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Física Universitaria Volumen 3

5.4 Contracción de longitud

Física Universitaria Volumen 35.4 Contracción de longitud
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Explicar cómo se relacionan la simultaneidad y la contracción de la longitud.
  • Describir la relación entre la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo y utilizarla para derivar la ecuación de longitud-contracción.

La longitud del vagón en la Figura 5.8 es la misma para todos los pasajeros. Todos ellos coincidirían en la localización simultánea de los dos extremos del vagón y obtendrían el mismo resultado para la distancia entre ellos. Pero los eventos simultáneos en un marco inercial no tienen por qué ser simultáneos en otro. Si el tren pudiera viajar a velocidades relativistas, un observador terrestre vería las ubicaciones simultáneas de los dos extremos del vagón a una distancia diferente a la de los observadores dentro del vagón. Las distancias medidas no tienen por qué ser las mismas para diferentes observadores cuando se trata de velocidades relativistas.

Una foto de un tren TGV de alta velocidad
Figura 5.8 Las personas pueden describir las distancias de forma diferente, pero a velocidades relativistas, las distancias son realmente diferentes. (crédito: “russavia”/Flickr)

Longitud propia

Dos observadores que pasan uno al lado del otro ven siempre el mismo valor de su velocidad relativa. Aunque la dilatación del tiempo implica que el pasajero del tren y el observador que se encuentra junto a las vías miden tiempos diferentes para el paso del tren, siguen coincidiendo en que la velocidad relativa, que es la distancia dividida por el tiempo transcurrido, es la misma. Si un observador en tierra y otro en el tren miden un tiempo diferente para que la longitud del tren pase por el observador terrestre, estar de acuerdo con su velocidad relativa significa que también deben ver diferentes distancias recorridas.

El muón que se discute en la Ejemplo 5.3 ilustra este concepto (Figura 5.9). Para un observador en la Tierra, el muón viaja a 0,950c durante 7,05 μs desde que se produce hasta que se desintegra. Por lo tanto, viaja una distancia relativa a la Tierra de:

L0=vΔt=(0,950)(3,00×108m/s)(7,05×10−6s)=2,01km.L0=vΔt=(0,950)(3,00×108m/s)(7,05×10−6s)=2,01km.

En el marco del muón, el tiempo de vida del muón es de 2,20 μs. En este marco de referencia, la Tierra, el aire y el suelo solo tienen el tiempo suficiente para viajar:

L=vΔτ=(0,950)(3,00×108m/s)(2,20×10−6s)km=0,627km.L=vΔτ=(0,950)(3,00×108m/s)(2,20×10−6s)km=0,627km.

La distancia entre los dos sucesos iguales (producción y desintegración de un muón) depende de quién lo mida y de cómo se mueva respecto a él.

Longitud propia

Longitud propia L0L0 es la distancia entre dos puntos medida por un observador que está en reposo respecto a ambos puntos.

El observador terrestre mide la longitud propia L0L0 porque los puntos en los que se produce y se desintegra el muón son estacionarios con respecto a la Tierra. Para el muón, la Tierra, el aire y las nubes se mueven, por lo que la distancia L que ve no es la longitud propia.

La figura a muestra a un observador estacionario en el suelo mirando a un muón que se mueve hacia la derecha con velocidad v entre dos nubes que están separadas por 2,01 km. La figura b muestra al observador, el suelo y las nubes moviéndose hacia la izquierda con una velocidad v. El muón está inmóvil. Las nubes están contraídas horizontalmente y la distancia entre ellas es de 0,627 km.
Figura 5.9 (a) El observador terrestre ve al muón recorrer 2,01 km. (b) La misma trayectoria tiene una longitud de 0,627 km vista desde el marco de referencia del muón. La Tierra, el aire y las nubes se mueven en relación con el muón en su marco, y tienen longitudes menores a lo largo de la dirección del viaje.

Contracción de longitud

Para relacionar las distancias medidas por diferentes observadores, tenga en cuenta que la velocidad relativa al observador terrestre en nuestro ejemplo del muón viene dada por

v=L0Δt.v=L0Δt.

