9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión

Eventos poco comunes

Suponga que hace una suposición sobre una propiedad de la población (esta suposición es la hipótesis nula). A continuación, recoja los datos de la muestra de forma aleatoria. Si la muestra tiene propiedades que sería muy improbable que ocurrieran si la suposición es cierta, entonces concluiría que su suposición sobre la población es probablemente incorrecta. (Recuerde que es solo una suposición, no es un hecho y puede o no ser cierta. Pero los datos de su muestra son reales y los datos le muestran un hecho que parece contradecir su suposición).

Por ejemplo, Didi y Ali están en la fiesta de cumpleaños de un amigo muy rico. Se apresuran a ser los primeros de la fila para ganar un premio de una cesta alta que no pueden ver en su interior porque tendrán los ojos vendados. Hay 200 burbujas de plástico en la cesta y a Didi y Ali les han dicho que solo hay una con un billete de 100 dólares. Didi es la primera persona que mete la mano en la cesta y saca una burbuja. Su burbuja contiene un billete de 100 dólares. La probabilidad de que esto ocurra es $\frac{1}{200}$ = 0,005. Como esto es tan improbable, Ali espera que lo que les dijeron a los dos esté equivocado y haya más billetes de 100 dólares en la cesta. Se ha producido un "evento poco común" (que Didi consiga el billete de 100 dólares), por lo que Ali duda de la suposición de que solo haya un billete de 100 dólares en la cesta.

Uso de la muestra para probar la hipótesis nula

Utilice los datos de la muestra para calcular la probabilidad real de obtener el resultado de la prueba, denominada valor p. El valor p es la probabilidad de que, si la hipótesis nula es cierta, los resultados de otra muestra seleccionada al azar sean tan extremos o más extremos que los resultados obtenidos en la muestra dada.

Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula. Cuanto más pequeño sea el valor p, más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra.

Dibuje un gráfico que muestre el valor p. La prueba de hipótesis es más fácil de realizar si se utiliza un gráfico porque se ve el problema con más claridad.

Ejemplo 9.9

Supongamos que un panadero afirma que la altura de su pan es superior a 15 cm, en promedio. Varios de sus clientes no le creen. Para convencer a sus clientes de que tiene razón, el panadero decide hacer una prueba de hipótesis. Hornea 10 panes. La altura media de los panes de la muestra es de 17 cm. El panadero sabe, por haber horneado cientos de panes, que la desviación típica de la altura es de 0,5 cm. y que la distribución de las alturas es normal.

La hipótesis nula podría ser H₀: μ ≤ 15. La hipótesis alternativa es H_a: μ > 15

Las palabras "es mayor que" se traduce como un ">" por lo que "μ > 15" va en la hipótesis alternativa. La hipótesis nula debe contradecir la hipótesis alternativa.

Como σ se conoce (σ = 0,5 cm.), se sabe que la distribución para la población es normal con media μ = 15 y desviación típica $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{10}}=\mathrm{0,16}$.

Supongamos que la hipótesis nula es verdadera (la altura media de los panes no es superior a 15 cm). Entonces, ¿la altura media (17 cm) calculada a partir de la muestra es inesperadamente grande? La prueba de hipótesis funciona planteando la pregunta de cuán improbable sería la media de la muestra si la hipótesis nula fuera cierta. El gráfico muestra lo alejada que está la media de la muestra en la curva normal. El valor p es la probabilidad de que, si tomáramos otras muestras, cualquier otra media muestral caería al menos tan lejos como 17 cm.

El valor p, por tanto, es la probabilidad de que una media muestral sea igual o superior a 17 cm. cuando la media de la población es, en realidad, de 15 cm. Podemos calcular esta probabilidad utilizando la distribución normal para las medias.

Figura 9.2

valor p = P($\overline{x}$ > 17) que es aproximadamente cero.

Un valor p de aproximadamente cero nos dice que es muy poco probable que una barra de pan no suba más de 15 cm, en promedio. Es decir, casi el 0 % de todas las barras de pan tendrían una altura mínima de 17 cm. por pura CASUALIDAD si la altura media de la población hubiera sido realmente de 15 cm. Dado que el resultado de 17 cm. es tan improbable (lo que significa que no se produce solo por azar), concluimos que las pruebas están fuertemente en contra de la hipótesis nula (la altura media es como máximo de 15 cm). Hay pruebas suficientes de que la verdadera altura media de la población de panes de la panadería es superior a 15 cm.

Decisión y conclusión

Una forma sistemática de tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula es comparar el valor p y un α preestablecido o preconcebido (también llamado "nivel de significación"). Un α preestablecido es la probabilidad de un error tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema.

Cuando tome una decisión de rechazar o no rechazar H₀, haga lo siguiente:

• Si α > valor p, rechaza H₀. Los resultados de los datos de la muestra son significativos. Hay pruebas suficientes para concluir que H₀ es una creencia incorrecta y que la hipótesis alternativa, H_a, puede ser correcta.
• Si α ≤ valor p, no rechace H₀. Los resultados de los datos de la muestra no son significativos. No hay pruebas suficientes para concluir que la hipótesis alternativa,H_a, pueda ser correcta.
• Cuando "no se rechaza H₀", no significa que se deba creer que H₀ es verdadera. Significa simplemente que los datos de la muestra no han aportado pruebas suficientes para arrojar serias dudas sobre la veracidad de H_o.

Conclusión: Una vez tomada la decisión, escriba una conclusión reflexiva sobre las hipótesis en función del problema planteado.