7.2 El teorema del límite central para las sumas

Supongamos que X = un valor de la población original desconocida. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la suma (o el total de) 80 valores.

ΣX = la suma o el total de 80 valores. Como μ_X = 90, σ_X = 15, y n = 80, $\Sigma X$ ~ N((80)(90),
($\sqrt{\text{80}}$)(15))

• media de las sumas =(n)(μ_X) = (80)(90) = 7.200
• desviación típica de las sumas = $\text{(}\sqrt{n}\text{)(}{\sigma }_X\text{) = (}\sqrt{\text{80}}\text{)}$(15)
• suma de 80 valores = Σx = 7.500
  

a. Calcule P(Σx > 7.500)

P(Σx > 7.500) = 0,0127

Figura 7.3

b. Calcule Σx donde z = 1,5.

Σx = (n)(μ_X) + (z)$\left(\sqrt{n}\right)$(σ_Χ) = (80)(90) + (1,5)($\sqrt{80}$)(15) = 7.401,2

1. μ_Σx = nμ_x = 50(34) = 1.700 y σ_Σx = $\sqrt{n}$σ_x = $(\sqrt{\text{50}}\text{ )}$(15) = 106,07
   La distribución es normal para las sumas por el teorema del límite central.
2. P(1500 < Σx < 1800) = normalcdf (1.500, 1.800, (50)(34), $(\sqrt{\text{50}}\text{ )}$(15)) = 0,7974
3. Supongamos que k = el percentil 80.
   k = invNorm(0,80,(50)(34),$(\sqrt{\text{50}}\text{ )}$(15)) = 1.789,3

1. μ_Σx = nμ_x = 70(8,2) = 574 minutos y σ_Σx = $\left(\sqrt{n}\right)\left({\sigma }_x\right)$ = $(\sqrt{\text{70}}\text{ )}$(1) = 8,37 minutos
2. Supongamos que k = el percentil 95.
   k = invNorm (0,95,(70)(8,2),$(\sqrt{\text{70}}\text{)}$(1)) = 587,76 minutos
   El noventa y cinco por ciento de las sumas de los tiempos de participación en la aplicación son como máximo 587,76 minutos.
3. diez horas = 600 minutos
   P(Σx ≥ 600) = normalcdf(600,E99,(70)(8,2),$(\sqrt{\text{70}}\text{)}$(1)) = 0,0009