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Física Universitaria Volumen 3

5.5 La transformación de Lorentz

Física Universitaria Volumen 35.5 La transformación de Lorentz
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

  • Describir la transformación galileana de la mecánica clásica, relacionando la posición, el tiempo, las velocidades y las aceleraciones medidas en diferentes marcos de inercia.
  • Deducir las ecuaciones de transformación de Lorentz correspondientes, que, en contraste con la transformación galileana, son consistentes con la relatividad especial.
  • Explicar la transformación de Lorentz y muchas de las características de la relatividad en términos de espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Hemos utilizado los postulados de la relatividad para examinar, en ejemplos concretos, cómo los observadores en diferentes marcos de referencia miden valores diferentes para las longitudes y los intervalos de tiempo. Podemos comprender mejor cómo los postulados de la relatividad cambian la visión newtoniana del tiempo y el espacio examinando las ecuaciones de transformación que dan las coordenadas espaciales y temporales de eventos en un marco de referencia inercial en términos de unos en comparación con los otros. En primer lugar, examinamos cómo se transforman las coordenadas de posición y tiempo entre marcos inerciales según la visión de la física newtoniana. A continuación, examinamos cómo hay que cambiar esto para que concuerde con los postulados de la relatividad. Por último, examinamos las ecuaciones resultantes de la transformación de Lorentz y algunas de sus consecuencias en términos de diagramas espacio-temporales de cuatro dimensiones, para apoyar la opinión de que las consecuencias de la relatividad especial son el resultado de las propiedades del tiempo y el espacio en sí, más que del electromagnetismo.

Las ecuaciones de transformación galileana

Un evento se especifica por su ubicación y tiempo (x, y, z, t) en relación con un marco de referencia inercial particular S. Como ejemplo, (x, y, z, t) podría denotar la posición de una partícula en el tiempo t, y podríamos estar mirando estas posiciones para muchos tiempos diferentes para seguir el movimiento de la partícula. Supongamos que un segundo marco de referencia SS se mueve con una velocidad v respecto a la primera. Para simplificar, supongamos que esta velocidad relativa es a lo largo del eje de la x. La relación entre el tiempo y las coordenadas en los dos marcos de referencia es entonces

x=x+vt,y=y,z=z.x=x+vt,y=y,z=z.

En estas ecuaciones está implícita la suposición de que las mediciones de tiempo realizadas por los observadores tanto en S como en SS son las mismas. Eso es,

t=t.t=t.

Estas cuatro ecuaciones se conocen colectivamente como la transformación galileana.

Podemos obtener las ecuaciones de transformación de la velocidad y la aceleración galileanas diferenciando estas ecuaciones con respecto al tiempo. A lo largo de este capítulo utilizaremos u para la velocidad de una partícula para distinguirla de v, la velocidad relativa de dos marcos de referencia. Observe que, para la transformación galileana, el incremento de tiempo utilizado en la diferenciación para calcular la velocidad de la partícula es el mismo en ambos marcos, dt=dt.dt=dt. La diferenciación produce

ux=ux+v,uy=uy,uz=uzux=ux+v,uy=uy,uz=uz

y

ax=ax,ay=ay,az=az.ax=ax,ay=ay,az=az.

Denotamos la velocidad de la partícula por u en lugar de v para evitar la confusión con la velocidad v de un marco de referencia con respecto al otro. Las velocidades en cada marco difieren por la velocidad que tiene un fotograma visto desde el otro. Los observadores en ambos marcos de referencia miden el mismo valor de la aceleración. Como la masa no cambia por la transformación, y las distancias entre los puntos no están cargadas, los observadores en ambos marcos ven las mismas fuerzas F=maF=ma que actúan entre los objetos y la misma forma de las leyes segunda y tercera de Newton en todos los marcos inerciales. Las leyes de la mecánica son coherentes con el primer postulado de la relatividad.

Las ecuaciones de la transformación de Lorentz

Sin embargo, la transformación galileana viola los postulados de Einstein, porque las ecuaciones de velocidad establecen que un pulso de luz que se mueve con velocidad c a lo largo del eje de la x viajaría a la velocidad cvcv en el otro marco inercial. En concreto, el pulso esférico tiene radio r=ctr=ct en el tiempo t en el marco no primo, y también tiene radio r=ctr=ct en el tiempo tt en el marco primo. Expresando estas relaciones en coordenadas cartesianas se obtiene

x2+y2+z2c2t2=0x2+y2+z2c2t2=0.x2+y2+z2c2t2=0x2+y2+z2c2t2=0.

