Soluciones

Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.

Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).

La respuesta es un valor numérico.

H_a: Al menos dos de las medias del grupo μ₁, μ₂, μ₃ no son iguales.

4.939,2

2

2.469,6

3,7416

3

13,2

0,825

Dado que el ANOVA de una vía siempre tiene cola derecha, un estadístico F alto corresponde a un valor p bajo, por lo que es probable que rechacemos la hipótesis nula.

Las curvas se aproximan a la distribución normal.

diez

SS = 237,33; MS = 23,73

0,1614

dos

SS = 5.700,4;

MS = 2.850,2

3,6101

Sí, hay pruebas suficientes para demostrar que las calificaciones entre los grupos son estadísticamente significativas al nivel del 10 %.

Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente.

H₀: σ₁ = σ₂

H_a: σ₁ < σ₂

o

H₀: ${\sigma }_{\text{1}}^{\text{2}}\text{ = }{\sigma }_{\text{2}}^{\text{2}}$

H_a: ${\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$

4,11

0,7159

No, al nivel de significación del 10 %, no rechazamos la hipótesis nula y afirmamos que los datos no muestran que la variación de los tiempos de conducción del primer trabajador sea menor que la variación de los tiempos de conducción del segundo.

2,8674

rechaza la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para decir que la varianza de las notas del primer estudiante es mayor que la del segundo.

0,7414

SS_entre = 26
SS_dentro = 441
F = 0,2653

df(denom) = 15

1. H₀: µ_L = µ_T = µ_J
2. H_a: al menos dos de las medias son diferentes
3. df(num) = 2; df(denom) = 12
4. Distribución F
5. 0,67
6. 0,5305
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. Decisión: No rechazar la hipótesis nula; conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las medias son diferentes.

1. H_a: µ_c = µ_n = µ_h
2. Al menos dos de las revistas tienen extensiones medias diferentes.
3. df(num) = 2, df(denom) = 12
4. Distribución F
5. F = 15,28
6. valor p = 0,0005
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: Rechazar la hipótesis nula.
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las longitudes medias de las revistas son diferentes.

1. H₀: μ_o = μ_h = μ_f
2. Al menos dos de las medias son diferentes.
3. df(n) = 2, df(d) = 13
4. F_2,13
5. 0,64
6. 0,5437
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No rechaza la hipótesis nula.
   3. Motivo de la decisión: valor p > alfa
   4. Conclusión: Las calificaciones medias de la entrega de las distintas clases no son diferentes.

1. H₀: μ_p = μ_m = μ_h
2. Al menos dos de las medias son diferentes.
3. df(n) = 2, df(d) = 12
4. F_2,12
5. 3,13
6. 0,0807
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No rechaza la hipótesis nula.
   3. Motivo de la decisión: valor p > alfa
   4. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que el número medio de visitantes diarios sea diferente.

Los datos parecen normalmente distribuidos en el gráfico y una dispersión similar. No parece haber ningún valor atípico grave, por lo que podemos seguir con nuestros cálculos de ANOVA, para ver si tenemos buenas pruebas de una diferencia entre los tres grupos.

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃;

H_a: μ_i ≠ μ_j alguna i ≠ j.

Defina μ₁, μ₂, μ₃, como la media poblacional del número de huevos puestos por los tres grupos de moscas de la fruta.

estadístico F = 8,6657;

valor p = 0,0004

Figura 13.10

Decisión: como el valor p es inferior al nivel de significación de 0,01, rechazamos la hipótesis nula.

Conclusión: tenemos buenas pruebas de que el número promedio de huevos puestos durante los primeros 14 días de vida de estas tres cepas de moscas de la fruta son diferentes.

Curiosamente, si se realiza una prueba t de dos muestras para comparar los grupos RS y NS, son significativamente diferentes (p = 0,0013). Asimismo, SS y NS son significativamente diferentes (p = 0,0006). Sin embargo, los dos grupos seleccionados, RS y SS, no son significativamente diferentes (p = 0,5176). Por lo tanto, parece que tenemos buenas pruebas de que la selección para la resistencia o para la susceptibilidad implica una tasa reducida de producción de huevos (para estas cepas específicas) en comparación con las moscas que no fueron seleccionadas para la resistencia o la susceptibilidad al DDT. Aquí, la selección genética ha implicado aparentemente una pérdida de fecundidad.

1. $H_0\text{: }{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$
2. $H_a\text{:} {\sigma }_1^2\ne {\sigma }_1^2$
3. df(num) = 4; df(denom) = 4
4. F_{4, 4}
5. 3,00
6. 2(0,1563) = 0,3126. Utilizando la función 2-SampFtest en la TI-83+/84+ se obtiene el estadístico de prueba como 2,9986 y el valor p directamente como 0,3127. Si se introducen las listas en un orden diferente, se obtiene un estadístico de prueba de 0,3335, pero el valorp permanece igual porque se trata de una prueba de dos colas.
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. Decisión: No se rechaza la hipótesis nula; conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes.

Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: Las revistas de decoración del hogar y las de noticias tienen diferentes varianzas.

1. H₀: = {\sigma }_1^2 = {\sigma }_2^2
2. H_a: {\sigma }_1^2 ≠ {\sigma }_1^2
3. df(n) = 7, df(d) = 6
4. F_7,6
5. 0,8117
6. 0,7825
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No rechaza la hipótesis nula.
   3. Motivo de la decisión: valor p > alfa
   4. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes.

Se muestra un gráfico de bandas del contenido de plata de las monedas:

Figura 13.11

Aunque hay diferencias en la dispersión, no es descabellado utilizar técnicas del ANOVA. Aquí está la tabla de ANOVA completa:

P(F > 26,272) = 0;

Rechazar la hipótesis nula para toda alfa. Hay pruebas suficientes para concluir que el contenido medio de plata entre las cuatro acuñaciones es diferente. Del gráfico de bandas se desprende que las primeras y segundas acuñaciones tenían mayor contenido de plata que las terceras y cuartas.

Se muestra un gráfico de bandas con el número de victorias de los 14 equipos de la Liga Americana para la temporada 2012.

Figura 13.12

Aunque la dispersión parece similar, puede haber alguna duda sobre la normalidad de los datos, dadas las grandes diferencias en el medio cerca de la marca de 0,500 de 82 partidos (los equipos juegan 162 partidos cada temporada en el MLB). Sin embargo, el ANOVA de una vía es robusto.

Aquí está la tabla de ANOVA para los datos:

P(F > 1,5521) = 0,2548.
Ya que el valor p es tan grande, no hay una buena evidencia contra la hipótesis nula de igualdad de medias. No rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, para 2012, no hay ninguna buena evidencia de una diferencia significativa en el número medio de victorias entre las divisiones de la Liga Americana.