Soluciones

1. 244
2. 15
3. 50

$N\left(244,\frac{15}{\sqrt{50}}\right)$

A medida que aumenta el tamaño de la muestra, habrá menos variabilidad en la media, por lo que el tamaño del intervalo disminuye.

X es el tiempo en minutos que se tarda en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. $\overline{X}$ es el tiempo medio que tardó una muestra de 200 personas en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU.

CI: (7,9441; 8,4559)

Figura 8.11

EBM = 0,26

El nivel de confianza disminuiría porque la disminución de n hace que el intervalo de confianza sea más amplio, por lo que a igual límite de error, el nivel de confianza disminuye.

1. $\overline{x}$ = 2,2
2. σ = 0,2
3. n = 20

$\overline{X}$ es el peso medio de una muestra de 20 cabezas de lechuga.

EBM = 0,07
CI: (2,1264; 2,2736)

Figura 8.12

El intervalo es mayor porque el nivel de confianza aumentó. Si el único cambio realizado en el análisis es un cambio en el nivel de confianza, entonces todo lo que estamos haciendo es cambiar la cantidad de área que se calcula para la distribución normal. Por lo tanto, un nivel de confianza mayor genera áreas e intervalos más amplios.

El nivel de confianza aumentaría.

30,4

σ

μ

normal

0,025

(24,52;36,28)

Tenemos el 95 % de confianza en que la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College está entre 24,52 y 36,28.

El límite de error para la media disminuiría porque a medida que el nivel de confianza (Confidence Level, CL) disminuye, se necesita menos área debajo de la curva normal (lo que se traduce en un intervalo más pequeño) para capturar la verdadera media de la población.

X es el número de horas que un paciente espera en la sala de emergencias antes de que lo llamen para examinarlo. $\overline{X}$ es el tiempo medio de espera de 70 pacientes en la sala de emergencias.

CI: (1,3808, 1,6192)

Figura 8.13

EBM = 0,12

1. $\overline{x}$ = 151
2. $s_x$ = 32
3. n = 108
4. n – 1 = 107

$\overline{X}$ es el número medio de horas que se dedican a ver la televisión al mes en una muestra de 108 estadounidenses.

CI: (142,92, 159,08)

Figura 8.14

EBM = 8,08

1. 3,26
2. 1,02
3. 39

μ

t ₃₈

0,025

(2,93, 3,59)

Tenemos el 95 % de confianza en que el número medio real de colores de las banderas nacionales está entre 2,93 y 3,59 colores.

El límite de error sería EBM = 0,245. Este límite de error disminuye porque a medida que aumenta el tamaño de las muestras, la variabilidad disminuye y necesitamos menos longitud de intervalo para capturar la media real.

El tamaño de la muestra necesaria aumentaría. A medida que aumenta el nivel de confianza, $\alpha$ disminuye y $z_{\left(\frac{a}{2}\right)}$ aumenta. Para mantener el mismo límite de error, es necesario aumentar el tamaño de la muestra.

X es el número de “aciertos” en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. P′ es el porcentaje de hogares de la muestra en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar.

CI: (0,5321, 0,6679)

Figura 8.15

EBM: 0,0679

X es el número de “aciertos” en los que un ejecutivo prefiere una camioneta. P′ es el porcentaje de ejecutivos de la muestra que prefieren una camioneta.

CI: (0,19432, 0,33068)

Figura 8.16

EBM: 0,0707

El error de muestreo significa que la media real puede estar un 2 % por encima o por debajo de la media muestral.

P′ es la proporción de votantes de la muestra que dijeron que la economía es el asunto más importante en las próximas elecciones.

CI: (0,62735, 0,67265)

EBM: 0,02265

El número de niñas entre 8 y 12 años en la clase de iniciación al patinaje sobre hielo de los lunes a las 5 p. m.

1. x = 64
2. n = 80
3. p′ = 0,8

p

$P^{\prime }~N(\mathrm{0,8},\sqrt{\frac{\left(\mathrm{0,8}\right)(\mathrm{0,2})}{80}})$. (0,72171, 0,87829).

0,04

(0,72; 0,88)

Con el 92 % de confianza estimamos que la proporción de niñas de 8 a 12 años que asisten a una clase de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet se sitúa entre el 72 % y el 88 %.

El límite de error aumentaría. Suponiendo que todas las demás variables se mantienen constantes, a medida que el nivel de confianza aumenta, el área debajo de la curva correspondiente al nivel de confianza se hace más grande, lo que crea un intervalo más amplio y, por tanto, un error mayor.

1. 1. 71
   2. 3
   3. 48
2. X es la altura de un hombre suizo, y es la altura media de una muestra de 48 hombres suizos.
3. Normal. Conocemos la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es superior a 30.
4. 1. CI: (70,151; 71,49)

   2. Figura 8.17
   3. EBM = 0,849
5. El intervalo de confianza disminuirá en tamaño porque el tamaño de la muestra aumentó. Recordemos que cuando todos los factores permanecen inalterados, un aumento del tamaño de la muestra disminuye la variabilidad. Por lo tanto, no necesitamos un intervalo tan grande para capturar la verdadera media de la población.

