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Introducción a la estadística

9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión

Introducción a la estadística9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

Establecer el tipo de distribución, el tamaño de la muestra y la desviación típica conocida o desconocida puede ayudarle a averiguar cómo realizar una prueba de hipótesis. Sin embargo, hay otros factores que debe tener en cuenta a la hora de elaborar una prueba de hipótesis.

Eventos poco comunes

Suponga que hace una suposición sobre una propiedad de la población (esta suposición es la hipótesis nula). A continuación, recoja los datos de la muestra de forma aleatoria. Si la muestra tiene propiedades que sería muy improbable que ocurrieran si la suposición es cierta, entonces concluiría que su suposición sobre la población es probablemente incorrecta. (Recuerde que es solo una suposición, no es un hecho y puede o no ser cierta. Pero los datos de su muestra son reales y los datos le muestran un hecho que parece contradecir su suposición).

Por ejemplo, Didi y Ali están en la fiesta de cumpleaños de un amigo muy rico. Se apresuran a ser los primeros de la fila para ganar un premio de una cesta alta que no pueden ver en su interior porque tendrán los ojos vendados. Hay 200 burbujas de plástico en la cesta y a Didi y Ali les han dicho que solo hay una con un billete de 100 dólares. Didi es la primera persona que mete la mano en la cesta y saca una burbuja. Su burbuja contiene un billete de 100 dólares. La probabilidad de que esto ocurra es 12001200 = 0,005. Como esto es tan improbable, Ali espera que lo que les dijeron a los dos esté equivocado y haya más billetes de 100 dólares en la cesta. Se ha producido un "evento poco común" (que Didi consiga el billete de 100 dólares), por lo que Ali duda de la suposición de que solo haya un billete de 100 dólares en la cesta.

Uso de la muestra para probar la hipótesis nula

Utilice los datos de la muestra para calcular la probabilidad real de obtener el resultado de la prueba, denominada valor p. El valor p es la probabilidad de que, si la hipótesis nula es cierta, los resultados de otra muestra seleccionada al azar sean tan extremos o más extremos que los resultados obtenidos en la muestra dada.

Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula. Cuanto más pequeño sea el valor p, más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra.

Dibuje un gráfico que muestre el valor p. La prueba de hipótesis es más fácil de realizar si se utiliza un gráfico porque se ve el problema con más claridad.

Ejemplo 9.9

Supongamos que un panadero afirma que la altura de su pan es superior a 15 cm, en promedio. Varios de sus clientes no le creen. Para convencer a sus clientes de que tiene razón, el panadero decide hacer una prueba de hipótesis. Hornea 10 panes. La altura media de los panes de la muestra es de 17 cm. El panadero sabe, por haber horneado cientos de panes, que la desviación típica de la altura es de 0,5 cm. y que la distribución de las alturas es normal.

La hipótesis nula podría ser H0: μ ≤ 15. La hipótesis alternativa es Ha: μ > 15

Las palabras "es mayor que" se traduce como un ">" por lo que "μ > 15" va en la hipótesis alternativa. La hipótesis nula debe contradecir la hipótesis alternativa.

Como σ se conoce (σ = 0,5 cm.), se sabe que la distribución para la población es normal con media μ = 15 y desviación típica σ n = 0,5 10 =0,16 σ n = 0,5 10 =0,16 .

Supongamos que la hipótesis nula es verdadera (la altura media de los panes no es superior a 15 cm). Entonces, ¿la altura media (17 cm) calculada a partir de la muestra es inesperadamente grande? La prueba de hipótesis funciona planteando la pregunta de cuán improbable sería la media de la muestra si la hipótesis nula fuera cierta. El gráfico muestra lo alejada que está la media de la muestra en la curva normal. El valor p es la probabilidad de que, si tomáramos otras muestras, cualquier otra media muestral caería al menos tan lejos como 17 cm.

El valor p, por tanto, es la probabilidad de que una media muestral sea igual o superior a 17 cm. cuando la media de la población es, en realidad, de 15 cm. Podemos calcular esta probabilidad utilizando la distribución normal para las medias.

Curva de distribución normal de la altura promedio del pan con los valores 15, como media de la población, y 17, como punto para determinar el valor p, en el eje x.
Figura 9.2

valor p = P( x ¯ x ¯ > 17) que es aproximadamente cero.

Un valor p de aproximadamente cero nos dice que es muy poco probable que una barra de pan no suba más de 15 cm, en promedio. Es decir, casi el 0 % de todas las barras de pan tendrían una altura mínima de 17 cm. por pura CASUALIDAD si la altura media de la población hubiera sido realmente de 15 cm. Dado que el resultado de 17 cm. es tan improbable (lo que significa que no se produce solo por azar), concluimos que las pruebas están fuertemente en contra de la hipótesis nula (la altura media es como máximo de 15 cm). Hay pruebas suficientes de que la verdadera altura media de la población de panes de la panadería es superior a 15 cm.

Inténtelo 9.9

Una distribución normal tiene una desviación típica de 1. Queremos verificar una afirmación de que la media es mayor que 12. Se toma una muestra de 36 con una media muestral de 12,5.

H0: μ ≤ 12
Ha: μ > 12
El valor p es 0,0013
Dibuje un gráfico que muestre el valor p.

Decisión y conclusión

Una forma sistemática de tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula es comparar el valor p y un α preestablecido o preconcebido (también llamado "nivel de significación"). Un α preestablecido es la probabilidad de un error tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema.

Cuando tome una decisión de rechazar o no rechazar H0, haga lo siguiente:

  • Si α > valor p, rechaza H0. Los resultados de los datos de la muestra son significativos. Hay pruebas suficientes para concluir que H0 es una creencia incorrecta y que la hipótesis alternativa, Ha, puede ser correcta.
  • Si α ≤ valor p, no rechace H0. Los resultados de los datos de la muestra no son significativos. No hay pruebas suficientes para concluir que la hipótesis alternativa,Ha, pueda ser correcta.
  • Cuando "no se rechaza H0", no significa que se deba creer que H0 es verdadera. Significa simplemente que los datos de la muestra no han aportado pruebas suficientes para arrojar serias dudas sobre la veracidad de Ho.

Conclusión: Una vez tomada la decisión, escriba una conclusión reflexiva sobre las hipótesis en función del problema planteado.

Ejemplo 9.10

Cuando se utiliza el valor p para evaluar una prueba de hipótesis, a veces es útil utilizar el siguiente mecanismo de memoria.

Si el valor p es bajo, la hipótesis nula debe rechazarse.

Si el valor p es alto, la hipótesis nula no debe rechazarse.

Esta ayuda de memoria relaciona un valor p menor que el alfa establecido (la p es baja) como rechazo de la hipótesis nula y, del mismo modo, relaciona un valor p mayor que el alfa establecido (la p es alta) como no rechazo de la hipótesis nula.

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Complete los espacios en blanco.

Rechace la hipótesis nula cuando ______________________________________.

Los resultados de los datos de la muestra _____________________________________.

No rechace la hipótesis nula cuando __________________________________________.

Los resultados de los datos de la muestra ____________________________________________.

Inténtelo 9.10

It’s a Boy Genetics Labs afirman que sus procedimientos mejoran las posibilidades de que nazca un niño. Los resultados para una prueba de una sola proporción de población son los siguientes:

H0: p = 0,50, Ha: p > 0,50

α = 0,01

valor p = 0,025

Interprete los resultados y exponga una conclusión en términos sencillos y no técnicos.

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