Los lados izquierdos de las dos expresiones se pueden igualar porque ambos son cero. Dado que y=yy=y y z=z,z=z, obtenemos

x2c2t2=x2c2t2.x2c2t2=x2c2t2.
5.5

Esto no puede satisfacerse para una velocidad relativa v diferente de cero de los dos marcos si suponemos que la transformación galileana da como resultado t=tt=t con x=x+vt.x=x+vt.

Para encontrar el conjunto correcto de ecuaciones de transformación, suponga los dos sistemas de coordenadas S y SS en la Figura 5.13. Supongamos primero que se produce un evento en (x,0,0,t)(x,0,0,t) en SS y en (x,0,0,t)(x,0,0,t) en S, como se muestra en la figura.

Se muestran los ejes de los cuadros S y S primo. S tiene los ejes de la x, la y y la z. S primo se mueve hacia la derecha con velocidad v y tiene los ejes de la x prima, la y prima y la z prima. S y S primo están alineados a lo largo de los ejes horizontales de la x y la x prima y están separados por una distancia v t. Un evento en los ejes horizontales de la x y la x prima se indica con un punto que está a una distancia x del plano y z del marco S y a una distancia x prima del plano y prima, z prima del marco S primo.
Figura 5.13 Un evento ocurre en (x, 0, 0, t) en S y en ( x , 0 , 0 , t ) ( x , 0 , 0 , t ) en S . S . Las ecuaciones de la transformación de Lorentz relacionan los eventos en los dos sistemas.

Supongamos que en el instante en que los orígenes de los sistemas de coordenadas en S y SS coinciden, una bombilla de flash emite un pulso de luz que se extiende esféricamente partiendo del origen. En el tiempo t, un observador en S encuentra que el origen de SS está en x=vt.x=vt. Con la ayuda de un amigo en SS, el observador S también mide la distancia desde evento hasta el origen de SS y encuentra que es x1v2/c2.x1v2/c2. Esto se deduce porque ya hemos demostrado que los postulados de la relatividad implican la contracción de la longitud. Por lo tanto, la posición del evento en S es

x=vt+x1v2/c2x=vt+x1v2/c2

y

x=xvt1v2/c2.x=xvt1v2/c2.

Los postulados de la relatividad implican que la ecuación que relaciona la distancia y el tiempo del frente de onda esférico:

x2+y2+z2c2t2=0x2+y2+z2c2t2=0

debe aplicarse tanto en términos de coordenadas imprimadas como no imprimadas, lo que se demostró anteriormente que conduce a la Ecuación 5.5:

x2c2t2=x2c2t2.x2c2t2=x2c2t2.

Combinamos esto con la ecuación que relaciona la x y la xx para obtener la relación entre t y t:t:

t=tvx/c21v2/c2.t=tvx/c21v2/c2.

Las ecuaciones que relacionan el tiempo y la posición de los eventos vistos en S son entonces

t=t+vx/c21v2/c2x=x+vt1v2/c2y=yz=z.t=t+vx/c21v2/c2x=x+vt1v2/c2y=yz=z.

Este conjunto de ecuaciones, que relacionan la posición y el tiempo en los dos marcos inerciales, se conoce como transformación de Lorentz. Reciben su nombre en honor a H.A. Lorentz (1853 a 1928), quien las propuso por primera vez. Curiosamente, justificó la transformación en lo que finalmente se descubrió que era una hipótesis falaz. La base teórica correcta es la teoría especial de la relatividad de Einstein.

La transformación inversa expresa las variables de S en términos de las de S.S. Simplemente intercambiando las variables imprimadas y no imprimadas y sustituyendo, da:

t=tvx/c21v2/c2x=xvt1v2/c2y=yz=z.t=tvx/c21v2/c2x=xvt1v2/c2y=yz=z.

