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Introducción a la estadística

7.3 Uso del teorema del límite central

Introducción a la estadística7.3 Uso del teorema del límite central

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

Es importante que entienda cuándo utilizar el teorema del límite central. Si se le pide que halle la probabilidad de la media, utilice el TLC para la media. Si se le pide que halle la probabilidad de una suma o un total, utilice el TLC para sumas. Esto también se aplica a los percentiles para las medias y las sumas.

NOTA

Si se le pide que halle la probabilidad de un valor individual, no utilice el TLC. Utilice la distribución de su variable aleatoria.

Ejemplos del teorema del límite central

Ley de los grandes números

La ley de los grandes números indica que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media x ¯ x ¯ de la muestra tiende a acercarse cada vez más a μ. Por el teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n, menor será la desviación típica (recuerde que la desviación típica para X ¯ X ¯ es σ n σ n ). Esto significa que la media muestral x ¯ x ¯ debe estar cerca de la media poblacional μ. Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números.

Teorema del límite central para los ejemplos de media y suma

Ejemplo 7.8

Se realiza un estudio sobre el estrés entre los estudiantes de un campus universitario. Las puntuaciones de estrés siguen una distribución uniforme con la puntuación de estrés más baja igual a uno y la más alta igual a cinco. Utilizando una muestra de 75 estudiantes, calcule:

  1. La probabilidad de que la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes sea inferior a dos.
  2. El percentil 90 de la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes.
  3. La probabilidad de que el total de las 75 puntuaciones de estrés sea inferior a 200.
  4. El percentil 90 de la puntuación total de estrés de los 75 estudiantes.

Supongamos que X = una puntuación de estrés.

En los problemas a y b se pide calcular una probabilidad o un percentil para una media. En los problemas c y d se pide calcular una probabilidad o un percentil para un total o una suma. El tamaño de la muestra, n, es igual a 75.

Dado que las puntuaciones individuales de estrés siguen una distribución uniforme, X ~ U(1, 5) donde a = 1 y b = 5 (vea Variables aleatorias continuas para una explicación de la distribución uniforme).

μX = a+b 2 a+b 2 = 1 + 5 2 1 + 5 2 = 3

σX = (ba) 2 12 (ba) 2 12 = (51) 2 12 (51) 2 12 = 1,15

Para los problemas a. y b., sea X ¯ X ¯ = la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes. Entonces,

X ¯ X ¯ N ( 3,  10,15 75 ) ( 3,  10,15 75 )

translation missing: es.problem

a. Halle P( x ¯ x ¯ < 2). Dibuje el gráfico.

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b. Calcule el percentil 90 para la media de 75 puntuaciones de estrés. Dibuje un gráfico.

Para los problemas c y d, sea ΣX = la suma de las 75 puntuaciones de tensión. Entonces, ΣX ~ N[(75)(3), ( 75 ) ( 75 ) (1,15)]

translation missing: es.problem

c. Calcule P(Σx < 200). Dibuje el gráfico.

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d. Calcule el percentil 90 para el total de las 75 puntuaciones de estrés. Dibuje un gráfico.

Inténtelo 7.8

Utilice la información del Ejemplo 7.8, pero utilice un tamaño de muestra de 55 para responder las siguientes preguntas.

  1. Halle P( x ¯ x ¯ < 7).
  2. Calcule P(Σx > 170).
  3. Calcule el percentil 80 para la media de 55 puntuaciones.
  4. Calcule el percentil 85 para la suma de 55 puntuaciones.

Ejemplo 7.9

Supongamos que un analista de investigación de mercado de una compañía de telefonía móvil realiza un estudio sobre sus clientes que superan el tiempo incluido en su contrato básico de telefonía móvil; el analista descubre que, para las personas que superan el tiempo incluido en su contrato básico, el exceso de tiempo utilizado sigue una distribución exponencial con una media de 22 minutos.

Consideremos una muestra aleatoria de 80 clientes que superan el límite de tiempo incluido en su contrato básico de telefonía móvil.

Supongamos que X = el exceso de tiempo utilizado por un cliente de telefonía móvil INDIVIDUAL que supera su asignación de tiempo contratada.

XExp ( 1 22 ) ( 1 22 ) . Por los capítulos anteriores, sabemos que μ = 22 y σ = 22.

Supongamos que X ¯ X ¯ = el exceso de la media de tiempo utilizado por una muestra de n = 80 clientes que superan el tiempo contratado.

X ¯ X ¯  ~ N ( 22,  22 80 ) ( 22,  22 80 ) por el teorema del límite central para las medias muestrales

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Utilice el TLC para calcular la probabilidad

  1. Calcule la probabilidad de que el exceso de la media de tiempo utilizado por los 80 clientes de la muestra sea superior a 20 minutos. Esto nos pide calcular P( x ¯ x ¯ > 20). Dibuje el gráfico.
  2. Supongamos que se selecciona aleatoriamente un cliente que supera el límite de tiempo de su contrato de telefonía móvil. Calcule la probabilidad de que el exceso de tiempo de este cliente individual sea superior a 20 minutos. Esto nos pide calcular P(x > 20).
  3. Explique por qué las probabilidades de las partes a y b son diferentes.

