6.5 Las ondas de materia de De Broglie

La fórmula de Compton estableció que una onda electromagnética puede comportarse como una partícula de luz al interactuar con la materia. En 1924, Louis de Broglie propuso una nueva hipótesis especulativa según la cual los electrones y otras partículas de materia pueden comportarse como ondas. Hoy en día, esta idea se conoce como la hipótesis de De Broglie sobre las ondas de materia. En 1926, la hipótesis de De Broglie, junto con la primera teoría cuántica de Bohr, condujo al desarrollo de una nueva teoría de la mecánica cuántica de ondas para describir la física de los átomos y las partículas subatómicas. La mecánica cuántica ha abierto el camino a nuevos inventos y tecnologías de ingeniería, como el láser y las imágenes de resonancia magnética (Magnetic Resonance Imaging, MRI). Estas nuevas tecnologías impulsan los descubrimientos en otras ciencias como la biología y la química.

Según la hipótesis de De Broglie, tanto los fotones sin masa como las partículas masivas deben satisfacer un conjunto común de relaciones que conectan la energía E con la frecuencia f, y el momento lineal p con la longitud de onda $\lambda .$ Hemos discutido estas relaciones de los fotones en el contexto del efecto Compton. Los recordamos ahora en un contexto más general. Cualquier partícula que tenga energía y momento es una onda de De Broglie de frecuencia f y longitud de onda $\lambda :$

Aquí, E y p son, respectivamente, la energía relativista y el momento de una partícula. Las relaciones de De Broglie suelen expresarse en términos del vector de onda $\overrightarrow{k},$ $k=2\pi \text{/}\lambda ,$ y la frecuencia de las ondas $\omega =2\pi f,$ como solemos hacer para las ondas:

La teoría de las ondas nos dice que una onda transporta su energía con la velocidad de grupo. Para las ondas de materia, esta velocidad de grupo es la velocidad u de la partícula. La identificación la energía E y el momento p de una partícula con su energía relativista $m{c}^2$ y su momento relativista mu, respectivamente, se deduce de las relaciones de De Broglie que las ondas de materia satisfacen la siguiente relación:

donde $\beta =u\text{/}c.$ Cuando una partícula no tiene masa tenemos $u=c$ y la Ecuación 6.57 se convierte en $\lambda f=c.$

Utilizando el concepto de onda de materia del electrón, De Broglie proporcionó una justificación para la cuantización del momento angular del electrón en el átomo de hidrógeno, que se postuló en la teoría cuántica de Bohr. La explicación física de la primera condición de cuantización de Bohr surge de forma natural cuando asumimos que un electrón en un átomo de hidrógeno no se comporta como una partícula sino como una onda. Para verlo con claridad, imagine una cuerda de guitarra estirada que se sujeta por ambos extremos y vibra de modo normal. Si la longitud de la cuerda es l (Figura 6.18), las longitudes de onda de estas vibraciones no pueden ser arbitrarias sino que deben ser tales que un número entero k de semilongitudes de onda $\lambda \text{/}2$ que encajan exactamente en la distancia l entre los extremos. Esta es la condición $l=k\lambda \text{/}2$ para una onda estacionaria en una cuerda. Supongamos ahora que en lugar de tener la cuerda sujeta a las paredes, doblamos su longitud en un círculo y sujetamos sus extremos entre sí. Esto produce una cuerda circular que vibra de modo normal, satisfaciendo la misma condición de onda estacionaria, pero el número de medias longitudes de onda debe ser ahora un número par $k,k=2n,$ y la longitud l está ahora relacionada con el radio $r_n$ del círculo. Esto significa que los radios no son arbitrarios, sino que deben satisfacer la siguiente condición de onda estacionaria:

Si un electrón en la enésima órbita de Bohr se mueve como una onda, según la Ecuación 6.59 su longitud de onda debe ser igual a $\lambda =2\pi r_n\text{/}n.$ Suponiendo que la Ecuación 6.58 es válida, la onda del electrón de esta longitud de onda corresponde al momento lineal del electrón, $p=h\text{/}\lambda =nh\text{/}(2\pi r_n)=n\hslash \text{/}{r}_n.$ Por lo tanto, en una órbita circular, el momento angular del electrón debe ser

Esta ecuación es la primera de las condiciones de cuantización de Bohr, dada por la Ecuación 6.36. Proporcionar una explicación física para la condición de cuantización de Bohr es un argumento teórico convincente para la existencia de las ondas de materia.

