Barbara Illowsky; Susan Dean

11.4 Prueba de homogeneidad

La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad, se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia.

Nota

El valor esperado de cada celda debe ser, al menos, cinco para poder utilizar esta prueba.

Hipótesis
H₀: Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales.

H_a: Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales.

Estadístico de pruebaUtilice un $χ^{2}$ estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia.

Grados de libertad (df)df = número de columnas – 1

RequisitosTodos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco.

Usos comunesComparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles.

Ejemplo 11.8

Translation missing: es.problem

¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 250 estudiantes universitarios y a 300 estudiantes universitarias seleccionados al azar por su tipo de vivienda: residencia universitaria, apartamento, con los padres, otra. Los resultados se muestran en la Tabla 11.19. ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas?

	Dormitorio	Apartamento	Con los padres	Otra
Hombres	72	84	49	45
Mujeres	91	86	88	35

Tabla 11.19 Distribución de la situación de vivienda de hombres y mujeres universitarios

Solución

H₀: La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios es igual que la de las estudiantes universitarias.

H_a: La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios no es igual que la de las estudiantes universitarias.

Grados de libertad (df):
df = número de columnas – 1 = 4 – 1 = 3

Distribución de la prueba: $χ_{3}^{2}$

Calcule el estadístico de prueba: χ² = 10,1287 (calculadora o computadora)

Enunciado de probabilidad: valor p = P(χ² >10,1287) = 0,0175

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Pulse MATRX y flecha hacia EDIT. Pulse 1:[A]. Pulse 2 ENTER 4 ENTER. Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT. Pulse STAT y flecha hacia TESTS. Flecha hacia abajo C:χ2-TEST. Pulse ENTER. Debería ver Observed:[A] y Expected:[B]. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate. Pulse ENTER. El estadístico de prueba es 10,1287 y el valor p = 0,0175. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular.

Compare α y el valorp: Como no se da α, suponga que α = 0,05. Valor p = 0,0175. α > valor p.

Tome una decisión: Dado que α > valor p, rechaza H₀. Esto significa que las distribuciones no son iguales.

Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que las distribuciones de los tipos de vivienda de los estudiantes universitarios hombres y mujeres no son iguales.

Observe que la conclusión es solo que las distribuciones no son iguales. No podemos utilizar la prueba de homogeneidad para obtener conclusiones sobre sus diferencias.

Inténtelo 11.8

¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 100 familias y a 200 solteros seleccionados al azar qué tipo de automóvil conducen: deportivo, sedán, utilitario, camioneta, van/suv. Los resultados se muestran en la Tabla 11.20. ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Pruebe con un nivel de significación de 0,05.

	Deporte	Sedán	Utilitario	Camioneta	Van/suv
Familia	5	15	35	17	28
Sencillo	45	65	37	46	7

Tabla 11.20

Ejemplo 11.9

Translation missing: es.problem

Tanto antes como después de un reciente terremoto, se realizaron encuestas en las que se preguntaba a los votantes por cuál de los tres candidatos pensaban votar en las próximas elecciones al ayuntamiento. ¿Hubo algún cambio después del terremoto? Utilice un nivel de significación de 0,05. La Tabla 11.21 muestra los resultados de la encuesta. ¿Ha habido un cambio en la distribución de las preferencias de los votantes desde el terremoto?

Pérez

Chung

Stevens

Antes

167

128

135

Después

214

197

225

Tabla 11.21

Solución

H₀: La distribución de las preferencias de los votantes fue la misma antes y después del terremoto.

H_a: La distribución de las preferencias de los votantes no fue la misma antes y después del terremoto.

Grados de libertad (df):
df = número de columnas - 1 = 3 - 1 = 2

Distribución para la prueba: $χ_{2}^{2}$

Calcule el estadístico de prueba: χ² = 3,2603 (calculadora o computadora)

Enunciado de probabilidad: valorp= P(χ² > 3,2603) = 0,1959

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Pulse MATRX y flecha hacia EDIT. Pulse 1:[A]. Pulse 2 ENTER 3 ENTER. Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT. Pulse STAT y flecha hacia TESTS. Flecha hacia abajo C:χ2-TEST. Pulse ENTER. Debería ver Observed:[A] y Expected:[B]. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate. Pulse ENTER. El estadístico de prueba es 3,2603 y el valor p = 0,1959. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular.

Compare α y el valor p: α = 0,05 y el valor p = 0,1959. α < valor p.

Tome una decisión: Como α < valor p, no se rechaza H_o.

Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos no hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de las preferencias de los votantes no era la misma antes y después del terremoto.

Inténtelo 11.9

Las escuelas Ivy League reciben muchas solicitudes, pero solo algunas pueden ser aceptadas. En las escuelas que aparecen en la Tabla 11.22 se aceptan dos tipos de solicitudes: regulares y de decisión anticipada.

Tipo de solicitud aceptada	Brown	Columbia	Cornell	Dartmouth	Penn	Yale
Regular	2.115	1.792	5.306	1.734	2.685	1.245
Decisión anticipada	577	627	1.228	444	1.195	761

Tabla 11.22

Queremos saber si el número de solicitudes regulares aceptadas sigue la misma distribución que el número de solicitudes anticipadas aceptadas. Indique las hipótesis nula y alternativa, los grados de libertad y el estadístico de la prueba, dibuje el gráfico del valor p y saque una conclusión sobre la prueba de homogeneidad.