Ejemplo 5.6

Uso de la transformación de Lorentz para el tiempo

La nave espacial SS está en reposo, dirigiéndose eventualmente hacia Alfa Centauri, cuando la nave espacial S pasa a su lado a velocidad relativa c/2. El capitán de SS envía una señal de radio que dura 1,2 s según el reloj de esa nave. Utiliza la transformación de Lorentz para encontrar el intervalo de tiempo de la señal medida por el oficial de comunicaciones de la nave espacial S.

Solución

  1. Identifique el aspecto conocido: Δt=t2t1=1,2s;Δx=x2x1=0.Δt=t2t1=1,2s;Δx=x2x1=0.
  2. Identifique la incógnita: Δt=t2t1.Δt=t2t1.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación. La señal de tiempo comienza como (x,t1)(x,t1) y se detiene en (x,t2).(x,t2). Tenga en cuenta que la coordenada xx de ambos eventos es la misma porque el reloj está en reposo en S.S. Escriba la primera ecuación de la transformación de Lorentz en términos de Δt=t2t1,Δt=t2t1, Δx=x2x1,Δx=x2x1, y de forma similar para las coordenadas imprimadas, como:
    Δt=Δt+vΔx/c21v2c2.Δt=Δt+vΔx/c21v2c2.
    Porque la posición del reloj en SS es fija, Δx=0,Δx=0, y el intervalo de tiempo ΔtΔt se convierte en:
    Δt=Δt1v2c2.Δt=Δt1v2c2.
  4. Haga el cálculo.
    Con Δt=1,2sΔt=1,2s esto da:
    Δt=1,2s1(12)2=1,4s.Δt=1,2s1(12)2=1,4s.
    Observe que la transformación de Lorentz reproduce la ecuación de dilatación del tiempo.

Ejemplo 5.7

Uso de la transformación de Lorentz para la longitud

Un topógrafo mide una calle que tiene L=100mL=100m de longitud en el marco terrestre S. Utilice la transformación de Lorentz para obtener una expresión para su longitud medida desde una nave espacial S,S, moviéndose a una velocidad de 0,20c, suponiendo que las coordenadas x de los dos marcos coinciden en el tiempo t=0.t=0.

Solución

  1. Identifique el aspecto conocido: L=100m;v=0,20c;Δτ=0.L=100m;v=0,20c;Δτ=0.
  2. Identifique la incógnita: L.L.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación. El topógrafo en el marco S midió los dos extremos del palo simultáneamente, y los encontró en reposo en x2x2 y x1x1 a una distancia L=x2x1=100mL=x2x1=100m La tripulación de la nave espacial mide la ubicación simultánea de los extremos de los palos en su marco. Para relacionar las longitudes registradas por los observadores en SS y S, respectivamente, escriba la segunda de las cuatro ecuaciones de transformación de Lorentz como:
    x2x1=x2vt1v2/c2x1vt1v2/c2=x2x11v2/c2=L1v2/c2.x2x1=x2vt1v2/c2x1vt1v2/c2=x2x11v2/c2=L1v2/c2.
  4. Haga el cálculo. Dado que x2x1=100m,x2x1=100m, la longitud del palo móvil es igual a:
    L=(100m)1v2/c2=(100m)1(0,20)2=98,0m.L=(100m)1v2/c2=(100m)1(0,20)2=98,0m.
    Observe que la transformación de Lorentz dio la ecuación de contracción de longitud de la calle.

Ejemplo 5.8

Transformación de Lorentz y simultaneidad

El observador que aparece en la Figura 5.14, de pie junto a las vías del tren, ve cómo las dos bombillas parpadean simultáneamente en ambos extremos del vagón de pasajeros de 26 m de longitud cuando el centro del vagón pasa junto a él a una velocidad de c/2. Encuentre la separación en el tiempo entre el momento en que las bombillas parpadean, vistas por el pasajero del tren sentado en el centro del vagón.
Un observador en tierra observa un vagón de tren que se mueve hacia la derecha con velocidad v. En el interior, en cada extremo de ese vagón hay lámparas, cada una de las cuales emite una señal que se propaga hacia el centro del vagón, donde va sentado un pasajero.
Figura 5.14 Una persona que ve pasar un tren observa que dos bombillas parpadean simultáneamente en los extremos opuestos de un vagón de pasajeros. Hay otro pasajero dentro del vagón que observa los mismos destellos pero desde una perspectiva diferente.