Figura 6.18 Patrón de onda estacionaria: (a) una cuerda estirada sujeta a las paredes; (b) una onda de electrón atrapada en la tercera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno.

La confirmación experimental de las ondas de materia surgió en 1927, cuando C. Davisson y L. Germer realizaron una serie de experimentos de dispersión de electrones que demostraron claramente que los electrones se comportan como ondas. Davisson y Germer no establecieron su experimento para confirmar la hipótesis de De Broglie: La confirmación llegó como un subproducto de sus estudios experimentales rutinarios de superficies metálicas bajo bombardeo de electrones.

En el experimento particular que proporcionó la primera evidencia de las ondas de electrones (conocido hoy como el experimento Davisson-Germer), estudiaron una superficie de níquel. Su muestra de níquel se preparó especialmente en un horno de alta temperatura para cambiar su estructura policristalina habitual a una forma en la que grandes dominios monocristalinos ocupan el volumen. La Figura 6.19 muestra el montaje experimental. Los electrones térmicos se liberan de un elemento calentado (normalmente de tungsteno) en el cañón de electrones y se aceleran a través de una diferencia de potencial $\text{Δ}V,$ convirtiéndose en un haz de electrones bien colimado producido por un cañón de electrones. La energía cinética K de los electrones se ajusta seleccionando un valor de la diferencia de potencial en el cañón de electrones. Esto produce un haz de electrones con un valor determinado de momento lineal, de acuerdo con la conservación de la energía:

El haz de electrones incide sobre la muestra de níquel en la dirección normal a su superficie. En la superficie, se dispersa en varias direcciones. La intensidad del haz dispersado en una dirección seleccionada $\phi$ se mide con un detector de alta sensibilidad. La posición angular del detector con respecto a la dirección del haz incidente puede variar de $\phi =0\text{°}$ a $\phi =90\text{°}.$ Todo el montaje está encerrado en una cámara de vacío para evitar las colisiones de los electrones con las moléculas de aire, ya que estas colisiones térmicas modificarían la energía cinética de los electrones y no son deseables.

Figura 6.19 Esquema del montaje experimental del experimento de difracción de Davisson-Germer. Un haz de electrones bien colimado se dispersa en el objetivo de níquel. La energía cinética de los electrones en el haz incidente se selecciona ajustando un potencial variable $\text{Δ}V,$ en el cañón de electrones. La intensidad del haz de electrones dispersos se mide para un rango de ángulos de dispersión $\phi ,$ mientras que la distancia entre el detector y el objetivo no cambia.

Cuando el objetivo de níquel tiene una forma policristalina con muchos cristales microscópicos orientados al azar, los electrones incidentes se dispersan en su superficie en direcciones aleatorias. Como resultado, la intensidad del haz de electrones dispersos es muy parecida en cualquier dirección, asemejándose a una reflexión difusa de la luz desde una superficie porosa. Sin embargo, cuando el blanco de níquel tiene una estructura cristalina regular, la intensidad del haz de electrones dispersos muestra un claro máximo en un ángulo específico y los resultados muestran un claro patrón de difracción (ver la Figura 6.20). Los físicos William H. Bragg y William L. Bragg, padre e hijo, estudiaron en 1912 patrones de difracción similares formados por rayos X dispersados por varios sólidos cristalinos. La ley de Bragg en cristalografía de rayos X proporciona una conexión entre la longitud de onda $\lambda$ de la radiación que incide en una red cristalina, la separación de la red y la posición del máximo de interferencia en la radiación difractada (vea Difracción).

