Barbara Illowsky; Susan Dean

10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes

Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características:

Las dos muestras independientes son muestras aleatorias simples que son independientes.
El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras.
La literatura creciente establece que la población debe ser al menos diez o veinte veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y se obtengan resultados incorrectos.

La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar. Una prueba de hipótesis puede ayudar a determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las proporciones de la población.

La diferencia de dos proporciones sigue una distribución normal aproximada. En general, la hipótesis nula afirma que las dos proporciones son iguales. Es decir, H₀: p_A = p_B. Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p_c.

La proporción combinada se calcula de la siguiente manera:

p_{c} = \frac{x_{A} + x_{B}}{n_{A} + n_{B}}

La distribución de las diferencias es:

{P^{'}}_{A} - {P^{'}}_{B} ~ N [0, \sqrt{p_{c} (1 - p_{c}) (\frac{1}{n_{A}} + \frac{1}{n_{B}})}]

El estadístico de prueba (puntuación z) es:

z = \frac{({p^{'}}_{A} - {p^{'}}_{B}) - (p_{A} - p_{B})}{\sqrt{p_{c} (1 - p_{c}) (\frac{1}{n_{A}} + \frac{1}{n_{B}})}}

Ejemplo 10.8

Translation missing: es.problem

Se prueban dos tipos de medicamentos para la urticaria con el fin de determinar si existe una diferencia en las proporciones de las reacciones de los pacientes adultos. Veinte de una muestra aleatoria de 200 adultos a los que se les administró el medicamento A seguían teniendo urticaria 30 minutos después de tomarla. Doce de otra muestra aleatoria de 200 adultos a los que se les administró el medicamento B seguían teniendo urticaria 30 minutos después de tomar la medicación. Pruebe con un nivel de significación del 1 %.

Solución

El problema pide una diferencia de proporciones, por lo que es una prueba de dos proporciones.

Supongamos que A y B sean los subíndices del medicamento A y el medicamento B, respectivamente. Entonces p_A y p_B son las proporciones poblacionales deseadas.

Variable aleatoria: P′_A - P′_B = diferencia en las proporciones de pacientes adultos que no reaccionaron después de 30 minutos a los medicamentos A y B.

H₀: p_A = p_B

p_A – p_B = 0

H_a: p_A ≠ p_B

p_A – p_B ≠ 0

Las palabras “es una diferencia” le indican que la prueba es de dos colas.

Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones poblacionales binomiales, la distribución es normal:

$p_{c} = \frac{x_{A} + x_{B}}{n_{A} + n_{B}} = \frac{20 + 12}{200 + 200} = 0,08 1 - p_{c} = 0,92$

${P^{'}}_{A} - {P^{'}}_{B} ~ N [0, \sqrt{(0,08) (0,92) (\frac{1}{200} + \frac{1}{200})}]$

P′_A - P′_B sigue una distribución normal aproximada.

Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,1404.

Proporción estimada para el grupo A: ${p^{'}}_{A} = \frac{x_{A}}{n_{A}} = \frac{20}{200} = 0,1$

Proporción estimada para el grupo B: ${p^{'}}_{B} = \frac{x_{B}}{n_{B}} = \frac{12}{200} = 0,06$

Gráfico:

Curva de distribución normal de la diferencia en los porcentajes de pacientes adultos que no reaccionan a los medicamentos A y B después de 30 minutos. La media es igual a cero y los valores –0,04, 0 y 0,04 están marcados en el eje horizontal. Dos líneas verticales se extienden desde –0,04 y 0,04 hasta la curva. La región a la izquierda de –0,04 y la región a la derecha de 0,04 están sombreadas para representar 1/2(valor p) = 0,0702. — Figura 10.7

P′_A – P′_B = 0,1 – 0,06 = 0,04.

La mitad del valor p es inferior a –0,04, y la otra mitad es superior a 0,04.

Compare α y el valor p: α = 0,01 y el valor p = 0,1404. α < valor p.

Tome una decisión: Dado que α < valor p, no rechaza H₀.

Conclusión: A un nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las proporciones de pacientes adultos que no reaccionaron después de 30 minutos al medicamento A y al medicamento B.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest. Desplace la flecha hacia abajo y pulse ENTER 20 para x1, 200 para n1, 12 para x2, y 200 para n2. Desplace la flecha hacia abajo p1: y la flecha hacia diferente a p2. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER. El valor p es p = 0,1404 y el estadístico de prueba es 1,47. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate presione Dibujar.

Inténtelo 10.8

Se están probando dos tipos de válvulas para determinar si hay una diferencia en las tolerancias de presión. Quince de una muestra aleatoria de 100 de la válvula A se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Seis de una muestra aleatoria de 100 de la válvula B se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Ejemplo 10.9

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Se realizó un estudio de investigación sobre las diferencias de género en el "sexteo" El investigador cree que la proporción de chicas implicadas en el "sexteo" es menor que la de chicos. Los datos recogidos en la primavera de 2010 entre una muestra aleatoria de estudiantes de secundaria y preparatoria en un gran distrito escolar del sur de Estados Unidos se resumen en la Tabla 10.10. ¿La proporción de chicas que envían mensajes con contenido sexual (sexts) es menor que la de chicos que "sextean"? Pruebe con un nivel de significación del 1 %.

