10.4 Muestras coincidentes o emparejadas - Introducción a la estadística

Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas, deben darse las siguientes características:

Se utiliza un muestreo aleatorio simple.
El tamaño de las muestras suele ser pequeño.
Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos.
Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas.
Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis.
O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal.

En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, se comprueba la media poblacional de las diferencias, μ_d, mediante una prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias.

El estadístico de prueba (puntuación t) es:

t = \frac{{\bar{x}}_{d} - μ_{d}}{(\frac{s_{d}}{\sqrt{n}})}

Ejemplo 10.11

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Se realizó un estudio para investigar la eficacia del hipnotismo en la reducción del dolor. Los resultados de los sujetos seleccionados al azar se muestran en la Tabla 10.11. Una calificación más baja indica menos dolor. El valor “antes” es coincidente con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. ¿Las medidas sensoriales son, en promedio, más bajas después del hipnotismo? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Sujeto:	A	B	C	D	E	F	G	H
Antes	6,6	6,5	9,0	10,3	11,3	8,1	6,3	11,6
Después	6,8	2,4	7,4	8,5	8,1	6,1	3,4	2,0

Tabla 10.11

Solución

Los valores correspondientes de “antes” y “después” forman pares coincidentes (calcule “después” – “antes”).

Después de los datos	Antes de los datos	Diferencia
6,8	6,6	0,2
2,4	6,5	-4,1
7,4	9	-1,6
8,5	10,3	-1,8
8,1	11,3	-3,2
6,1	8,1	-2
3,4	6,3	-2,9
2	11,6	-9,6

Tabla 10.12

Los datos para la prueba son las diferencias: {0,2; –4,1; –1,6; –1,8; –3,2; –2; –2,9; –9,6}

La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son: $\bar{x_{d}} = -3,13$ y $s_{d} = 2,91$ Verifique estos valores.

Supongamos que $μ_{d}$ es la media poblacional de las diferencias. Utilizamos el subíndice $d$ para denotar “diferencias”.

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_{d}$ = la diferencia media de las mediciones sensoriales

H₀: μ_d ≥ 0

La hipótesis nula es cero o positiva, lo que significa que se siente el mismo o más dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto no muestra ninguna mejora (μ_d es la media poblacional de las diferencias).

H_a: μ_d < 0

La hipótesis alternativa es negativa, lo que significa que se siente menos dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto muestra una mejora. La calificación debería ser menor después del hipnotismo, por lo que la diferencia debería ser negativa para indicar una mejora.

Distribución para la prueba: La distribución es una t de Student con df = n – 1 = 8 – 1 = 7. Use t₇ (observe que la prueba es para una única media poblacional)

Calcule el valor p utilizando la distribución t de Student: valor p = 0,0095

Gráfico:

Curva de distribución normal de la diferencia promedio de las mediciones sensoriales con valores de –3,13 y 0. Una línea vertical ascendente se extiende desde –3,13 hasta la curva, y el valor p se indica en el área a la izquierda de este valor.

Figura 10.10

${\bar{X}}_{d}$ es la variable aleatoria de las diferencias.

La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son:

${\bar{x}}_{d}$ = -3,13

${\bar{s}}_{d}$ = 2,91

Compare α y el valor p: α = 0,05 y valor p = 0,0095. α > valor p.

Tome una decisión: Dado que α > valor p, rechaza H₀. Esto significa que μ_d < 0 y que hay una mejora.

Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que las mediciones sensoriales, en promedio, son más bajas después del hipnotismo. El hipnotismo parece ser eficaz para reducir el dolor.

Nota:

Para las calculadoras TI-83+ y TI-84, puede calcular las diferencias por adelantado (después - antes) y poner las diferencias en una lista o puede poner los datos después en una primera lista y los datos antes en una segunda lista. A continuación, vaya a una tercera lista y desplace la flecha hacia arriba hasta el nombre. Ingrese el 1.^° nombre de la lista - 2.^º nombre de la lista. La calculadora hará la resta, y tendrá las diferencias en la tercera lista.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Utilice su lista de diferencias como datos. Pulse STAT y flecha hacia TESTS. Pulse 2:T-Test. Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo y presione ENTER 0 para $μ_{0}$ , el nombre de la lista donde se ponen los datos, y 1 para Frec:. Desplace la flecha hacia abajo μ: y flecha hacia < $μ_{0}$ . Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER. El valor p es 0,0094, y el estadístico de prueba es –3,04. Vuelva a realizar estas instrucciones, excepto desplazar la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular)). Pulse ENTER.

Inténtelo 10.11

Se realizó un estudio para investigar la eficacia de una nueva dieta para reducir el colesterol. Los resultados de los sujetos seleccionados aleatoriamente se muestran en la tabla. Las diferencias tienen una distribución normal. ¿Los niveles de colesterol de los sujetos son más bajos en promedio después de la dieta? Prueba al nivel del 5 %.