El espacio de red del objetivo de Davisson-Germer, determinado con cristalografía de rayos X, se midió como $a=\mathrm{2,15}\text{Å}.$ A diferencia de la cristalografía de rayos X en la que los rayos X penetran en la muestra, en el experimento original de Davisson-Germer, solo los átomos de la superficie interactúan con el haz de electrones incidente. Para la difracción superficial, la intensidad máxima del haz de electrones reflejado se observa en los ángulos de dispersión que satisfacen la condición $n\lambda =a\text{sen}\phi$ (vea la Figura 6.21). El máximo de primer orden (para $n=1$) se mide con un ángulo de dispersión de $\phi \approx 50\text{°}$ en $\text{Δ}V\approx 54\text{V},$ que da la longitud de onda de la radiación incidente como $\lambda =(\mathrm{2,15}\text{Å})\text{sen}50\text{°}=\mathrm{1,64}\text{Å}.$ Por otro lado, un potencial de 54 V acelera los electrones incidentes a energías cinéticas de $K=54\text{eV}.$ Su momento, calculado a partir de la Ecuación 6.61, es $p=\mathrm{2,478}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{eV}·\text{s}\text{/}\text{m}.$ Cuando sustituimos este resultado en la Ecuación 6.58, la longitud de onda de De Broglie se obtiene como

El mismo resultado se obtiene cuando utilizamos $K=54\text{eV}$ en la Ecuación 6.61. La proximidad de este resultado teórico al valor experimental de Davisson-Germer de $\lambda =\mathrm{1,64}\text{Å}$ es un argumento convincente para la existencia de las ondas de materia de De Broglie.

Figura 6.20 Los resultados experimentales de la difracción de electrones en un objetivo de níquel para el potencial de aceleración en el cañón de electrones de aproximadamente $\text{Δ}V=54\text{V}:$ El máximo de intensidad se registra en el ángulo de dispersión de aproximadamente $\phi =50\text{°}.$

Figura 6.21 En la difracción superficial de una onda electromagnética monocromática en una estructura de red cristalina, los haces incidentes en fase se reflejan en los átomos de la superficie. Un rayo reflejado en el átomo de la izquierda recorre una distancia adicional $D=a\text{sen}\phi$ hasta el detector, donde a es la separación de la red. Los haces reflejados permanecen en fase cuando D es un múltiplo entero de su longitud de onda $\lambda .$ La intensidad de las ondas reflejadas tiene máximos pronunciados para los ángulos $\phi$ lo que cumple con $n\lambda =a\text{sen}\phi .$

Las líneas de difracción medidas con electrones de baja energía, como las utilizadas en el experimento de Davisson-Germer, son bastante amplias (vea la Figura 6.20) porque los electrones incidentes se dispersan solo desde la superficie. La resolución de las imágenes de difracción mejora enormemente cuando un haz de electrones de mayor energía atraviesa una fina lámina metálica. Esto ocurre porque la imagen de difracción se crea por la dispersión de muchos planos cristalinos dentro del volumen, y los máximos producidos en la dispersión en los ángulos de Bragg son agudos (vea la Figura 6.22).

Figura 6.22 Patrones de difracción obtenidos en la dispersión sobre un sólido cristalino: (a) con rayos X, y (b) con electrones. El patrón observado refleja la simetría de la estructura cristalina de la muestra.

Desde los trabajos de Davisson y Germer, la hipótesis de De Broglie ha sido ampliamente comprobada con diversas técnicas experimentales, y se ha confirmado la existencia de las ondas de De Broglie para numerosas partículas elementales. Los neutrones se han utilizado en experimentos de dispersión para determinar las estructuras cristalinas de los sólidos a partir de los patrones de interferencia formados por las ondas de materia de los neutrones. El neutrón tiene carga cero y su masa es comparable a la de un protón con carga positiva. Tanto los neutrones como los protones pueden verse como ondas de materia. Por lo tanto, la propiedad de ser una onda de materia no es específica de las partículas cargadas eléctricamente, sino que es válida para todas las partículas en movimiento. Ondas de materia de moléculas tan grandes como el carbono $C_{60}$ se han medido. Todos los objetos físicos, pequeños o grandes, tienen una onda de materia asociada mientras permanecen en movimiento. El carácter universal de las ondas de materia de De Broglie está firmemente establecido.