13.2 La distribución F y el cociente F - Introducción a la estadística

La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se llama distribuciónF, en honor al estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador.

Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F_{4, 10}.

Nota

La distribución F se deriva de la distribución t de Student. Los valores de la distribución F son los cuadrados de los valores correspondientes de la distribución t. El ANOVA de una vía amplía la prueba t para comparar más de dos grupos. El alcance de esa derivación está más allá del nivel de este curso. Es preferible utilizar el ANOVA cuando hay más de dos grupos en lugar de realizar pruebas t por pares porque la realización de pruebas múltiples introduce la probabilidad de cometer un error de tipo 1.

Para calcular el cociente F se hacen dos estimaciones de la varianza.

Varianza entre muestras: Una estimación de σ² que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada.
Varianza dentro de las muestras: Una estimación de σ² que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada.

SS_entre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras
SS_dentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar.

Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza de la muestra y la desviación típica de la muestra en Estadística Descriptiva.

MS significa “media cuadrática“ (mean square, MS). MS_entre es la varianza entre grupos y MS_dentro es la varianza dentro de los grupos.

Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática

k = el número de grupos diferentes
n_j = el tamaño del grupo j
s_j = la suma de los valores del grupo j
n = número total de todos los valores combinados (tamaño total de la muestra: ∑n_j)
x = un valor: ∑x = ∑s_j
Suma de los cuadrados de todos los valores de cada grupo combinados: ∑x²
Variabilidad entre grupos: SS_total = ∑x² – $\frac{(\sum x^{2})}{n}$
Suma total de cuadrados: ∑x² – $\frac{{(\sum x)}^{2}}{n}$
Variación explicada: suma de los cuadrados que representan la variación entre las diferentes muestras: SS_entre = $\sum [\frac{{(s_{j})}^{2}}{n_{j}}] - \frac{{(\sum s_{j})}^{2}}{n}$
Variación no explicada: suma de cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debida al azar: $S S_{dentro} = S S_{total} - S S_{entre}$
dfde diferentes grupos (df para el numerador): df = k – 1
Ecuación para los errores dentro de las muestras (dfpara el denominador): df_dentro = n – k
Media cuadrática (estimación de la varianza) explicado por los diferentes grupos: MS_entre = $\frac{S S_{entre}}{d e_{entre}}$
Media cuadrática (estimación de la varianza) que se debe al azar (no explicado): MS_dentro = $\frac{S S_{dentro}}{d e_{dentro}}$

MS_entre y MS_dentro se pueden escribir como sigue:

$M S_{entre} = \frac{S S_{entre}}{d e_{entre}} = \frac{S S_{entre}}{k - 1}$
$M S_{w i t h i n} = \frac{S S_{w i t h i n}}{d e_{w i t h i n}} = \frac{S S_{w i t h i n}}{n - k}$

La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MS_entre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MS_dentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MS_dentro.

La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MS_entre como MS_dentro deberían estimar el mismo valor.

Nota

La hipótesis nula dice que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis de igualdad de medias implica que las poblaciones tienen la misma distribución normal, ya que se supone que las poblaciones son normales y que tienen varianzas iguales.

El cociente F o estadístico F $F = \frac{M S_{entre}}{M S_{dentro}}$

Si MS_entre y MS_dentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H₀ es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MS_entre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MS_dentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MS_entre será generalmente mayor que MS_dentro. Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MS_dentro sea mayor en una muestra determinada.

Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como:

Fórmula del cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño $F = \frac{n \cdot s_{\bar{x}}^{2}}{s^{2}_{combinada}}$

donde...

n = el tamaño de la muestra
df_numerador = k – 1
df_denominador = n – k
s² combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
$s_{\bar{x}}^{2}$ = la varianza de las medias muestrales

Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares.

Fuente de variación	Suma de los cuadrados (SS)	Grados de libertad (df)	Media cuadrática (Mean Square, MS)	F
Factor (entre)	SS(factor)	k – 1	MS(factor) = SS(factor)/(k – 1)	F = MS(Factor)/MS(Error)
Error	SS(error)	n – k	MS(error) = SS(error)/(n – k)
Total	SS(total)	n – 1

Tabla 13.1

Ejemplo 13.1

Se van a probar tres planes de dieta diferentes para la pérdida media de peso. Las entradas de la tabla son las pérdidas de peso de los diferentes planes. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la Tabla 13.2.

