6.1 La distribución normal estándar
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días.
¿Cuál es la mediana del tiempo de recuperación?
- 2,7
- 5,3
- 7,4
- 2,1
El tiempo que se tarda en hallar un puesto para estacionar a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Si la media es significativamente mayor que la desviación típica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
- Los datos no pueden seguir la distribución uniforme.
- Los datos no pueden seguir la distribución exponencial.
- Los datos no pueden seguir la distribución normal.
- I solo
- II solo
- III solo
- I, II y III
Las alturas de los 430 jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (National Basketball Association, NBA) figuraban en las listas de los equipos al comienzo de la temporada 2005-2006. Las alturas de los jugadores de baloncesto tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 79 pulgadas y una desviación típica, σ = 3,89 pulgadas. Para cada una de las siguientes alturas, calcule la puntuación z e interprétala utilizando oraciones completas.
- 77 pulgadas
- 85 pulgadas
- Si un jugador de la NBA informara que su altura tiene una puntuación z de 3,5, ¿le creería? Explique su respuesta.
La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. La presión arterial sistólica de los hombres sigue una distribución normal.
- Calcule las puntuaciones z para las presiones sistólicas de 100 y 150 milímetros en hombres.
- Si un amigo le dijera que cree que su presión arterial sistólica está 2,5 desviaciones típicas por debajo de la media, pero que cree que su presión arterial está entre 100 y 150 milímetros, ¿qué le diría?
El médico de Kyle le dijo que la puntuación z de su presión arterial sistólica es de 1,75. ¿Cuál de las siguientes es la mejor interpretación de esta calificación estandarizada? La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. Si X = una calificación de presión arterial sistólica, entonces X ~ N (125, 14).
- ¿Qué respuesta(s) es(son) correcta(s)?
- La presión arterial sistólica de Kyle es de 175.
- La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 veces la presión arterial promedio de los hombres de su edad.
- La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres de su edad.
- La presión arterial sistólica de Kyles está 1,75 desviaciones típicas por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres.
- Calcule la presión arterial de Kyle.
La altura y el peso son dos medidas que se utilizan para seguir el desarrollo del niño. La Organización Mundial de la Salud mide el desarrollo infantil comparando el peso de niños de la misma altura y del mismo sexo. En 2009, los pesos de todas las niñas de 80 cm de la población de referencia tenían una media µ = 10,2 kg y una desviación típica σ = 0,8 kg. Los pesos se distribuyen normalmente. X ~ N(10,2, 0,8). Calcule las puntuaciones z que corresponden a las siguientes ponderaciones e interprételas.
- 11 kg
- 7,9 kg
- 12,2 kg
En 2005, 1.475.623 estudiantes que iban a continuar estudios superiores tomaron la SAT. La distribución de las calificaciones en la sección de Matemáticas de la SAT sigue una distribución normal con media µ = 520 y desviación típica σ = 115.
- Calcule la puntuación z para una calificación de la SAT de 720. Interprételo con una oración completa.
- ¿Qué calificación de la SAT de Matemáticas está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media? ¿Qué puede decir de esta calificación en la SAT?
- En 2012, la prueba de Matemáticas de la SAT tuvo una media de 514 y una desviación típica de 117. El examen de Matemáticas de la Prueba de Admisión en la Educación Superior de Estados Unidos (American College Testing, ACT) es una alternativa a la SAT y se distribuye aproximadamente normal, con una media de 21 y una desviación típica de 5,3. Si una persona toma el examen de Matemáticas de la SAT y obtiene 700 puntos y una segunda persona toma el examen de Matemáticas de la ACT y obtiene 30 puntos, ¿quién lo hizo mejor con respecto al examen que tomó?
6.2 Uso de la distribución normal
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días.
¿Cuál es la probabilidad de pasar más de dos días en recuperación?
- 0,0580
- 0,8447
- 0,0553
- 0,9420
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos.
Con base en la información dada y justificada numéricamente, ¿le sorprendería que tardara menos de un minuto en encontrar un puesto de estacionamiento?
- Sí
- No
- No se puede determinar
Calcule la probabilidad de que se tarde al menos ocho minutos en encontrar un puesto de estacionamiento.
- 0,0001
- 0,9270
- 0,1862
- 0,0668
El setenta por ciento de las veces, ¿cuántos minutos se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento?
- 1,24
- 2,41
- 3,95
- 6,05
Según un estudio realizado por estudiantes de De Anza, la altura de los hombres adultos asiáticos se distribuye normalmente, con un promedio de 66 pulgadas y una desviación típica de 2,5 pulgadas. Supongamos que se elige al azar un hombre adulto asiático. Supongamos que X = la altura de la persona.
- X ~ _____(_____,_____)
- Calcule la probabilidad de que la persona tenga entre 65 y 69 pulgadas de alto. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad.
- ¿Espera hallar muchos hombres adultos asiáticos de más de 72 pulgadas de alto? Explique por qué sí o por qué no, y justifique su respuesta numéricamente.
