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Introducción a la estadística

10.4 Muestras coincidentes o emparejadas

Introducción a la estadística10.4 Muestras coincidentes o emparejadas

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas, deben darse las siguientes características:

  1. Se utiliza un muestreo aleatorio simple.
  2. El tamaño de las muestras suele ser pequeño.
  3. Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos.
  4. Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas.
  5. Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis.
  6. O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal.

En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, se comprueba la media poblacional de las diferencias, μd, mediante una prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias.

El estadístico de prueba (puntuación t) es:
t= x ¯ d μ d ( s d n ) t= x ¯ d μ d ( s d n )

Ejemplo 10.11

Translation missing: es.problem

Se realizó un estudio para investigar la eficacia del hipnotismo en la reducción del dolor. Los resultados de los sujetos seleccionados al azar se muestran en la Tabla 10.11. Una calificación más baja indica menos dolor. El valor “antes” es coincidente con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. ¿Las medidas sensoriales son, en promedio, más bajas después del hipnotismo? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Sujeto: A B C D E F G H
Antes 6,6 6,5 9,0 10,3 11,3 8,1 6,3 11,6
Después 6,8 2,4 7,4 8,5 8,1 6,1 3,4 2,0
Tabla 10.11

Nota:

Para las calculadoras TI-83+ y TI-84, puede calcular las diferencias por adelantado (después - antes) y poner las diferencias en una lista o puede poner los datos después en una primera lista y los datos antes en una segunda lista. A continuación, vaya a una tercera lista y desplace la flecha hacia arriba hasta el nombre. Ingrese el 1.° nombre de la lista - 2.º nombre de la lista. La calculadora hará la resta, y tendrá las diferencias en la tercera lista.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Utilice su lista de diferencias como datos. Pulse STAT y flecha hacia TESTS. Pulse 2:T-Test. Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo y presione ENTER 0 para μ0μ0, el nombre de la lista donde se ponen los datos, y 1 para Frec:. Desplace la flecha hacia abajo μ: y flecha hacia < μ0μ0. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER. El valor p es 0,0094, y el estadístico de prueba es –3,04. Vuelva a realizar estas instrucciones, excepto desplazar la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular)). Pulse ENTER.

Inténtelo 10.11

Se realizó un estudio para investigar la eficacia de una nueva dieta para reducir el colesterol. Los resultados de los sujetos seleccionados aleatoriamente se muestran en la tabla. Las diferencias tienen una distribución normal. ¿Los niveles de colesterol de los sujetos son más bajos en promedio después de la dieta? Prueba al nivel del 5 %.

Sujeto A B C D E F G H I
Antes 209 210 205 198 216 217 238 240 222
Después 199 207 189 209 217 202 211 223 201
Tabla 10.13

Ejemplo 10.12

Un entrenador de fútbol universitario estaba interesado en saber si la clase de desarrollo de fuerza del instituto universitario aumentaba el levantamiento máximo (en libras) de sus jugadores en el ejercicio de empuje en banca. Les pidió a cuatro de sus jugadores que participaran en un estudio. La cantidad de peso que podía levantar cada uno se registró antes de que tomaran la clase de desarrollo de fuerza. Tras completar la clase, se midió de nuevo la cantidad de peso que podía levantar cada uno. Los datos son los siguientes:

Peso (en libras) Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4
Cantidad de peso levantado antes de la clase 205 241 338 368
Cantidad de peso levantado después de la clase 295 252 330 360
Tabla 10.14

El entrenador quiere saber si la clase de desarrollo de fuerza hace que sus jugadores sean más fuertes, en promedio.
Registre los datos de las diferencias. Para calcular las diferencias reste la cantidad de peso levantado antes de la clase del peso levantado después de terminar la clase. Los datos de las diferencias son: {90, 11, –8, –8}. Supongamos que las diferencias tienen una distribución normal.

Utilizando los datos de las diferencias, calcule la media y la desviación típica de la muestra.

x ¯ d x ¯ d = 21,3, sd = 46,7

Nota:

Los datos presentados aquí indicarían que la distribución es realmente asimétrica. ¿La diferencia de 90 puede ser un valor extremo? La media de la muestra es de 21,3 (positivo). Las medias de los otros tres datos son realmente negativas.