Solución

  1. Identifique el aspecto conocido: Δt=0.Δt=0.
    Observe que la separación espacial de los dos eventos es entre las dos lámparas, y no la distancia de la lámpara al pasajero.
  2. Identifique la incógnita: Δt=t2t1.Δt=t2t1.
    Una vez más, tenga en cuenta que el intervalo de tiempo es entre los parpadeos de las lámparas, no entre los tiempos de llegada para alcanzar al pasajero.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación:
    Δt=Δt+vΔx/c21v2/c2.Δt=Δt+vΔx/c21v2/c2.
  4. Haga el cálculo:
    0=Δt+c2(26m)/c21v2/c2Δt=26m/s2c=26m/s2(3,00×108m/s)Δt=-4,33×10−8s.0=Δt+c2(26m)/c21v2/c2Δt=26m/s2c=26m/s2(3,00×108m/s)Δt=-4,33×10−8s.

Importancia

El signo indica que el evento con la x2,x2, más grande, es decir el destello de la derecha, se ve que ocurre primero en el marco SS como se ha encontrado anteriormente para este ejemplo, de modo que t2<t1.t2<t1.

Espacio-tiempo

Los fenómenos relativistas pueden analizarse en términos de eventos en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Cuando fenómenos como la paradoja de los gemelos, la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la dependencia de la simultaneidad del movimiento relativo se consideran de esta manera, se ven como características de la naturaleza del espacio y del tiempo, más que como aspectos específicos del electromagnetismo.

En el espacio tridimensional, las posiciones se especifican mediante tres coordenadas en un conjunto de ejes cartesianos, y el desplazamiento de un punto respecto a otro está dado por:

(Δx,Δy,Δz)=(x2x1,y2y1,z2z1).(Δx,Δy,Δz)=(x2x1,y2y1,z2z1).

La distancia ΔrΔr entre los puntos es

Δr2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2.Δr2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2.

La distancia ΔrΔr es invariante bajo una rotación de ejes. Si se utiliza un nuevo conjunto de ejes cartesianos en rotación alrededor del origen en relación con los ejes originales, cada punto del espacio tendrá nuevas coordenadas en términos de los nuevos ejes, pero la distancia ΔrΔr dada por

Δr2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2.Δr2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2.

Esto tiene el mismo valor que Δr2Δr2 tenía. Algo similar ocurre con la transformación de Lorentz en el espacio-tiempo.

Defina la separación entre dos eventos, cada uno dado por un conjunto de x, y, y ct a lo largo de un sistema cartesiano de ejes en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, como

(Δx,Δy,Δz,cΔt)=(x2x1,y2y1,z2z1,c(t2t1)).(Δx,Δy,Δz,cΔt)=(x2x1,y2y1,z2z1,c(t2t1)).

Defina también el intervalo espacio-tiempo ΔsΔs entre los dos eventos como

Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2.Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2.

Si los dos eventos tienen el mismo valor de ct en el marco de referencia considerado, ΔsΔs correspondería a la distancia ΔrΔr entre puntos en el espacio.

La trayectoria de una partícula a través del espacio-tiempo consiste en los eventos (x, y, z¸ ct) que especifican una ubicación en cada momento de su movimiento. La trayectoria a través del espacio-tiempo se denomina línea de universo de la partícula. La línea de universo de una partícula que permanece en reposo en el mismo lugar es una línea recta paralela al eje del tiempo. Si la partícula se mueve a velocidad constante paralela al eje de la x, su línea de universo sería una línea inclinada x=vt,x=vt, correspondiente a un gráfico simple de desplazamiento frente al tiempo. Si la partícula se acelera, su línea de universo se curva. El incremento de s a lo largo de la línea de universo de la partícula está dado en forma diferencial como

ds2=(dx)2+(dy)2+(dz)2c2(dt)2.ds2=(dx)2+(dy)2+(dz)2c2(dt)2.

Al igual que la distancia ΔrΔr es invariante bajo la rotación de los ejes espaciales, el intervalo espacio-tiempo:

Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2.Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2.

es invariante bajo la transformación de Lorentz. Esto se desprende de los postulados de la relatividad, y puede verse también sustituyendo las anteriores ecuaciones de la transformación de Lorentz por la expresión del intervalo espacio-tiempo:

Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2=(Δx+vΔt1v2/c2)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt+vΔxc21v2/c2)2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2=Δs2.Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2=(Δx+vΔt1v2/c2)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt+vΔxc21v2/c2)2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2=Δs2.