El tiempo con respecto al observador terrestre es Δt,Δt, porque el objeto cronometrado se mueve con respecto a este observador. La velocidad relativa al observador en movimiento viene dada por

v=LΔτ.v=LΔτ.

El observador en movimiento viaja con el muón y, por tanto, observa el tiempo propio Δτ.Δτ. Las dos velocidades son idénticas; por lo tanto,

L0Δt=LΔτ.L0Δt=LΔτ.

Sabemos que Δt=γΔτ.Δt=γΔτ. Al sustituir esta ecuación en la relación anterior se obtiene

L=L0γ.L=L0γ.
5.3

Al sustituir γγ da una ecuación que relaciona las distancias medidas por diferentes observadores.

Contracción de longitud

La contracción de la longitud es la disminución de la longitud medida de un objeto con respecto a su longitud propia cuando se mide en un marco de referencia que se mueve con respecto al objeto:

L=L01v2c2L=L01v2c2
5.4

donde L0L0 es la longitud del objeto en su marco de reposo, y L es la longitud en el marco que se mueve con velocidad v.

Si medimos la longitud de cualquier cosa que se mueva con respecto a nuestro marco, hallamos que su longitud L es menor que la longitud propia L0L0 que se mediría si el objeto estuviera inmóvil. Por ejemplo, en el marco de reposo del muón, la distancia que recorre la Tierra entre el lugar en el que se produjo el muón y el lugar en el que se desintegra es más corta que la distancia recorrida vista desde el marco de la Tierra. Esos puntos están fijos respecto a la Tierra, pero se mueven respecto al muón. Las nubes y otros objetos también se contraen a lo largo de la dirección del movimiento visto desde el marco de reposo del muón.

Así, dos observadores miden distancias diferentes a lo largo de su dirección de movimiento relativo, dependiendo de cuál de ellos esté midiendo distancias entre objetos en reposo.

¿Pero qué pasa con las distancias medidas en una dirección perpendicular al movimiento relativo? Imagine que dos observadores se mueven a lo largo de sus ejes x y se cruzan mientras sostienen unas reglas de madera verticalmente en la dirección y. La Figura 5.10 muestra dos reglas de madera M y MM que están en reposo en los marcos de referencia de dos niños S y S,S, respectivamente. Una pequeña brocha se fija en la parte superior (en marca de 100 cm) de la regla de madera M.M. Supongamos que SS se mueve hacia la derecha a una velocidad muy alta v en relación con S, y las reglas de madera están orientadas de manera que son perpendiculares, o transversales, a su vector de velocidad relativa. Las reglas de madera se sujetan de forma que, al pasar uno por otro, sus extremos inferiores (las marcas de 0 cm) coincidan. Supongamos que cuando S mira su regla de madera M posteriormente, halla una línea pintada en ella, justo debajo de la parte superior de esta. Porque la brocha está unida a la parte superior de la regla de madera del otro niño M,M, S solo puede concluir que la regla de madera MM tiene menos de 1,0 m de longitud.

Un patinador que se desplaza hacia la derecha con velocidad v sostiene una regla verticalmente. La parte inferior de la regla está marcada como cero, y su parte superior como a 100 cm. En el extremo superior de la regla se coloca una brocha. El patinador está marcado como S prima y su regla como M prima. A la derecha del patinador se encuentra un niño que sostiene una regla vertical de 100 cm a la misma altura que la regla del patinador. El niño inmóvil está marcado como S y su regla está marcada como M.
Figura 5.10 Las reglas de madera M y M M son estacionarias en los marcos de referencia de los observadores S y S , S , respectivamente. A medida que pasan las reglas de madera, una pequeña brocha fijada en la marca de 100 cm de M M pinta una línea en M.

Ahora cuando los niños se acercan, S,S, como S, ve una regla de madera de un metro que se mueve hacia él con velocidad v. Como sus situaciones son simétricas, cada niño debe hacer la misma medición de la regla de madera en el otro fotograma. Por lo tanto, si S mide la regla de madera MM a menos de 1,0 m de longitud, SS debe medir la regla de madera M para que sea también menos de 1,0 m de longitud, y SS debe ver su brocha pasar por encima de la regla de madera M y no pintar una línea en ella. En otras palabras, después del mismo evento, ¡un niño ve una línea pintada en una regla de madera, mientras que el otro no ve tal línea en esa misma regla de madera!

