13.4 Prueba de dos varianzas

Otro uso de la distribución F es la prueba de dos varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación de la tapa y del recipiente debe ser la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas.

Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que se cumplan estas condiciones:

1. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente.
2. Las dos poblaciones son independientes entre sí.

A diferencia de la mayoría de otras pruebas de este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, la prueba puede dar valores p más altos o más bajos de lo debido de forma imprevisible. Muchos textos sugieren a los estudiantes que no utilicen esta prueba en absoluto, pero en aras de la exhaustividad la incluimos aquí.

Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que ${\sigma }_1^2$ y ${\sigma }_2^2$ son las varianzas de la población y $s_1^2$ y $s_2^2$ sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n₁ y n₂. Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F:

$F=\frac{\left[\frac{{(s_1)}^2}{{({\sigma }_1)}^2}\right]}{\left[\frac{{(s_2)}^2}{{({\sigma }_2)}^2}\right]}$

F tiene la distribución F ~ F(n₁ – 1, n₂ – 1)

donde n₁ – 1 son los grados de libertad del numerador y n₂ – 1 son los grados de libertad del denominador.

Si la hipótesis nula es ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$, entonces el cociente F se convierte en $F=\frac{\left[\frac{{(s_1)}^2}{{({\sigma }_1)}^2}\right]}{\left[\frac{{(s_2)}^2}{{({\sigma }_2)}^2}\right]}=\frac{{(s_1)}^2}{{(s_2)}^2}$.

Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces $s_1^2$ y $s_2^2$ tienen valores cercanos y $F=\frac{{(s_1)}^2}{{(s_2)}^2}$ está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes, $s_1^2$ y $s_2^2$ también suelen ser muy diferentes. Al elegir $s_1^2$ ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente $\frac{{(s_1)}^2}{{(s_2)}^2}$ sea mayor que uno. Si $s_1^2$ y $s_2^2$ están muy separados, entonces $F=\frac{{(s_1)}^2}{{(s_2)}^2}$ es un número grande.

Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. Una prueba de dos varianzas puede ser de cola izquierda, derecha o de dos colas.