Además, la transformación de Lorentz cambia las coordenadas de un evento en el tiempo y el espacio de forma similar a como una rotación tridimensional cambia las coordenadas antiguas en coordenadas nuevas:

Transformación de LorentzRotación deleje alrededor deleje de laz(x,tcoordenadas):(x,ycoordenadas):x=(γ)x+(βγ)ctx=(cosθ)x+(senθ)yct=(βγ)x+(γ)cty=(senθ)x+(cosθ)yTransformación de LorentzRotación deleje alrededor deleje de laz(x,tcoordenadas):(x,ycoordenadas):x=(γ)x+(βγ)ctx=(cosθ)x+(senθ)yct=(βγ)x+(γ)cty=(senθ)x+(cosθ)y

donde γ=11β2;β=v/c.γ=11β2;β=v/c.

Las transformaciones de Lorentz pueden considerarse generalizaciones de las rotaciones espaciales al espacio-tiempo. Sin embargo, hay algunas diferencias entre una rotación de eje tridimensional y una transformación de Lorentz que involucre el eje del tiempo, debido a las diferencias en cómo la métrica, o regla para medir los desplazamientos ΔrΔr y Δs,Δs, difieren. Aunque ΔrΔr es invariante bajo rotaciones espaciales y ΔsΔs es invariante también bajo la transformación de Lorentz, la transformación de Lorentz que involucra el eje del tiempo no preserva algunas características, como que los ejes permanezcan perpendiculares o que la escala de longitud a lo largo de cada eje sea la misma.

Tenga en cuenta que la cantidad Δs2Δs2 puede tener cualquiera de los dos signos, dependiendo de las coordenadas de los eventos espacio-temporales involucrados. Para los pares de eventos que le dan un signo negativo, es útil definir c2Δτ2c2Δτ2 como Δs2.Δs2. La importancia de c2Δτc2Δτ tal y como se acaba de definir se deduce al observar que en un marco de referencia en el que los dos eventos ocurren en el mismo lugar, tenemos Δx=Δy=Δz=0Δx=Δy=Δz=0 y por tanto (a partir de la ecuación de Δs2=c2Δτ2):Δs2=c2Δτ2):

c2Δτ2=Δs2=(c2Δt)2.c2Δτ2=Δs2=(c2Δt)2.

Por lo tanto, c2Δτc2Δτ es el intervalo de tiempo c2Δtc2Δt en el marco de referencia en el que ambos eventos ocurren en el mismo lugar. Es el mismo intervalo de tiempo propio que se ha comentado anteriormente. También se deduce de la relación entre ΔsΔs y que c2Δτc2Δτ porque ya que ΔsΔs es invariante de Lorentz, el tiempo propio también lo es. Todos los observadores en todos los marcos inerciales coinciden en los intervalos de tiempo propio entre los mismos dos eventos.

Compruebe Lo Aprendido 5.5

Demuestre que si un incremento de tiempo dt transcurre para un observador que ve la partícula moviéndose con velocidad v, el mismo corresponde a un incremento de tiempo propio de la partícula de dτ=γdt.dτ=γdt.

El cono de luz

Podemos hacer frente a la dificultad de visualizar y dibujar gráficos en cuatro dimensiones al imaginar que las tres coordenadas espaciales están representadas colectivamente por un eje horizontal, y que el eje vertical es el eje ct. Comenzando con un evento particular en el espacio-tiempo como el origen del gráfico del espacio-tiempo mostrado, la línea de universo de una partícula que permanece en reposo en la ubicación inicial del evento en el origen es entonces el eje del tiempo. Cualquier plano que pase por el eje temporal paralelo hacia los ejes espaciales contiene todos los sucesos que son simultáneos entre sí y con la intersección del plano y el eje temporal, vistos en el marco de reposo del suceso en el origen.

Resulta útil imaginar un cono de luz en el gráfico, formado por las líneas de universo de todos los haces de luz que pasan por el evento de origen A, como se muestra en la Figura 5.15. El cono de luz, según los postulados de la relatividad, tiene lados en un ángulo de 45°45° si el eje del tiempo se mide en unidades de ct, y, según los postulados de la relatividad, el cono de luz sigue siendo el mismo en todos los marcos inerciales. Dado que el suceso A es arbitrario, cada punto del diagrama espacio-tiempo tiene asociado un cono de luz.

