989 | 42.674 | 27.591 |
| 1990 | 48.634 | 31.335 |
| 1991 | 59.660 | 36.560 |
| 1992 | 78.530 | 41.055 |
| 1993 | 78.834 | 44.730 |
| 1994 | 71.874 | 49.095 |
| 1995 | 68.505 | 49.456 |
| 1996 | 59.347 | 38.510 |
| 1997 | 47.149 | 20.736 |
| 1998 | 38.393 | 19.005 |
| 1999 | 25.174 | 18.454 |
| 2000 | 25.522 | 17.347 |
| 2001 | 25.643 | 17.402 |
| 2002 | 26.464 | 16.371 |
| Total | 802.118 | 489.093 |
Utilice las columnas "año" y "N.º casos diagnosticados de gripe". ¿Por qué el "año" es la variable independiente y el "N.º de casos diagnosticados de gripe" la variable dependiente (en lugar de la inversa)?
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Una compañía de limpieza especializada cobra una tarifa por el equipo y una tarifa por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa el monto total de la tarifa que la compañía cobra por cada sesión es y = 50 + 100x.
¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?
¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas.
Use la siguiente información para responder las próximas tres preguntas. Debido a la erosión, la orilla de un río pierde varios miles de libras de suelo cada año. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de suelo perdido por año es y = 12.000x.
¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?
¿Cuál es la intersección en y? Interprete su significado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El precio de una sola emisión de acciones puede fluctuar a lo largo del día. Una ecuación lineal que representa el precio de las acciones de Shipment Express es y = 15 - 1,5x donde x es el número de horas transcurridas en un día de ocho horas de negociación.
Si tuviera esta acción, ¿querría una pendiente positiva o negativa? ¿Por qué?
12.2 Diagramas de dispersión
¿El diagrama de dispersión parece lineal? ¿Fuerte o débil? ¿Positiva o negativa?
12.3 La ecuación de regresión
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Una muestra aleatoria de 10 deportistas profesionales arrojó los siguientes datos, donde la x es el número de patrocinadores que tiene el jugador, mientras que la y es la cantidad de dinero que gana (en millones de dólares).
| x | y | x | y |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 5 | 12 |
| 3 | 8 | 4 | 9 |
| 2 | 7 | 3 | 9 |
| 1 | 3 | 0 | 3 |
| 5 | 13 | 4 | 10 |
Dibuje un diagrama de dispersión de los datos.
Dibuje la línea de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.
¿Cuál es la intersección en y de la línea de mejor ajuste? ¿Qué representa?
Cuando n = 2 y r = 1, ¿son los datos significativos? Explique.
12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
Al comprobar la significación del coeficiente de correlación, ¿cuál es la hipótesis nula?
Al comprobar la significación del coeficiente de correlación, ¿cuál es la hipótesis alternativa?
Si el nivel de significación es 0,05 y el valor p es 0,04, ¿qué conclusión puede sacar?
12.5 Predicción
Utilice la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Un minorista de productos electrónicos utilizó la regresión para hallar un modelo sencillo que prediga el crecimiento de las ventas en el primer trimestre del nuevo año (de enero a marzo). El modelo es válido para 90 días, donde x es el día. El modelo puede escribirse como sigue:
ŷ = 101,32 + 2,48x donde ŷ está en miles de dólares.
¿Cuál es la previsión de ventas para el día 90?
Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Una compañía de jardinería es contratada para cortar el césped de varios inmuebles grandes. El área total combinado de los inmuebles es de 1.345 acres. El ritmo al que una persona puede cortar el césped es el siguiente:
ŷ = 1350 - 1,2x donde x es el número de horas y ŷ representa el número de acres que quedan por cortarles el césped.
¿Cuántos acres quedarán por cortarles el césped después de 100 horas de trabajo?
La Tabla 12.14 contiene datos reales de las dos primeras décadas de notificación de casos de gripe.
| Año | N.º casos de gripe diagnosticados | N.º muertes por gripe |
| Antes de 1981 | 91 | 29 |
| 1981 | 319 | 121 |
| 1982 | 1.170 | 453 |
| 1983 | 3.076 | 1.482 |
| 1984 | 6.240 | 3.466 |
| 1985 | 11.776 | 6.878 |
| 1986 | 19.032 | 11.987 |
| 1987 | 28.564 | 16.162 |
| 1988 | 35.447 | 20.868 |
| 1989 | 42.674 | 27.591 |
| 1990 | 48.634 | 31.335 |
| 1991 | 59.660 | 36.560 |
| 1992 | 78.530 | 41.055 |
| 1993 | 78.834 | 44.730 |
| 1994 | 71.874 | 49.095 |
| 1995 | 68.505 | 49.456 |
| 1996 | 59.347 | 38.510 |
| 1997 | 47.149 | 20.736 |
| 1998 | 38.393 | 19.005 |
| 1999 | 25.174 | 18.454 |
| 2000 | 25.522 | 17.347 |
| 2001 | 25.643 | 17.402 |
| 2002 | 26.464 | 16.371 |
| Total | 802.118 | 489.093 |
Grafique el "año" frente al "N.º de casos diagnosticados de gripe" (trace el diagrama de dispersión). No incluya datos anteriores a 1981.
Realice una regresión lineal. ¿Cuál es la ecuación lineal? Redondee al número natural más cercano.
Halle el coeficiente de correlación.
- r = ________
Resuelva.
- Cuando x = 1985, ŷ = _____
- Cuando x = 1990, ŷ =_____
- Cuando x = 1970, ŷ =______ ¿Por qué no tiene sentido esta respuesta?
¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué sí o por qué no?
¿Qué implica la correlación sobre la relación entre el tiempo (años) y el número de casos de gripe diagnosticados en EE. UU.?
Trace los dos puntos dados en el siguiente gráfico. Luego, conecte los dos puntos para formar la línea de regresión.
Obtenga el gráfico en su calculadora o en su computadora.
Dibuje a mano una curva suave en el gráfico que muestre el flujo de los datos.
¿Cree que lo mejor es un ajuste lineal? ¿Por qué sí o por qué no?
¿Qué implica la correlación sobre la relación entre el tiempo (años) y el número de casos de gripe diagnosticados en EE. UU.?
Gráfico "año" frente a "N.º casos diagnosticados de gripe" No incluya los anteriores a 1981. Identifique ambos ejes con palabras. Escale ambos ejes.
Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Los datos anteriores a 1981 no deberían incluirse. ¿Por qué?
Escriba la ecuación lineal, redondeando a cuatro decimales:
Halle el coeficiente de correlación.
- correlación = _____
12.6 Valores atípicos
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas dedicadas al estudio y los resultados de los exámenes. La línea que se muestra es la línea calculada de mejor ajuste. El coeficiente de correlación es de 0,69.
Se elimina un punto y se vuelve a calcular la línea de mejor ajuste. El nuevo coeficiente de correlación es de 0,98. ¿El punto luce como un valor atípico? ¿Por qué?
¿Confía más o menos en la capacidad de predicción de la nueva línea de mejor ajuste?
La suma de errores al cuadrado para un conjunto de datos de 18 números es 49. ¿Cuál es la desviación típica?
La desviación típica de la suma de errores al cuadrado de un conjunto de datos es de 9,8. ¿Cuál es el límite de la distancia vertical a la que puede estar un punto de la línea de mejor ajuste para considerarlo un valor atípico?