Utilizando los datos de la diferencia, esto se convierte en una prueba de un solo __________ (rellene el espacio en blanco).

Defina la variable aleatoria: X ¯ d X ¯ d diferencia media en la elevación máxima por jugador.

La distribución para la prueba de hipótesis es t3.

H0: μd ≤ 0, Ha: μd > 0

Gráfico:

Curva de distribución normal con valores de 0 y 21,3. Una línea vertical ascendente se extiende desde 21,3 hasta la curva y el valor p se indica en el área a la derecha de este valor.
Figura 10.11

Calcule el valor p: El valor p es de 0,2150

Decisión: si el nivel de significación es del 5 %, la decisión es no rechazar la hipótesis nula, porque α < valor p.

¿Cuál es la conclusión?

A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la clase de desarrollo de fuerza ayudó a hacer más fuertes a los jugadores, en promedio.

Inténtelo 10.12

Se ha diseñado una nueva clase de preparación para mejorar los resultados de la Prueba de Aptitud Académica (Scholastic Aptitude Test, SAT). Se seleccionaron cinco estudiantes aleatoriamente. Se registraron sus puntuaciones en dos exámenes de práctica, uno antes de la clase y otro después. Los datos registrados en la Tabla 10.15. ¿Los resultados, en promedio, son más altos después de la clase? Prueba a un nivel del 5 %.

Resultados de prueba SAT Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3 Estudiante 4
Puntuación antes de la clase 1840 1960 1920 2150
Puntuación después de la clase 1920 2160 2200 2100
Tabla 10.15

Ejemplo 10.13

Siete estudiantes de octavo grado de la escuela Media Kennedy midieron hasta dónde podían empujar el lanzamiento de peso con su mano dominante (la que escribe) y su mano más débil (la que no escribe). Pensaban que podían empujar distancias iguales con cualquier mano. Los datos se recogieron y registraron en la Tabla 10.16.

Distancia (en pies) con Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3 Estudiante 4 Estudiante 5 Estudiante 6 Estudiante 7
Mano dominante 30 26 34 17 19 26 20
Mano más débil 28 14 27 18 17 26 16
Tabla 10.16

Realice una prueba de hipótesis para determinar si la diferencia media de las distancias entre las manos dominantes y las débiles de los niños es significativa.

Registre los datos de las diferencias. Calcule las diferencias restando las distancias con la mano más débil de las distancias con la mano dominante. Los datos de las diferencias son: {2, 12, 7, -1, 2, 0, 4}. Las diferencias tienen una distribución normal.

Utilizando los datos de las diferencias, calcule la media y la desviación típica de la muestra. x ¯ d x ¯ d = 3,71, s d s d = 4,5.

Variable aleatoria: X ¯ d X ¯ d = diferencia media de las distancias entre las manos.

Distribución para la prueba de hipótesis: t6

H0: μd = 0 Ha: μd ≠ 0

Gráfico:

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Las colas derecha e izquierda de la curva están sombreadas. Cada cola representa 1/2(valor p) = 0,0358.
Figura 10.12

Calcule el valor p: El valor p es de 0,0716 (utilizando los datos directamente).

(estadístico de prueba = 2,18. valor p = 0,0719 utilizando ( x ¯ d =3,71,  s d =4,5. ) ( x ¯ d =3,71,  s d =4,5. )

Decisión: supongamos que α = 0,05. Dado que α < valor p, no rechaza H0.

Conclusión: al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las manos más débiles y dominantes de los niños para empujar el lanzamiento de peso.

Inténtelo 10.13

Cinco jugadores de béisbol creen que pueden lanzar la misma distancia con su mano dominante (lanzando) y con la mano contraria (atrapando). Los datos se recogieron y registraron en la Tabla 10.17. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la diferencia media de las distancias entre la mano dominante y la mano no dominante es significativa. Prueba al nivel del 5 %.

Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Jugador 5
Mano dominante 120 111 135 140 125
Mano no dominante 105 109 98 111 99
Tabla 10.17
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