Un diagrama espacio-tiempo tiene el espacio en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. El cono de luz es un cono vertical por encima del origen con su vértice en el origen y sus lados a 45 grados, y otro cono vertical por debajo del origen con su vértice también en el origen. Se muestran tres eventos. El evento A está en el origen. El evento B está dentro del cono de luz. El evento C está fuera del cono de luz.
Figura 5.15 El cono de luz está formado por todas las líneas de universo seguidas por la luz del evento A en el vértice del cono.

Consideremos ahora la línea de universo de una partícula a través del espacio-tiempo. Cualquier línea de universo fuera del cono, como la que pasa de A a C, implicaría velocidades superiores a c, y por tanto no sería posible. Se dice que los sucesos como C que se encuentran fuera del cono de luz tienen una separación espacial del suceso A. Se caracterizan en una dimensión por:

ΔsAC2=(xAxC)2+(yAyC)2+(zAzC)2(cΔt)2>0.ΔsAC2=(xAxC)2+(yAyC)2+(zAzC)2(cΔt)2>0.

Un evento como B que se encuentra en el cono superior es alcanzable sin superar la velocidad de la luz en el vacío, y se caracteriza en una dimensión por

ΔsAB2=(xAxB)2+(yAyB)2+(zAzB)2(cΔt)2<0.ΔsAB2=(xAxB)2+(yAyB)2+(zAzB)2(cΔt)2<0.

Se dice que el suceso tiene una separación temporal con respecto a A. Los sucesos temporales que caen en la mitad superior del cono de luz ocurren en valores mayores de t que el tiempo del suceso A en el vértice y están en el futuro con respecto a A. Los sucesos que tienen una separación temporal con respecto a A y caen en la mitad inferior del cono de luz están en el pasado y pueden afectar al suceso en el origen. La región que queda fuera del cono de luz no está marcada como pasado ni futuro, sino como "otra parte".

Para cualquier suceso que tenga una separación espacial del suceso en el origen, es posible elegir un eje temporal que haga que los dos sucesos ocurran al mismo tiempo, de modo que los dos sucesos sean simultáneos en algún marco de referencia. Por lo tanto, cuál de los sucesos con separación espacial es anterior al otro en el tiempo también depende del marco de referencia del observador. Dado que las separaciones espaciales solo pueden atravesarse superando la velocidad de la luz, esta violación de qué evento puede causar el otro proporciona otro argumento de por qué las partículas no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, así como material potencial para la ciencia ficción sobre viajes en el tiempo. Del mismo modo, para cualquier evento con una separación similar al tiempo del evento en el origen, se puede encontrar un marco de referencia que hará que los eventos ocurran en el mismo lugar. Dado que las relaciones

ΔsAC2=(xAxC)2+(yAyC)2+(zAzC)2(cΔt)2>0ΔsAC2=(xAxC)2+(yAyC)2+(zAzC)2(cΔt)2>0

y

ΔsAB2=(xAxB)2+(yAyB)2+(zAzB)2(cΔt)2<0.ΔsAB2=(xAxB)2+(yAyB)2+(zAzB)2(cΔt)2<0.

son invariantes de Lorentz, si dos sucesos son similares en tiempo y se puede hacer que ocurran en el mismo lugar o en espacios similares y puede hacerse que ocurran en el mismo tiempo es lo mismo para todos los observadores. Todos los observadores en diferentes marcos de referencia inerciales están de acuerdo en si dos eventos tienen una separación similar en el tiempo o en el espacio.

La paradoja de los gemelos vista en el espacio-tiempo

La paradoja de los gemelos de la que hablamos anteriormente implica que un astronauta gemelo viaja a una velocidad cercana a la de la luz a un sistema estelar lejano y regresa a la Tierra. Debido a la dilatación del tiempo, se prevé que el gemelo espacial envejezca mucho menos que el gemelo terrestre. Esto parece paradójico, ya que a primera vista cabría esperar que el movimiento relativo fuera simétrico e ingenuamente se podría argumentar que el gemelo terrestre debería envejecer menos.

