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Introducción a la estadística

7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)

Introducción a la estadística7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución). Utilizando un subíndice que coincida con la variable aleatoria, supongamos:

  1. μX = la media de X
  2. σX = la desviación típica de X

Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, a medida que n aumenta, la variable aleatoria x ¯ x ¯ que consiste en las medias muestrales, tiende a distribuirse normalmente y

x ¯ x ¯ ~ N ( μ x σX n ) ( μ x σX n ) .

El teorema del límite central para las medias muestrales indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calculan sus medias, estas tienden a seguir una distribución normal (la distribución muestral). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene la misma media que la distribución original y una varianza que es igual a la varianza original dividida por el tamaño de la muestra. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica de la distribución original dividida por la raíz cuadrada de n. La variable n es el número de valores que se promedian juntos, no el número de veces que se realiza el experimento.

Para decirlo de manera más formal, si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, la distribución de la variable aleatoria x ¯ x ¯ , que consiste en las medias muestrales, se denomina distribución muestral de la media. La distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta n, el tamaño de la muestra.

La variable aleatoria x ¯ x ¯ tiene asociada una puntuación z diferente a la de la variable aleatoria X. La media x ¯ x ¯ es el valor de x ¯ x ¯ en una muestra.

z= x ¯ μ x ( σ X n ) z= x ¯ μ x ( σ X n )

μX es el promedio de X y x ¯ x ¯ .

σ x ¯  =  σX n σ x ¯  =  σX n = desviación típica de x ¯ x ¯ y se denomina error estándar de la media.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Para calcular las probabilidades de las medias en la calculadora, siga estos pasos.

2.º DISTR
2:normalcdf

normalcde( valor más bajo del área, valor más alto del área, media, desviación típica tamaño de la muestra ) normalcde( valor más bajo del área, valor más alto del área, media, desviación típica tamaño de la muestra )

donde:

  • la media es la media de la distribución original
  • la desviación típica es la desviación típica de la distribución original
  • el tamaño de la muestra = n

Ejemplo 7.1

Una distribución desconocida tiene una media de 90 y una desviación típica de 15. Las muestras de tamaño n = 25 se extraen aleatoriamente de la población.

Translation missing: es.problem


a. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 85 y 92.

Se trata de una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 90 del eje horizontal. Los puntos 85 y 92 están marcados en el eje. Se trazan líneas verticales desde estos puntos hasta la curva y se sombrea el área entre las líneas. La región sombreada representa la probabilidad de que 85 < x < 92.
Figura 7.2

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

normalcdf(valor inferior, valor superior, media, error estándar de la media)

La lista de parámetros se abrevia (valor inferior, valor superior, μ, σ n σ n )

normalcdf(85,92,90, 15 25 15 25 ) = 0,6997

Translation missing: es.problem

b. Calcule el valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado, 90, de la media de la muestra.

Inténtelo 7.1

Una distribución desconocida tiene una media de 45 y una desviación típica de ocho. Las muestras de tamaño n = 30 se extraen aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 42 y 50.

Ejemplo 7.2

Translation missing: es.problem

El tiempo, en horas, que tarda un grupo de personas "mayores de 40 años" en jugar un partido de fútbol se distribuye normalmente con una media de dos horas y una desviación típica de 0,5 horas. Una muestra de tamaño n = 50 se extrae aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 1,8 horas y 2,3 horas.

Inténtelo 7.2

La duración de la prueba SAT para un grupo de estudiantes se distribuye normalmente con una media de 2,5 horas y una desviación típica de 0,25 horas. Una muestra de tamaño n = 60 se extrae aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre dos horas y tres horas.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Para calcular los percentiles de las medias en la calculadora, siga estos pasos.

2nd DIStR
3:invNorm

k = invNorm ( área a la izquierda de k, media,  standatd deviation sample sice ) ( área a la izquierda de k, media,  standatd deviation sample sice )

donde:

  • k = el percentil k
  • la media es la media de la distribución original
  • la desviación típica es la desviación típica de la distribución original
  • el tamaño de la muestra = n

Ejemplo 7.3

Translation missing: es.problem

En un estudio reciente publicado el 29 de octubre de 2012 en el blog de Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas es de 34 años. Supongamos que la desviación típica es de 15 años. Tome una muestra de tamaño n = 100.

  1. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la muestra de edades medias de los usuarios de tabletas?
  2. ¿Cómo es la distribución?
  3. Calcule la probabilidad de que la media de edad de la muestra sea superior a 30 años (la media de edad declarada de los usuarios de tabletas en este estudio en particular).
  4. Calcule el percentil 95 de la edad media de la muestra (con un decimal).

Inténtelo 7.3

En un artículo del blog de Flurry, se identifica una brecha en el mercadeo del juego para los hombres de entre 30 y 40 años. Investiga un juego de una empresa emergente dirigido al público de 35 años. Su idea es desarrollar un juego de estrategia que puedan jugar hombres de entre 20 y 30 años. Según los datos del artículo, la investigación del sector muestra que el jugador promedio de estrategia tiene 28 años, con una desviación típica de 4,8 años. Se toma una muestra de 100 jugadores seleccionados aleatoriamente. Si su mercado objetivo es de 29 a 35 años, ¿debe seguir con su estrategia de desarrollo?

Ejemplo 7.4

Translation missing: es.problem

El número medio de minutos de participación en la aplicación por parte de un usuario de tableta es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación típica es de un minuto. Tome una muestra de 60.

  1. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la muestra del número de la media de participación en aplicaciones por parte de un usuario de tableta?
  2. ¿Cuál es el error estándar de la media?
  3. Calcule el percentil 90 para la media de tiempo de la muestra para la participación en la aplicación para un usuario de la tableta. Interprete este valor en una oración completa.
  4. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 8 minutos y 8,5 minutos.

Inténtelo 7.4

Las latas de una bebida de cola dicen contener 16 onzas. Se miden las cantidades de una muestra y la estadística es n = 34, x ¯ x ¯ = 16,01 onzas. Si las latas se llenan de forma que μ = 16,00 onzas (como se indica en la etiqueta) y σ = 0,143 onzas, halle la probabilidad de que una muestra de 34 latas tenga una cantidad promedio superior a 16,01 onzas. ¿Los resultados sugieren que las latas se llenan con una cantidad superior a las 16 onzas?

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