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Uso del TLC para calcular percentiles

Calcule el percentil 95 de la media muestral del exceso de tiempo para las muestras de 80 clientes que exceden sus asignaciones de tiempo de contrato básico. Dibuje un gráfico.

Inténtelo 7.9

Utilice la información del Ejemplo 7.9, pero cambie el tamaño de la muestra a 144.

  1. Calcule P(20 < x ¯ x ¯ < 30).
  2. Calcule P(Σx es al menos 3.000).
  3. Calcule el percentil 75 para la media muestral del exceso de tiempo de 144 clientes.
  4. Calcule el percentil 85 para la suma de los 144 excesos de tiempo utilizados por los clientes.

Ejemplo 7.10

En Estados Unidos, alguien sufre una agresión sexual cada dos minutos, en promedio, según varios estudios. Supongamos que la desviación típica es de 0,5 minutos y el tamaño de la muestra es de 100.

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  1. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la media de tiempo de la muestra de las agresiones sexuales en Estados Unidos.
  2. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la suma de los tiempos de muestra de las agresiones sexuales en Estados Unidos.
  3. Calcule la probabilidad de que una agresión sexual se produzca en un promedio de entre 1,75 y 1,85 minutos.
  4. Calcule el valor que está dos desviaciones típicas por encima de la media de la muestra.
  5. Calcule el IQR para la suma de los tiempos de la muestra.

Inténtelo 7.10

Según los datos de la Encuesta Nacional de Salud, las mujeres de entre 18 y 24 años tienen una presión arterial sistólica promedio (en mm Hg) de 114,8 con una desviación típica de 13,1. La presión arterial sistólica de las mujeres de entre 18 y 24 años sigue una distribución normal.

  1. Si se selecciona aleatoriamente una mujer de esta población, calcule la probabilidad de que su presión arterial sistólica sea superior a 120.
  2. Si se seleccionan aleatoriamente 40 mujeres de esta población, calcule la probabilidad de que su presión arterial sistólica media sea superior a 120.
  3. Si la muestra fuera de cuatro mujeres de entre 18 y 24 años y no conociéramos la distribución original, ¿se podría utilizar el teorema del límite central?

Ejemplo 7.11

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Se realizó un estudio sobre la violencia contra las prostitutas y los síntomas del estrés postraumático que desarrollaron. El rango de edad de las prostitutas era de 14 a 61 años. La edad media era de 30,9 años, con una desviación típica de nueve años.

  1. En una muestra de 25 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de edad de las prostitutas sea inferior a 35 años?
  2. ¿Es probable que la media de edad del grupo de la muestra sea superior a 50 años? Interprete los resultados.
  3. En una muestra de 49 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las edades no sea inferior a 1.600?
  4. ¿Es probable que la suma de las edades de las 49 prostitutas sea como máximo 1.595? Interprete los resultados.
  5. Calcule el percentil 95 de la media de edad de la muestra de 65 prostitutas. Interprete los resultados.
  6. Calcule el percentil 90 de la suma de las edades de 65 prostitutas. Interprete los resultados.

Inténtelo 7.11

Según los datos de Boeing, el avión 757 transporta 200 pasajeros y tiene puertas con una altura de 72 pulgadas. Supongamos que para una determinada población de hombres tenemos una altura media de 69,0 pulgadas y una desviación típica de 2,8 pulgadas.

  1. ¿Qué altura de la puerta permitiría al 95 % de los hombres entrar en el avión sin agacharse?
  2. Supongamos que la mitad de los 200 pasajeros son hombres. ¿Qué altura media de la puerta satisface la condición de que existe una probabilidad de 0,95 de que esta altura sea mayor que la altura media de 100 hombres?
  3. Para los ingenieros que diseñan el 757, ¿qué resultado es más relevante: la altura de la parte a o la de la parte b? ¿Por qué?