Para analizar esto en términos de un diagrama espacio-temporal, supongamos que el origen de los ejes utilizados está fijado en la Tierra. La línea de universo del gemelo terrestre está entonces a lo largo del eje del tiempo.

La línea de universo del astronauta gemelo, que viaja a la estrella lejana y luego regresa, debe desviarse de una trayectoria en línea recta para permitir el viaje de vuelta. Como se ve en la Figura 5.16, las circunstancias de los dos gemelos no son en absoluto simétricas. Sus trayectorias en el espacio-tiempo tienen una longitud manifiestamente diferente. Específicamente, la línea de universo del gemelo terrestre tiene una longitud 2cΔt,2cΔt, que luego da el tiempo propio que transcurre para el gemelo terrestre como 2Δt.2Δt. La distancia al sistema estelar distante es Δx=vΔt.Δx=vΔt. El tiempo propio que transcurre para el gemelo espacial es 2Δτ2Δτ donde

c2Δτ2=Δs2=(cΔt)2(Δx)2.c2Δτ2=Δs2=(cΔt)2(Δx)2.

Esto es considerablemente más corto que el tiempo propio para el gemelo terrestre por la relación

cΔτcΔt=(cΔt)2(Δx)2(cΔt)2=(cΔt)2(vΔt)2(cΔt)2=1v2c2=1γ.cΔτcΔt=(cΔt)2(Δx)2(cΔt)2=(cΔt)2(vΔt)2(cΔt)2=1v2c2=1γ.

consistente con la fórmula de dilatación del tiempo. Por lo tanto, la paradoja de los gemelos se ve que no es una paradoja en absoluto. La situación de los dos gemelos no es simétrica en el diagrama espacio-temporal. La única sorpresa es quizás que el camino aparentemente más largo en el diagrama espacio-tiempo corresponde al intervalo de tiempo propio más pequeño, debido a cómo ΔτΔτ y ΔsΔs dependen de ΔxΔx y Δt.Δt.

El diagrama espacio-tiempo tiene la x en el eje horizontal y c t en el eje vertical. El cono de luz aparece como líneas de 45 grados que salen del origen. La línea de universo del gemelo de la Tierra es una línea vertical en el eje c t. La primera parte de la línea de universo de los gemelos espaciales es una línea que sale del origen en un ángulo mayor de 45 grados pero menor de 90 grados. En un punto que está a una distancia vertical c delta t y a una distancia horizontal delta x del origen, la línea de universo del gemelo espacial se dobla hacia el eje c t y choca con el eje c t a una distancia vertical c delta t desde donde cambió de dirección.
Figura 5.16 El gemelo espacial y el gemelo terrestre, en el ejemplo de la paradoja de los gemelos, siguen líneas de universo de diferente longitud a través del espacio-tiempo.

Transformaciones de Lorentz en el espacio-tiempo

Ya hemos observado cómo la transformación de Lorentz deja

Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2Δs2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2(cΔt)2

sin cambios y corresponde a una rotación de ejes en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Si los marcos de S y SS están en movimiento relativo a lo largo de su dirección de la x compartida, los ejes de espacio y tiempo de SS están en rotación en un ángulo αα visto desde S, de la forma que se muestra en la Figura 5.17, donde:

tanα=vc=β.tanα=vc=β.

Esto difiere de una rotación en el sentido tridimensional habitual, en la medida en que los dos ejes espacio-temporales están en rotación uno hacia el otro simétricamente en forma de tijera, como se muestra. La rotación de los ejes del tiempo y del espacio se realiza con el mismo ángulo. La malla de líneas discontinuas paralelas a los dos ejes muestra cómo se leerían las coordenadas de un evento a lo largo de los ejes primos. Esto se haría siguiendo una línea paralela a la xx y una paralela al eje tt, como muestran las líneas discontinuas. La escala de longitud de ambos ejes se cambia por:

ct=ct1+β21β2;x=x1+β21β2.ct=ct1+β21β2;x=x1+β21β2.

La línea marcada como v=cv=c a 45°45° del eje de la x corresponde al borde del cono de luz, y no se ve afectada por la transformación de Lorentz, de acuerdo con el segundo postulado de la relatividad. La línea v=cv=c, y el cono de luz que representa, son los mismos tanto para el marco de referencia de la S como para el de la SS.

