Repaso del capítulo

Las características de una función de distribución de probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta son las siguientes:

1. Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive (inclusive significa incluir el cero y el uno).
2. La suma de las probabilidades es uno.

El valor esperado, o media, de una variable aleatoria discreta predice los resultados a largo plazo de un experimento estadístico que se ha repetido muchas veces. La desviación típica de una distribución de probabilidad se utiliza para medir la variabilidad de los posibles resultados.

Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Hay un número fijo de ensayos, n.
2. Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo.
3. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas.

Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np, y la desviación típica viene dada por la fórmula σ = $\sqrt{npq}$.

Hay tres características de un experimento geométrico:

1. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto.
2. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo.
3. La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo son iguales para cada ensayo.

En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G(p) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo.

La media de la distribución geométrica X ~ G(p) es μ = $\frac{1}{p}$ y la desviación típica es $\sigma \sqrt{\frac{(\text{1}–p)}{p^2}}$ = $\sqrt{\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}–1\right)}$.

Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades:

1. Toma muestras de dos grupos.
2. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
3. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados.
4. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.
5. No se trata de ensayos de Bernoulli.

Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. La distribución de X se denota como X ~ H(r, b, n), donde r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, y n = el tamaño de la muestra elegida. Se deduce que
n ≤ r + b. La media de X es μ = $\frac{nr}{r\text{ + }b}$ y la desviación típica es σ = $\sqrt{\frac{rbn(r\text{ + }b\text{ – }n)}{{(r\text{ + }b)}^2(r\text{ + }b–\text{1)}}}$.

Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,05) y el número de intentos es "grande" (mayor o igual a 20).