13.3 Datos sobre la distribución F

Las hipótesis nula y alternativa son:

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ = μ₅

H_a: μ_i ≠ μ_j alguna i ≠ j

Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la Figura 13.5

Distribución para la prueba: F_{4, 10}

df(num) = 5 – 1 = 4

df(denom) = 15 – 5 = 10

Estadístico de prueba: F = 4,4810

Figura 13.4

Declaración de probabilidad: valor p = P(F > 4,481) = 0,0248.

Compare α y el valor p: α = 0,05, valor p = 0,0248

Tome una decisión: Dado que α > valor p, rechazamos H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 % tenemos pruebas razonablemente sólidas de que las diferencias en los rendimientos medios de las plantas de tomate de corte cultivadas en diferentes condiciones de cubierta de suelo es poco probable que se deban únicamente al azar. Podemos concluir que, al menos, algunas de las cubiertas produjeron diferentes rendimientos medios.

Supongamos que μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ son las medias poblacionales de las hermandades de mujeres. Recuerde que la hipótesis nula afirma que los grupos de hermandades de mujeres proceden de la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de hermandades de mujeres proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Observe que los cuatro tamaños de muestra son cinco cada uno.

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄

H_a: No todas las medias μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ son iguales.

Distribución para la prueba: F_3,16

donde k = 4 grupos y n = 20 muestras en total

df(num)= k – 1 = 4 – 1 = 3

df(denom) = n – k = 20 – 4 = 16

Calcule el estadístico de prueba: F = 2,23

Gráfico:

Figura 13.6

Declaración de probabilidad: valor p = P(F > 2,23) = 0,1241

Compare α y el valor p: α = 0,01
valor p = 0,1241
α < valor p

Tome una decisión: Como α < valor p, no se puede rechazar H₀.

Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia entre las notas medias de las hermandades de mujeres.

Esta vez, realizaremos los cálculos que conducen al estadístico F'. Observe que cada grupo tiene el mismo número de plantas, por lo que utilizaremos la fórmula F' = $\frac{n\cdot s_{\overline{x}}{}^2}{s^2{}_{\text{combinada}}}$.

Primero, calcule la media muestral y la varianza de cada grupo.

Luego, calcule la varianza de las medias de los tres grupos (calcule la varianza de 24,2, 25,4 y 24,4). Varianza de las medias de los grupos = 0,413 = $s_{\overline{x}}{}^2$

Entonces MS_entre = $n{s}_{\overline{x}}{}^2$ = (5)(0,413) donde n = 5 es el tamaño de la muestra (número de plantas que cultivó cada niño).

Calcule la media de las tres varianzas de la muestra (calcule la media de 11,7, 18,3 y 16,3). Media de las varianzas de la muestra = 15,433 = s² combinada

Entonces MS_dentro = s²_combinado = 15,433.

El estadístico F (o cociente F) es $F=\frac{M{S}_{\text{entre}}}{M{S}_{\text{dentro}}}=\frac{n{s}_{\overline{x}}{}^2}{s^2{}_{pooled}}=\frac{(5)(\mathrm{0,413})}{\mathrm{15,433}}=\mathrm{0,134}$

Los dfs para el numerador = el número de grupos – 1 = 3 – 1 = 2.

El dfs para el denominador = el número total de muestras – el número de grupos = 15 – 3 = 12

La distribución de la prueba es F_{2, 12} y el estadístico F es F = 0,134

El valor p es P(F > 0,134) = 0,8759.

Decisión: Dado que α = 0,03 y el valor p = 0,8759, no se rechaza H₀. (¿Por qué?)

Conclusión: Con un nivel de significación del 3 %, a partir de los datos de la muestra, las pruebas no son suficientes para concluir que las alturas medias de las plantas de judías son diferentes.