NOTA HISTÓRICA

Aproximación normal a la binomial

Históricamente, poder calcular las probabilidades binomiales era una de las aplicaciones más importantes del teorema del límite central. Las probabilidades binomiales con un valor pequeño para n(digamos, 20) se mostraban en una tabla en un libro. Para calcular las probabilidades con valores grandes de n, había que utilizar la fórmula binomial, que podía ser muy complicada. El uso de la aproximación normal a la distribución binomial simplificó el proceso. Para calcular la aproximación normal a la distribución binomial, tome una muestra aleatoria simple de una población. Debe cumplir las condiciones de una distribución binomial:

  • hay un cierto número n de ensayos independientes
  • los resultados de cualquier ensayo son aciertos o fallos
  • cada ensayo tiene la misma probabilidad de un acierto p

Recordemos que si X es la variable aleatoria binomial, entonces X ~ B(n, p). La forma de la distribución binomial debe ser similar a la de la distribución normal. Para ello, las cantidades np y nq deben ser mayores que cinco (np > 5 y nq > 5; la aproximación es mejor si ambas son mayores o iguales a 10). Entonces la binomial puede ser aproximada por la distribución normal con media μ = np y desviación típica σ = npq npq . Recuerde que q = 1 - p. Para obtener la mejor aproximación, sume 0,5 a x o reste 0,5 a x (utilice x + 0,5 o x - 0,5). El número 0,5 se denomina factor de corrección de continuidad y se utiliza en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.12

Supongamos que en un distrito escolar local desde kínder hasta 12.º grado (K-12), el 53 % de la población está a favor de una escuela chárter de kínder a 5.º grado (K-5). Se realiza una encuesta con una muestra aleatoria simple de 300 personas.

  1. Calcule la probabilidad de que al menos 150 estén a favor de una escuela chárter.
  2. Calcule la probabilidad de que como máximo 160 estén a favor de una escuela chárter.
  3. Calcule la probabilidad de que más de 155 estén a favor de una escuela chárter.
  4. Calcule la probabilidad de que menos de 147 estén a favor de una escuela chárter.
  5. Calcule la probabilidad de que exactamente 175 estén a favor de una escuela chárter.

Supongamos que X = el número de los que están a favor de una escuela chárter de K-5. X ~ B(n, p) donde n = 300 y p = 0,53. Como np > 5 y nq > 5, utilice la aproximación normal a la binomial. Las fórmulas para la media y la desviación típica son μ = np y σ = npq npq . La media es de 159 desviación típica es de 8,6447. La variable aleatoria de la distribución normal es Y. Y ~ N(159; 8,6447). Consulte La distribución normal para obtener ayuda con las instrucciones de la calculadora.

Para la parte a, se incluye 150 por lo que P(X ≥ 150) tiene aproximación normal P(Y ≥ 149,5) = 0,8641.

normalcdf(149,5,10^99,159,8.6447) = 0,8641.

Para la parte b, se incluye 160 por lo que P(X ≤ 160) tiene una aproximación normal P(Y ≤ 160,5) = 0,5689.

normalcdf(0,160.5,159,8.6447) = 0,5689

Para la parte c, se excluye 155 por lo que P(X > 155) tiene una aproximación normal P(y > 155,5) = 0,6572.

normalcdf(155,5,10^99,159,8.6447) = 0,6572.

Para la parte d, se excluye 147 por lo que P(X < 147) tiene una aproximación normal P(Y < 146,5) = 0,0741.

normalcdf(0,146.5,159,8.6447) = 0,0741

Para la parte e,P(X = 175) tiene una aproximación normal P(174,5 < Y < 175,5) = 0,0083.

normalcdf(174.5,175.5,159,8.6447) = 0,0083

Gracias a las calculadoras y a los softwares que permiten calcular fácilmente las probabilidades binomiales para grandes valores de n, no es necesario utilizar la aproximación normal a la distribución binomial, siempre que se tenga acceso a estas herramientas tecnológicas. La mayoría de los laboratorios escolares disponen de Microsoft Excel, un ejemplo de software que calcula probabilidades binomiales. Muchos estudiantes tienen acceso a las calculadoras de la serie TI-83 u 84, y calculan fácilmente las probabilidades de la distribución binomial. Si escribe "cálculo de la distribución de probabilidad binomial" en un navegador de internet, podrá encontrar al menos una calculadora en línea para la binomial.

Para el Ejemplo 7.10, las probabilidades se calculan utilizando la siguiente distribución binomial: (n = 300 y p = 0,53). Compare las respuestas de la distribución binomial y la normal. Vea Variables aleatorias discretas para ayudar con las instrucciones de la calculadora para la binomial.

P(X ≥ 150) :1 – binomialcdf(300,0.53,149) = 0,8641

P(X ≤ 160) :binomialcdf(300,0.53,160) = 0,5684

P(X > 155) :1 – binomialcdf(300,0.53,155) = 0,6576

P(X < 147) :binomialcdf(300,0.53,146) = 0,0742

P(X = 175) : (Se utiliza la función de densidad de probabilidad [probability density function, pdf] binomial).binomialpdf(300,0.53,175) = 0,0083

Inténtelo 7.12

En una ciudad, el 46 % de la población está a favor del titular, Dawn Morgan, para la alcaldía. Se toma una muestra aleatoria simple de 500 personas. Utilizando el factor de corrección de la continuidad, halle la probabilidad de que al menos 250 favorezcan a Dawn Morgan como alcaldesa.

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