El IQ se distribuye normalmente, con una media de 100 y una desviación típica de 15. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = IQ de una persona.
- X ~ _____(_____,_____)
- Calcule la probabilidad de que la persona tenga un IQ superior a 120. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad.
- MENSA es una organización cuyos miembros tienen el 2 % más alto de todos los IQ. Calcule el IQ mínimo necesario para poder acceder a la organización MENSA. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad.
- ¿El 50 % de los coeficientes intelectuales se sitúan entre qué dos valores? Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad.
El porcentaje de calorías de grasa que consume una persona en Estados Unidos cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de 10. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = porcentaje de calorías de grasa.
- X ~ _____(_____,_____)
- Calcule la probabilidad de que el porcentaje de calorías de grasa que consume una persona sea superior a 40. Grafique la situación. Sombree en la zona por determinar.
- Calcule el número máximo para el cuarto inferior del porcentaje de calorías de grasa. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad.
Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies.
- Si X = distancia en pies para un batazo de aire, entonces X ~ _____(_____,_____)
- Si se elige al azar un batazo de aire de esta distribución, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota haya volado menos de 220 pies? Dibuje el gráfico. Escale el eje horizontal X. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad.
- Calcule el percentil 80 de la distribución de los batazos de aire. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad.
En China, los niños de cuatro años pasan un promedio de tres horas al día sin supervisión. La mayoría de los niños sin supervisión viven en zonas rurales, consideradas seguras. Supongamos que la desviación típica es de 1,5 horas y que la cantidad de tiempo que se pasa solo se distribuye normalmente. Seleccionamos al azar un niño chino de cuatro años que vive en una zona rural. Nos interesa la cantidad de tiempo que el niño pasa solo al día.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- X ~ _____(_____,_____)
- Calcule la probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad.
- ¿Qué porcentaje de niños pasa más de diez horas al día sin supervisión?
- ¿Cuánto tiempo como mínimo pasan al día sin supervisión el setenta por ciento de los niños?
En las elecciones presidenciales de 1992, los 40 distritos electorales de Alaska obtuvieron un promedio de 1.956,8 votos por distrito para el presidente Clinton. La desviación típica fue de 572,3 (solo hay 40 distritos electorales en Alaska). La distribución de los votos por distrito para el presidente Clinton tuvo forma de campana. Supongamos que X = número de votos para el presidente Clinton para un distrito electoral.
- Indique la distribución aproximada de X.
- ¿1.956,8 es una media poblacional o una media muestral? ¿Cómo lo sabe?
- Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga menos de 1.600 votos para el presidente Clinton. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad.
- Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga entre 1.800 y 2.000 votos para el presidente Clinton.
- Calcule el tercer cuartil de votos para el presidente Clinton.
Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal se distribuye normalmente, con una media de 21 días y una desviación típica de siete días.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- X ~ _____(_____,_____)
- Si uno de los juicios se elige al azar, calcule la probabilidad de que haya durado, al menos, 24 días. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad.
- ¿En cuántos días se completan el sesenta por ciento de los juicios de este tipo?
Terri Vogel, una corredora de motos aficionada, tiene un promedio de 129,71 segundos por vuelta de 2,5 millas (en una carrera de siete vueltas) con una desviación típica de 2,28 segundos. La distribución de sus tiempos de carrera se distribuye normalmente. Estamos interesados en una de sus vueltas seleccionadas al azar.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- X ~ _____(_____,_____)
- Calcule el porcentaje de sus vueltas que se completan en menos de 130 segundos.
- El 3 % de sus vueltas más rápidas están por debajo de _____.
- El 80 % de sus vueltas son de _______ segundos a _______ segundos.
Thuy Dau, Ngoc Bui, Sam Su y Lan Voung realizaron una encuesta sobre el tiempo que los clientes de Lucky afirmaron que esperaban en la fila de la caja hasta que les llegaba su turno. Supongamos que X = tiempo en fila. La Tabla 6.3 muestra los datos reales ordenados (en minutos):
| 0,50 | 4,25 | 5 | 6 | 7,25 |
| 1,75 | 4,25 | 5,25 | 6 | 7,25 |
| 2 | 4,25 | 5,25 | 6,25 | 7,25 |
| 2,25 | 4,25 | 5,5 | 6,25 | 7,75 |
| 2,25 | 4,5 | 5,5 | 6,5 | 8 |
| 2,5 | 4,75 | 5,5 | 6,5 | 8,25 |
| 2,75 | 4,75 | 5,75 | 6,5 | 9,5 |
| 3,25 | 4,75 | 5,75 | 6,75 | 9,5 |
| 3,75 | 5 | 6 | 6,75 | 9,75 |
| 3,75 | 5 | 6 | 6,75 | 10,75 |
- Calcule la media y la desviación típica de la muestra.
- Construya un histograma.
- Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras.
- Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras.
- Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ. La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____)
- Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que una persona espere menos de 6,1 minutos.