	Hombres	Mujeres
Envío de "mensajes con contenido sexual"	183	156
Número total de encuestados	2.231	2.169

Tabla 10.10

Solución

Se trata de una prueba de dos proporciones de población. Supongamos que M y F sean los subíndices para los hombres y las mujeres. Entonces p_M y p_F son las proporciones poblacionales deseadas.

Variable aleatoria: p′_F - p′_M = diferencia en las proporciones de hombres y mujeres que enviaron "mensajes con contenido sexual"

H₀: p_F = p_M H₀: p_F – p_M = 0

H_a: p_F < p_M H_a: p_F – p_M < 0

Las palabras "menos que" indican que la prueba es de cola izquierda.

Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones de población, la distribución es normal:

$p_{c} = \frac{x_{F} + x_{M}}{n_{F} + n_{M}} = \frac{156 + 183}{2.169 + 2.231} = 0 0,077$
$1 - p_{c} = 0,923$
Por lo tanto,
${p^{'}}_{F} - {p^{'}}_{M} \sim N (0, \sqrt{(0,077) (0,923) (\frac{1}{2.169} + \frac{1}{2.231})})$
p′_F - p′_M sigue una distribución normal aproximada.

Calcule el valor p utilizando la distribución normal: Valor
p = 0,1045
Proporción estimada para las mujeres: 0,0719
Proporción estimada para los hombres: 0,082

Gráfico:

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Una línea vertical cerca de la cola de la curva a la izquierda de cero se extiende desde el eje hasta la curva. La región debajo de la curva a la izquierda de la línea está sombreada y representa un valor p = 0,1045. — Figura 10.8

Decisión: Dado que α < valor p, no rechaza H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de chicas que envían "mensajes con contenido sexual" sea menor que la proporción de chicos que envían estos mensajes.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest. Desplace la flecha hacia abajo e ingrese 156 para x1, 2169 para n1, 183 para x2 y 2231 para n2. Desplace la flecha hacia abajo a p1: y flecha a menos de p2. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El valor p es P = 0,1045 y el estadístico de prueba es z = –1,256.

Ejemplo 10.10

Translation missing: es.problem

Los investigadores realizaron un estudio sobre el uso de los teléfonos inteligentes entre los adultos. Una compañía de telefonía móvil afirma que los teléfonos inteligentes iPhone son más populares entre los blancos (no hispanos) que entre los afroamericanos. Los resultados de la encuesta indican que de los 232 propietarios de teléfonos móviles afroamericanos incluidos en la muestra aleatoria, el 5 % tiene un iPhone. De los 1.343 propietarios de teléfonos móviles blancos incluidos en la muestra aleatoria, el 10 % tiene un iPhone. Prueba al nivel de significación del 5 %. ¿Es mayor la proporción de propietarios de iPhone blancos que la de afroamericanos?

Solución

Se trata de una prueba de dos proporciones de población. Supongamos que W y A sean los subíndices de los blancos y los afroamericanos. Entonces p_W y p_A son las proporciones poblacionales deseadas.

Variable aleatoria: p′_W - p′_A = diferencia en las proporciones de usuarios blancos y afroamericanos de telefonos celulares que tienen iPhones.

H₀: p_W = p_A H₀: p_W – p_A = 0

H_a: p_W > p_A H_a: p_W – p_A > 0

Las palabras "más popular" indican que la prueba es de cola derecha.

Distribución para la prueba: la distribución es aproximadamente normal:

$p_{c} = \frac{x_{W} + x_{A}}{n_{W} + n_{A}} = \frac{134 + 12}{1343 + 232} = 0,0927$

$1 - p_{c} = 0,9073$

Por lo tanto,

${p^{'}}_{W} - {p^{'}}_{A} ∽ N (0, \sqrt{(0,0927) (0,9073) (\frac{1}{1343} + \frac{1}{232})})$

${p^{'}}_{W} - {p^{'}}_{A}$ sigue una distribución normal aproximada.

Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor
p= 0,0077
Proporción estimada para el grupo A: 0,10
Proporción estimada para el grupo B: 0,05

Gráfico:

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Una línea vertical cerca de la cola de la curva a la derecha de cero se extiende desde el eje hasta la curva. La región debajo de la curva a la derecha de la línea está sombreada y representa un valor p = 0,00004. — Figura 10.9

Decisión: Dado que α > valor p, rechace el H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de teléfonos móviles blancos utilizan iPhones que los afroamericanos.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

TI-83+ y TI-84: Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest. Desplace la flecha hacia abajo e ingrese 135 para x1, 1343 para n1, 12 para x2 y 232 para n2. Desplace la flecha hacia abajo a p1: y flecha a mayor de p2. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El valor P es P = 0,0092 y el estadístico de prueba es Z = 2,33.

Inténtelo 10.10

Un grupo de ciudadanos preocupados quería saber si la proporción de violaciones en Texas era diferente en 2011 que en 2010. Su investigación mostró que de los 113.231 delitos violentos en Texas en 2010, 7.622 de ellos fueron violaciones. En 2011, 7.439 de los 104.873 delitos violentos pertenecían a la categoría de violación. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Responda las siguientes preguntas:

a. ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones?

b. ¿Qué distribución usa para realizar la prueba?

c. ¿Cuál es la variable aleatoria?

d. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba la hipótesis nula y alternativa en símbolos.

e. ¿Esta prueba es de cola derecha, izquierda o doble?

f. ¿Cuál es el valor p?

g. ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula?

h. En el nivel de significación ___, a partir de los datos de la muestra, (hay/no hay) ______ pruebas suficientes para concluir que ____________.