1. 1. $\overline{x}$ = 23,6
   2. $\sigma$ = 7
   3. n = 100
2. X es el tiempo necesario para rellenar un formulario de impuestos individual. $\overline{X}$ es el tiempo medio para rellenar los formularios de impuestos de una muestra de 100 clientes.
3. $N\left(\mathrm{23,6},\frac{7}{\sqrt{100}}\right)$ porque conocemos sigma.
4. 1. (22,228; 24,972)

   2. Figura 8.18
   3. EBM = 1,372
5. Tendrá que cambiar el tamaño de la muestra. La compañía debe determinar cuál debe ser el nivel de confianza y, a continuación, aplicar la fórmula del límite de error para determinar el tamaño de la muestra necesario.
6. El nivel de confianza aumentaría como consecuencia de un intervalo mayor. Muestras de menor tamaño generan mayor variabilidad. Para capturar la verdadera media de la población necesitamos un intervalo mayor.
7. Según la fórmula del límite de error, la compañía necesita encuestar 206 personas. Dado que aumentamos el nivel de confianza, tenemos que aumentar nuestro límite de error o el tamaño de la muestra.

1. 1. 7,9
   2. 2,5
   3. 20
2. X es el número de cartas que un solo campista enviará a casa. $\overline{X}$ es el número medio de cartas enviadas a casa de una muestra de 20 campistas.

3. N $\mathrm{7,9}\left(\frac{\mathrm{2,5}}{\sqrt{20}}\right)$

4. 1. CI: (6,98; 8,82)

   2. Figura 8.19
   3. EBM: 0,92
5. El límite de error y el intervalo de confianza disminuirán.

1. $\overline{x}$ = $568.873
2. CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 $z_{\frac{\alpha }{2}}$ = 1,96
   EBM = $z_{\mathrm{0,025}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ = 1,96 $\frac{909200}{\sqrt{40}}$ = $281.764
3. $\overline{x}$ – EBM = 568.873 – 281.764 = 287.109
   $\overline{x}$ + EBM = 568.873 + 281.764 = 850.637

   Solución alternativa:

   Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

   1. Pulse STAT y flecha hacia TESTS.
   2. Desplace la flecha hacia abajo 7:ZInterval.
   3. Pulse ENTER.
   4. Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER.
   5. Desplace la flecha hacia abajo e introduzca los siguientes valores:
      • σ : 909.200
      • $\overline{x}$: 568.873
      • n: 40
      • CL: 0,95
   6. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER.
   7. El intervalo de confianza es (287.114 dólares, 850.632 dólares).
   8. Observe la pequeña diferencia entre las dos soluciones: estas diferencias se deben simplemente al error de redondeo en los cálculos manuales.
4. Estimamos con el 95 % de confianza que la media de los aportes que recibieron los candidatos a la Cámara de Representantes de parte de todas las personas está entre 287.109 dólares y 850.637 dólares.

Utilice la fórmula del EBM, resuelta para n:
$n= \frac{z^2{\sigma }^2}{EB{M}^2}$

Por el enunciado del problema, se sabe que σ = 2,5, y se necesita EBM = 1.

z = z_0,035 = 1,812

(Este es el valor de z para el que el área bajo la curva de densidad a la derecha de z es 0,035)

$n= \frac{z^2{\sigma }^2}{EB{M}^2}=\frac{{\mathrm{1,812}}^2{\mathrm{2,5}}^2}{1^2} \approx \mathrm{20,52}$

Es necesario medir al menos 21 estudiantes hombres para lograr su objetivo.

1. 1. 8629
   2. 6944
   3. 35
   4. 34
2. $t_{34}$
3. 1. CI: (6244, 11.014)

   2. Figura 8.20
   3. EB = 2385
4. Se hará más pequeño

1. 1. $\overline{x}$ = 2,51
   2. $s_x$ = 0,318
   3. n = 9
   4. n – 1 = 8
2. la duración efectiva de un tranquilizante
3. la duración media efectiva de los tranquilizantes de una muestra de nueve pacientes
4. Tenemos que utilizar una distribución t de Student, porque no conocemos la desviación típica de la población.
5. 1. CI: (2,27, 2,76)
   2. Compruebe la solución del estudiante.
   3. EBM: 0,25
6. Si tomáramos una muestra de muchos grupos de nueve pacientes, el 95 % de las muestras contendrían la verdadera duración media de la población.

$\overline{x}=\$251,\mathrm{854,23}$

$s=\$521,\mathrm{130,41}$

Observe que no se nos da la desviación típica de la población, solo la desviación típica de la muestra.