Plan 1: n₁ = 4	Plan 2: n₂ = 3	Plan 3: n₃ = 3
5	3,5	8
4,5	7	4
4		3,5
3	4,5

Tabla 13.2

s₁ = 16,5, s₂ =15, s₃ = 15,5

A continuación se presentan los cálculos necesarios para completar la tabla de ANOVA de una vía. La tabla se utiliza para realizar una prueba de hipótesis.

S S (b e t w e e n) = \sum [\frac{{(s_{j})}^{2}}{n_{j}}] - \frac{{(\sum s_{j})}^{2}}{n}

= \frac{s_{1}^{2}}{4} + \frac{s_{2}^{2}}{3} + \frac{s_{3}^{2}}{3} - \frac{{(s_{1} + s_{2} + s_{3})}^{2}}{10}

donde n₁ = 4, n₂ = 3, n₃ = 3 y n = n₁ + n₂ + n₃ = 10

= \frac{{(16,5)}^{2}}{4} + \frac{{(15)}^{2}}{3} + \frac{{(15,5)}^{2}}{3} - \frac{{(16,5 + 15 + 15,5)}^{2}}{10}

S S (b e t w e e n) = 2,2458

S (t o t a l) = \sum x^{2} - \frac{{(\sum x)}^{2}}{n}

= (5^{2} + {4,5}^{2} + 4^{2} + 3^{2} + {3,5}^{2} + 7^{2} + {4,5}^{2} + 8^{2} + 4^{2} + {3,5}^{2})

- \frac{{(5 + 4,5 + 4 + 3 + 3,5 + 7 + 4,5 + 8 + 4 + 3,5)}^{2}}{10}

= 244 - \frac{47^{2}}{10} = 244 - 220,9

S S (t o t a l) = 23,1

S S (w i t h i n) = S S (t o t a l) - S S (b e t w e e n)

= 23,1 - 2,2458

S S (w i t h i n) = 20,8542

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Tabla de ANOVA de una vía: Las fórmulas para SS(total), SS(factor) = SS(entre) y SS(error) = SS(dentro) como se ha mostrado anteriormente. La misma información es proporcionada por la función de prueba de hipótesis de la calculadora TI ANOVA en STAT TESTS (la sintaxis es ANOVA(L1, L2, L3) donde L1, L2, L3 tienen los datos del Plan 1, Plan 2, Plan 3 respectivamente).

Fuente de variación	Suma de los cuadrados (SS)	Grados de libertad (df)	Media cuadrática (Mean Square, MS)	F
Factor (entre)	SS(factor) = SS(entre) = 2,2458	k – 1 = 3 grupos – 1 = 2	MS(factor) = SS(factor)/(k – 1) = 2,2458/2 = 1,1229	F = MS(Factor)/MS(Error) = 1,1229/2,9792 = 0,3769
Error	SS(error) = SS = 20,8542	n – k = 10 datos totales – 3 grupos = 7	MS(error) = SS(error)/(n – k) = 20,8542/7 = 2,9792
Total	SS(total) = 2,2458 + 20,8542 = 23,1	n – 1 = 10 datos totales – 1 = 9

Tabla 13.3

Inténtelo 13.1

Como parte de un experimento para ver cómo los diferentes tipos de lechos de suelo afectarían la producción de tomates de corte, los estudiantes del Marist College cultivaron plantas de tomate en diferentes condiciones de lecho de suelo. Los grupos de tres plantas tenían, cada uno, uno de los siguientes tratamientos

suelo desnudo
cubierta de suelo comercial
plástico negro
paja
compost

Todas las plantas crecieron en las mismas condiciones y eran de la misma variedad. Los estudiantes registraron el peso (en gramos) de los tomates producidos por cada una de las n = 15 plantas:

Desnudo: n₁ = 3	Cubierta del suelo: n₂ = 3	Plástico: n₃ = 3	Paja: n₄ = 3	Compost: n₅ = 3
2.625	5.348	6.583	7.285	6.277
2.997	5.682	8.560	6.897	7.818
4.915	5.482	3.830	9.230	8.677

Tabla 13.4

Cree la tabla ANOVA de una vía.

La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H₀.

Notación

La notación para la distribución F es F ~ F_{df(num),df(denom)}

donde df(num) = df_entre y df(denom) = df_dentro

La media de la distribución F es $μ = \frac{d e (d e n o m)}{d e (d e n o m) - 2}$