Repaso del capítulo

La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P(a < x < b). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f(x) es uno. El área debajo del gráfico de f(x) y entre los valores a y b da la probabilidad P(a < x < b).

Figura 5.35

La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P (X ≤ x). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b, entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U(a, b). La media de X es $\mu =\frac{a+b}{2}$. La desviación típica de X es $\sigma =\sqrt{\frac{{(b–a)}^2}{12}}$. La función de densidad de probabilidad de X es $e(x)=\frac{1}{b–a}$ para a ≤ x ≤ b. La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) = $\frac{x–a}{b–a}$. X es continua.

Figura 5.36

La probabilidad de P(c < X < d) se puede hallar calculando el área bajo f(x), entre c y d. Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura.

Si X tiene una distribución exponencial con media μ, entonces el parámetro de decaimiento es m = $\frac{1}{\mu }$, y escribimos X ∼ Exp(m) donde x ≥ 0 y m > 0 . La función de densidad de probabilidad de X es f(x) = me^–mx (o equivalentemente $e(x)=\frac{1}{\mu }{e}^{–x/\mu }$. La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) = 1 – e^–mx.

La distribución exponencial tiene la propiedad de falta de memoria, que indica que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice que P(X > x + k|X > x) = P(X > k).

Si T representa el tiempo de espera entre eventos, y si T ∼ Exp(λ), entonces el número de eventos X por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media λ. La función de densidad de probabilidad de X es $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{–k}}{k!}$. Se puede calcular con las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ con el comando poissonpdf(λ, k). La función de distribución acumulativa P(X ≤ k) puede calcularse con las calculadoras TI-83, 83+,84 u 84+ con el comando poissoncdf(λ, k).