5.3 La distribución exponencial

a. Calcule P(4 < x < 5).
La función de distribución acumulativa (cumulative distribution function, cdf) da el área a la izquierda.
P(x < x) = 1 – e^–mx
P(x < 5) = 1 – e^(−0,25)(5) = 0,7135 and P(x < 4) = 1 – e^(–0,25)(4) = 0,6321

Figura 5.23

La probabilidad de que un empleado de correos pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar es P(4 < x < 5) = P(x < 5) – P(x < 4) = 0,7135 – 0,6321 = 0,0814.

b. Calcule el percentil 50.

Figura 5.24

P(x < k) = 0,50, k = 2,8 minutos (calculadora o computadora)

La mitad de los clientes terminan en 2,8 minutos.

También puede hacer el cálculo de la siguiente manera:

P(x < k) = 0,50 y P(x < k) = 1 –e^–0,25k

Por lo tanto, 0,50 = 1 − e^−0,25k y e^−0,25k = 1 − 0,50 = 0,5

Tome los logaritmos naturales: ln(e^–0,25k) = ln(0,50). Entonces, -0,25k = ln(0,50)

Al resolver k:$k=\frac{ln(\mathrm{0,50})}{–\mathrm{0,25}}=\mathrm{2,8}$ minutos. La calculadora simplifica el cálculo del percentil k. Vea las dos notas siguientes.

c. De la parte b, la mediana o percentil 50 es de 2,8 minutos. La media teórica es de cuatro minutos. La media es mayor.

a. Supongamos que x = la cantidad de tiempo (en años) que dura una pieza de computadora.
μ = 10 por lo que $m=\frac{1}{\mu }=\frac{1}{10}=\mathrm{0,1}$
Calcule P(x > 7). Dibuje el gráfico.
P(x > 7) = 1 – P(x < 7).
Como P(X < x) = 1 – e^–mx entonces P(X > x) = 1 – (1 –e^–mx) = e^–mx
P(x > 7) = e^(–0,1)(7) = 0,4966. La probabilidad de que una pieza de computadora dure más de siete años es de 0,4966.

b. En promedio, una pieza de computadora dura diez años. Por lo tanto, cinco piezas de computadora, si se utilizan una tras otra, durarían, en promedio, (5)(10) = 50 años.

c. Calcule el percentil 80. Dibuje el gráfico. Supongamos que k = el percentil 80.

Figura 5.26

Al resolver k $k=\frac{ln(1–\mathrm{0,80})}{–\mathrm{0,1}}=\mathrm{16,1}$ años

El ochenta de las piezas de las computadoras duran como máximo 16,1 años.

d. Calcule P(9 < x < 11). Dibuje el gráfico.

Figura 5.27

P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e^(–0,1)(11)) – (1 – e^(–0,1)(9)) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. La probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0,0737.

• m = $\frac{1}{12}$
• μ = 12
• σ = 12

P(x > 5) = 0,6592

1. Dado que esperamos que lleguen 30 clientes por hora (60 minutos), esperamos que llegue un cliente cada dos minutos en promedio.
2. Dado que un cliente llega cada dos minutos, en promedio, tardarán seis minutos en promedio en llegar tres clientes.
3. Supongamos que X = el tiempo entre llegadas en minutos. Por la parte a, μ = 2, por lo que m = $\frac{1}{2}$ = 0,5.
   Por lo tanto, X ∼ Exp(0,5).
   La función de distribución acumulativa es P(X < x) = 1 – e^(-0,5)(x).
   Por lo tanto, P(X < 1) = 1 - e^(-0,5)(1) ≈ 0,3935.

   Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

   1 - e^(–0,5) ≈ 0,3935

   Figura 5.28
4. P(X > 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - (1 - e^(-0,50)(5)) = e^-2,5 ≈ 0,0821.

   Figura 5.29

   Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

   1 - (1 - e^((-0,50)(5))) o e^( - 5*0,5)

5. Queremos resolver 0,70 = P(X < x) para x.
   Sustituyendo la función de distribución acumulativa se obtiene 0,70 = 1 – e^–0,5x, por lo que e^–0,5x = 0,30. Convirtiendo esto en forma logarítmica se obtiene –0,5x = ln(0,30), o $x=\frac{ln\left(\mathrm{0,30}\right)}{–\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{2,41}$ minutos.
   Así, el setenta por ciento de los clientes llega antes de los 2,41 minutos del cliente anterior.
   Usted calcula el percentil 70 k por lo que puede utilizar la fórmula k = $\frac{ln(1–Area\_To\_The\_Leet\_Oe\_k)}{(–m)}$
   k = \frac{ln(1–\mathrm{0,70})}{(–\mathrm{0,5})}\approx \mathrm{2,41} minutos

   Figura 5.30
6. Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede ser irrazonable, ya que la gente puede comprar en grupos, lo que hace que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También supone que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo que no es válido si algunas horas del día están más ocupadas que otras.

1. En promedio se producen cuatro llamadas por minuto, es decir, 15 segundos, o $\frac{15}{60}$ = 0,25 minutos transcurren en promedio entre las sucesivas llamadas.
2. Supongamos que T = tiempo transcurrido entre llamadas. De la parte a, μ = 0,25, por lo que m = $\frac{1}{\mathrm{0,25}}$ = 4. Por lo tanto, T ∼ Exp(4).
   La función de distribución acumulativa es P(T < t) = 1 – e^–4t.
   La probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en menos de diez segundos (diez segundos = 1/6 de minuto) es $P\left(T\text{ < }\frac{1}{6}\right)=1–e^{(–4)\left(\frac{1}{6}\right)}\approx \mathrm{0,4866.}$

   Figura 5.32
3. Supongamos que X = el número de llamadas por minuto. Como ya se ha dicho, el número de llamadas por minuto tiene una distribución de Poisson, con una media de cuatro llamadas por minuto.
   Por lo tanto, X ∼ Poisson(4), y así P(X = 5) = $\frac{4^5{e}^{–4}}{5!}$ ≈ 0,1563. (5! = (5)(4)(3)(2)(1))

   Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

   poissonpdf(4, 5) = 0,1563.

4. Tenga en cuenta que X debe ser un número entero, por lo que P(X < 5) = P(X ≤ 4).
   Para calcular esto, podríamos tomar P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4).
   Utilizando la tecnología, vemos que P(X ≤ 4) = 0,6288.

   Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

   poisssoncdf(4, 4) = 0,6288

5. Sea Y = el número de llamadas que se producen durante un periodo de ocho minutos.
   Como hay un promedio de cuatro llamadas por minuto, hay un promedio de (8)(4) = 32 llamadas durante cada periodo de ocho minutos.
   Por lo tanto, Y ∼ Poisson(32). Por tanto, P(Y > 40) = 1 – P (Y ≤ 40) = 1 – 0,9294 = 0,0707.

   Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

   1 - poissoncdf(32, 40). = 0,0707