Sujeto	A	B	C	D	E	F	G	H	I
Antes	209	210	205	198	216	217	238	240	222
Después	199	207	189	209	217	202	211	223	201

Tabla 10.13

Ejemplo 10.12

Un entrenador de fútbol universitario estaba interesado en saber si la clase de desarrollo de fuerza del instituto universitario aumentaba el levantamiento máximo (en libras) de sus jugadores en el ejercicio de empuje en banca. Les pidió a cuatro de sus jugadores que participaran en un estudio. La cantidad de peso que podía levantar cada uno se registró antes de que tomaran la clase de desarrollo de fuerza. Tras completar la clase, se midió de nuevo la cantidad de peso que podía levantar cada uno. Los datos son los siguientes:

Peso (en libras)	Jugador 1	Jugador 2	Jugador 3	Jugador 4
Cantidad de peso levantado antes de la clase	205	241	338	368
Cantidad de peso levantado después de la clase	295	252	330	360

Tabla 10.14

El entrenador quiere saber si la clase de desarrollo de fuerza hace que sus jugadores sean más fuertes, en promedio.
Registre los datos de las diferencias. Para calcular las diferencias reste la cantidad de peso levantado antes de la clase del peso levantado después de terminar la clase. Los datos de las diferencias son: {90, 11, –8, –8}. Supongamos que las diferencias tienen una distribución normal.

Utilizando los datos de las diferencias, calcule la media y la desviación típica de la muestra.

${\bar{x}}_{d}$ = 21,3, s_d = 46,7

Nota:

Los datos presentados aquí indicarían que la distribución es realmente asimétrica. ¿La diferencia de 90 puede ser un valor extremo? La media de la muestra es de 21,3 (positivo). Las medias de los otros tres datos son realmente negativas.

Utilizando los datos de la diferencia, esto se convierte en una prueba de un solo __________ (rellene el espacio en blanco).

Defina la variable aleatoria: ${\bar{X}}_{d}$ diferencia media en la elevación máxima por jugador.

La distribución para la prueba de hipótesis es t₃.

H₀: μ_d ≤ 0, H_a: μ_d > 0

Gráfico:

Curva de distribución normal con valores de 0 y 21,3. Una línea vertical ascendente se extiende desde 21,3 hasta la curva y el valor p se indica en el área a la derecha de este valor.

Figura 10.11

Calcule el valor p: El valor p es de 0,2150

Decisión: si el nivel de significación es del 5 %, la decisión es no rechazar la hipótesis nula, porque α < valor p.

¿Cuál es la conclusión?

A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la clase de desarrollo de fuerza ayudó a hacer más fuertes a los jugadores, en promedio.

Inténtelo 10.12

Se ha diseñado una nueva clase de preparación para mejorar los resultados de la Prueba de Aptitud Académica (Scholastic Aptitude Test, SAT). Se seleccionaron cinco estudiantes aleatoriamente. Se registraron sus puntuaciones en dos exámenes de práctica, uno antes de la clase y otro después. Los datos registrados en la Tabla 10.15. ¿Los resultados, en promedio, son más altos después de la clase? Prueba a un nivel del 5 %.

Resultados de prueba SAT	Estudiante 1	Estudiante 2	Estudiante 3	Estudiante 4
Puntuación antes de la clase	1840	1960	1920	2150
Puntuación después de la clase	1920	2160	2200	2100

Tabla 10.15

Ejemplo 10.13

Siete estudiantes de octavo grado de la escuela Media Kennedy midieron hasta dónde podían empujar el lanzamiento de peso con su mano dominante (la que escribe) y su mano más débil (la que no escribe). Pensaban que podían empujar distancias iguales con cualquier mano. Los datos se recogieron y registraron en la Tabla 10.16.

Distancia (en pies) con	Estudiante 1	Estudiante 2	Estudiante 3	Estudiante 4	Estudiante 5	Estudiante 6	Estudiante 7
Mano dominante	30	26	34	17	19	26	20
Mano más débil	28	14	27	18	17	26	16

Tabla 10.16

Realice una prueba de hipótesis para determinar si la diferencia media de las distancias entre las manos dominantes y las débiles de los niños es significativa.

Registre los datos de las diferencias. Calcule las diferencias restando las distancias con la mano más débil de las distancias con la mano dominante. Los datos de las diferencias son: {2, 12, 7, -1, 2, 0, 4}. Las diferencias tienen una distribución normal.

Utilizando los datos de las diferencias, calcule la media y la desviación típica de la muestra. ${\bar{x}}_{d}$ = 3,71, $s_{d}$ = 4,5.

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_{d}$ = diferencia media de las distancias entre las manos.

Distribución para la prueba de hipótesis: t₆

H₀: μ_d = 0 H_a: μ_d ≠ 0

Gráfico:

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Las colas derecha e izquierda de la curva están sombreadas. Cada cola representa 1/2(valor p) = 0,0358.

Figura 10.12

Calcule el valor p: El valor p es de 0,0716 (utilizando los datos directamente).

(estadístico de prueba = 2,18. valor p = 0,0719 utilizando $({\bar{x}}_{d} = 3,71, s_{d} = 4,5.)$

Decisión: supongamos que α = 0,05. Dado que α < valor p, no rechaza H₀.

Conclusión: al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las manos más débiles y dominantes de los niños para empujar el lanzamiento de peso.

Inténtelo 10.13

Cinco jugadores de béisbol creen que pueden lanzar la misma distancia con su mano dominante (lanzando) y con la mano contraria (atrapando). Los datos se recogieron y registraron en la Tabla 10.17. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la diferencia media de las distancias entre la mano dominante y la mano no dominante es significativa. Prueba al nivel del 5 %.

	Jugador 1	Jugador 2	Jugador 3	Jugador 4	Jugador 5
Mano dominante	120	111	135	140	125
Mano no dominante	105	109	98	111	99

Tabla 10.17