El diagrama espacio-tiempo tiene los ejes x y c t. La línea v=c es una línea a 45 grados. También se muestra un segundo conjunto de ejes, x prima y c t prima. Estos ejes comparten el mismo origen que los ejes x, c t. El eje de la x prima es un ángulo alfa = tangente inversa (v/c) sobre el eje de la x. El eje de la c t prima es el mismo ángulo alfa a la derecha del eje c t. También se muestra un conjunto de líneas discontinuas paralelas a los ejes de la x prima y c t prima.
Figura 5.17 La transformación de Lorentz da lugar a nuevos ejes espaciales y temporales en rotación en forma de tijera con respecto a los ejes originales.

Simultaneidad

La simultaneidad de los acontecimientos en lugares separados depende del marco de referencia utilizado para describirlos, tal y como se desprende de la "rotación" en forma de tijera a las nuevas coordenadas temporales y espaciales descritas. Si dos sucesos tienen los mismos valores de t en el marco de referencia no iprimo, no es necesario que tengan los mismos valores medidos a lo largo del eje ct,ct, y por tanto, no serían simultáneos en el marco primo.

Como ejemplo concreto, consideremos el tren que va casi a la velocidad de la luz en el que las luces de destello de los dos extremos del vagón han parpadeado simultáneamente en el marco de referencia de un observador en el suelo. El gráfico espacio-tiempo se muestra en la Figura 5.18. Los destellos de las dos lámparas están representados por los puntos marcados como "Lámpara de destello izquierda" y "Lámpara de destello derecha" que se encuentran en el cono de luz en el pasado. La línea de universo de ambos pulsos viaja a lo largo del borde del cono de luz para llegar al observador en el suelo simultáneamente. Su llegada es el acontecimiento en el origen. Por lo tanto, tuvieron que emitirse simultáneamente en el marco no primo, como se representa en el punto marcado como t(ambos). Pero el tiempo se mide a lo largo del eje ct ct en el marco de referencia del observador sentado en el centro del vagón. Así que en su marco de referencia, el evento de emisión de las bombillas marcadas como tt (izquierda) y tt (derecha) no fueron simultáneos.

El observador en tierra y el tren, moviéndose hacia la derecha a velocidad v y con lámparas de destello en cada extremo y un pasajero en el centro, se muestran debajo de un gráfico espacio-temporal del ejemplo. Los ejes horizontal y vertical del diagrama espacio-tiempo son los ejes de la x y c t. El pasajero está en x=0. Los destellos son equidistantes a la izquierda y a la derecha de x=0 y se muestran al mismo tiempo, t<0. Las líneas luminosas de cada destello pasan por el origen a 45 grados y están marcardos como v=c. El evento t (ambos) está marcado donde la línea horizontal que conecta los eventos de destello izquierdo y derecho cruza el eje c t. El eje de la x prima está entre la línea de luz de + 45 grados y el eje de la x. El eje de la c t prima está entre la línea de luz de +45 grados y el eje vertical de c t. Se muestra una línea discontinua que es paralela al eje de la x prima y pasa por el evento de destello izquierdo. El punto en el que cruza el eje de la c t prima está marcado como t primo (izquierda). Se muestra otra línea discontinua que es paralela al eje de la x prima y que pasa por el evento de destello derecho. El punto en el que esta segunda línea discontinua cruza el eje de la c t prima está marcado como t primo (derecha). El punto t primo (derecha) está más bajo en el eje c t prima que el punto t primo (izquierda).
Figura 5.18 El ejemplo del tren revisado. Los destellos se producen en el mismo momento t(ambos) a lo largo del eje temporal del observador del suelo, pero en momentos diferentes, a lo largo del eje temporal t t del pasajero.

En términos del diagrama espacio-tiempo, los dos observadores están simplemente usando diferentes ejes de tiempo para los mismos eventos porque están en marcos inerciales diferentes, y las conclusiones de ambos observadores son igualmente válidas. Como sugiere el análisis en términos de los diagramas espacio-tiempo, la propiedad de cómo la simultaneidad de los eventos depende del marco de referencia es un resultado de las propiedades del espacio y el tiempo en sí, más que de algo específicamente relacionado con el electromagnetismo.

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