Hay 30 medidas en la muestra, por lo que n = 30, y df = 30 – 1 = 29

CL = 0,96, por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,96 = 0,04

$\frac{\alpha }{2}=\mathrm{0,02}{t}_{\frac{\alpha }{2}}=t_{\mathrm{0,02}}$ = 2,150

$EBM=t_{\frac{\alpha }{2}}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)=\mathrm{2,150}\left(\frac{521,\mathrm{130,41}}{\sqrt{30}}\right) ~ \$204,\mathrm{561,66}$

$\overline{x}$ – EBM = $251.854,23 – $204.561,66 = $47.292,57

$\overline{x}$ + EBM = $251.854,23 + $204.561,66 = $456.415,89

Estimamos con un 96 % de confianza que la cantidad media de dinero recaudada por todos los PAC de Liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012 está entre 47.292,57 y 456.415,89 dólares.

Solución alternativa

La diferencia entre las soluciones se debe a las diferencias de redondeo.

1. 1. $\overline{x}$ = 11,6
   2. $s_x$ = 4,1
   3. n = 225
   4. n – 1 = 224
2. X es el número de asientos no ocupados en un solo vuelo. $\overline{X}$ es el número medio de asientos no ocupados de una muestra de 225 vuelos.
3. Usaremos una distribución t de Student porque no conocemos la desviación típica de la población.
4. 1. CI: (11,12 , 12,08)
   2. Compruebe la solución del estudiante.
   3. EBM: 0,48

1. 1. CI: (7,64 , 9,36)

   2. Figura 8.21
   3. EBM: 0,86
2. La muestra debería haber aumentado.
3. Las respuestas variarán.
4. Las respuestas variarán.
5. Las respuestas variarán.

b

1. 1.068
2. Sería necesario aumentar el tamaño de la muestra, ya que el valor crítico aumenta a medida que lo hace el nivel de confianza.

1. X = el número de personas que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable;

   P′ = la proporción de personas de una muestra que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable.

2. $N\left(\mathrm{0,61},\sqrt{\frac{(\mathrm{0,61})(\mathrm{0,39})}{1.200}}\right)$
3. 1. CI: (0,59, 0,63)
   2. Compruebe la solución del estudiante
   3. EBM: 0,02

1. 1. (0,72, 0,82)
   2. (0,65, 0,76)
   3. (0,60, 0,72)
2. Sí, en los intervalos (0,72, 0,82) y (0,65, 0,76) hay superposición, y en los intervalos (0,65, 0,76) y (0,60, 0,72) hay superposición.
3. Podemos decir que no parece haber una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca en sus familias y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona latina en sus familias.
4. Podemos decir que hay una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona negra.

1. X = el número de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema; P′ = la proporción de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema.
2. Como estamos estimando una proporción, dado que P′ = 0,2 y n = 1.000, la distribución que debemos utilizar es $N\left(\mathrm{0,2},\sqrt{\frac{(\mathrm{0,2})(\mathrm{0,8})}{1.000}}\right)$.
3. 1. CI: (0,18, 0,22)
   2. Compruebe la solución del estudiante.
   3. EBM: 0,02
4. Una forma de reducir el error de muestreo es aumentar el tamaño de la muestra.
5. El “± 3 %” indicado representa el límite máximo de error. Esto significa que los que hacen el estudio informan de un error máximo del 3 %. Así, estiman que el porcentaje de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema se sitúa entre el 18 % y el 22 %.

c

d

a

1. p′ = $\frac{\text{(0}\text{0,55 + 0}\text{0,49)}}{\text{2}}$ = 0,52; EBP = 0,55 – 0,52 = 0,03
2. No, el intervalo de confianza incluye valores menores de 0,50 o iguales. Es posible que menos de la mitad de la población lo crea.
3. CL = 0,75, por lo que α = 1 – 0,75 = 0,25 y $\frac{\alpha }{2}=\mathrm{0,125} z_{\frac{\alpha }{2}}=\mathrm{1,150}$. (el área a la derecha de esta z es 0,125, por lo que el área a la izquierda es 1 – 0,125 = 0,875)
   $EBP=(\mathrm{1,150})\sqrt{\frac{\mathrm{0,52}(\mathrm{0,48})}{1,000}}\approx \mathrm{0,018}$
   (p′ – EBP, p′ + EBP) = (0,52 – 0,018, 0,52 + 0,018) = (0,502, 0,538)

   Solución alternativa

   Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

   STAT TESTS A: 1-PropZinterval con x = (0,52)(1.000), n = 1.000, CL = 0,75.

   La respuesta es (0,502, 0,538)

4. Sí; este intervalo no cae por debajo de 0,50, por lo que podemos concluir que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes colegios universitarios corrompen la educación, pero lo hacemos con el 75 % de confianza solamente.

CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 $\frac{\alpha }{2}$ = 0,025 $z_{\frac{\alpha }{2}}$ = 1,96. Utilice p′= q′= 0,5.

$n=\frac{ z_{\frac{\alpha }{2}}{}^2{p}^{\prime }{q}^{\prime }}{EB{P}^2}= \frac{{\mathrm{1,96}}^2(\mathrm{0,5})(\mathrm{0,5})}{{\mathrm{0,05}}^2}=\mathrm{384,16}$

Necesita entrevistar al menos a 385 estudiantes para estimar la proporción con un 5 % de confianza del 95 %.