- Determine la frecuencia relativa acumulada para esperar menos de 6,1 minutos.
- ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales?
- ¿Por qué las respuestas de las partes f y g son tan cercanas?
- Si solo se hubiera encuestado a diez clientes en vez de 50, ¿cree que las respuestas de las partes f y g habrían estado más cerca o más lejos? Explique su conclusión.
Supongamos que Ricardo y Anita asisten a institutos universitarios diferentes. El GPA de Ricardo es igual al GPA de su escuela. El GPA de Anita está 0,70 desviaciones típicas por encima del GPA de su escuela. En oraciones completas, explique por qué cada una de las siguientes afirmaciones puede ser falsa.
- El GPA real de Ricardo es menor que el de Anita.
- Ricardo no aprueba porque su puntuación z es cero.
- Anita está en el percentil 70 de los estudiantes de su instituto universitario.
La Tabla 6.4 muestra la capacidad máxima (número máximo de espectadores) de los estadios deportivos. La tabla no incluye los hipódromos de carreras de caballos o estadios de carrera de automóviles.
| 40.000 | 40.000 | 45.050 | 45.500 | 46.249 | 48.134 |
| 49.133 | 50.071 | 50.096 | 50.466 | 50.832 | 51.100 |
| 51.500 | 51.900 | 52.000 | 52.132 | 52.200 | 52.530 |
| 52.692 | 53.864 | 54.000 | 55.000 | 55.000 | 55.000 |
| 55.000 | 55.000 | 55.000 | 55.082 | 57.000 | 58.008 |
| 59.680 | 60.000 | 60.000 | 60.492 | 60.580 | 62.380 |
| 62.872 | 64.035 | 65.000 | 65.050 | 65.647 | 66.000 |
| 66.161 | 67.428 | 68.349 | 68.976 | 69.372 | 70.107 |
| 70.585 | 71.594 | 72.000 | 72.922 | 73.379 | 74.500 |
| 75.025 | 76.212 | 78.000 | 80.000 | 80.000 | 82.300 |
- Calcule la media muestral y la desviación típica muestral de la capacidad máxima de los estadios deportivos (los datos).
- Construya un histograma.
- Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras del histograma.
- Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras.
- Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ. La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____).
- Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que la capacidad máxima de los estadios deportivos sea inferior a 67.000 espectadores.
- Determine la frecuencia relativa acumulada de que la capacidad máxima de los estadios deportivos sea inferior a 67.000 espectadores. Pista: Ordene los datos y cuente los estadios deportivos que tienen una capacidad máxima inferior a 67.000. Divida por el número total de estadios deportivos de la muestra.
- ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales?
Un perito de una demanda de paternidad declara que la duración de un embarazo se distribuye normalmente, con una media de 280 días y una desviación típica de 13 días. El presunto padre estuvo fuera del país entre 240 y 306 días antes del nacimiento del niño, por lo que el embarazo habría durado menos de 240 días o más de 306 días si era el padre. El parto no tuvo complicaciones y el niño no necesitó ninguna intervención médica. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea el padre? ¿Cuál es la probabilidad de que pueda ser el padre? Calcule primero las puntuaciones z y luego utilícelas para calcular la probabilidad.
La línea de montaje de NUMMI, que lleva funcionando desde 1984, ha construido un promedio de 6.000 automóviles y camiones a la semana. Por lo general, el 10 % de los automóviles salían defectuosos de la cadena de montaje. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de n = 100 automóviles. Supongamos que X el número de automóviles defectuosos de la muestra. ¿Qué podemos decir de X con respecto a la regla empírica 68-95-99,7 (se habla de una desviación típica, dos desviaciones típicas y tres desviaciones típicas de la media)? Supongamos una distribución normal para los automóviles defectuosos de la muestra.
Lanzamos una moneda 100 veces (n = 100) y observamos que solo sale cara el 20 % (p = 0,20) de las veces. La media y la desviación típica del número de veces que la moneda cae cara es µ = 20 y σ = 4 (verifica la media y la desviación típica). Resuelva lo siguiente:
- Hay un 68 % de posibilidades de que el número de caras esté entre ___ y ___.
- Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre 12 y 28.
- Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre ocho y 32.
Un billete de lotería de 1 dólar resultará ganador una de cada cinco veces. De un cargamento de n = 190 billetes de lotería, calcule la probabilidad de que haya
- entre 34 y 54 premios.
- entre 54 y 64 premios.
- más de 64 premios.
Facebook ofrece una serie de estadísticas en su sitio web que detallan el crecimiento y la popularidad del sitio.
En promedio, el 28 % de los jóvenes de 18 a 34 años consultan sus perfiles de Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana. Supongamos que este porcentaje sigue una distribución normal con una desviación típica del cinco por ciento.
- Calcule la probabilidad de que el porcentaje de personas de 18 a 34 años que revisan Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana sea al menos del 30.
- Calcule el percentil 95 y expréselo en una frase.