El primer postulado de Einstein exige que las leyes de la física (aplicadas, por ejemplo, a la pintura) predigan que S y S,S, que están ambos en marcos inerciales, hacen las mismas observaciones; es decir, S y SS deben ver ambos una línea pintada en la regla de madera M, o ambos no ver esa línea. ¡Por lo tanto, nos vemos obligados a concluir que nuestra suposición original de que S vio una línea pintada debajo de la parte superior de su bastón era errónea! En cambio, S halla la línea pintada justo en la marca de 100 cm en M. Entonces ambos niños estarán de acuerdo en que hay una línea pintada en M, y también estarán de acuerdo en que ambas reglas de madera miden exactamente 1 m. Concluimos entonces que las mediciones de una longitud transversal deben ser las mismas en diferentes marcos inerciales.

Ejemplo 5.5

Cálculo de contracción de longitud

Supongamos que un astronauta, como la gemela en la discusión de la paradoja de los gemelos, viaja tan rápido que γ=30,00.γ=30,00. (a) El astronauta viaja desde la Tierra hasta el sistema estelar más cercano, Alfa Centauri, a 4300 años luz (light-years, ly) de distancia medidos por un observador terrestre. ¿A qué distancia se encuentran la Tierra y Alfa Centauri, medida por el astronauta? (b) Con relación a c, ¿cuál es la velocidad del astronauta con respecto a la Tierra? Es posible que se olvide del movimiento de la Tierra con respecto al Sol (Figura 5.11).
En la figura a, la Tierra y Alfa Centauri se muestran como separadas por una distancia L cero y el reloj de la Tierra muestra un tiempo delta t. Una nave espacial contraída horizontalmente se mueve hacia la derecha con una velocidad v. Se nos da la ecuación v = L cero / delta t. En la figura b, la Tierra y Alpha Centauri se muestran separadas por una distancia L. Tanto la Tierra como Alpha Centauri se mueven hacia la izquierda con velocidad v y se contraen horizontalmente. La nave espacial está inmóvil y no se contrae. El reloj de la nave muestra un tiempo delta tau. Se nos da la ecuación v = L / delta tau.
Figura 5.11 (a) El observador terrestre mide la distancia propia entre la Tierra y Alfa Centauri. (b) El astronauta observa una contracción de longitud porque la Tierra y Alfa Centauri se mueven respecto a su nave. Puede recorrer esta distancia más corta en un tiempo menor (su tiempo propio) sin superar la velocidad de la luz.

Estrategia

En primer lugar, hay que tener en cuenta que un año luz (ly) es una unidad de distancia conveniente a escala astronómica: es la distancia que recorre la luz en un año. Para la parte (a), la distancia de 4300 ly entre Alfa Centauri y la Tierra es la distancia adecuada L0,L0, porque está medido por un observador terrestre para el que ambas estrellas son (aproximadamente) estacionarias. Para el astronauta, la Tierra y Alfa Centauri pasan a la misma velocidad, por lo que la distancia entre ellas es la longitud contraída L. En la parte (b), se nos da γ,γ, por lo que podemos hallar v reordenando la definición de γγ para expresar v en términos de c.

Solución para (a)

Para la parte (a):
  1. Identifique los datos conocidos L0=4,300ly;γ=30,00.L0=4,300ly;γ=30,00.
  2. Identifique la incógnita: L.
  3. Exprese la respuesta en forma de ecuación: L=L0γ.L=L0γ.
  4. Haga el cálculo:
    L=L0γ=4,300ly30,00=0,1433ly.L=L0γ=4,300ly30,00=0,1433ly.

Solución para (b)

Para la parte (b):
  1. Identifique los datos conocidos: γ=30,00.γ=30,00.
  2. Identifique la incógnita: v en términos de c.
  3. Exprese la respuesta en forma de ecuación. Empiece con:
    γ=11v2c2.γ=11v2c2.
    A continuación, resuelva la incógnita v/c elevando primero al cuadrado ambos lados y luego reordenando:
    γ2=11v2c2v2c2=11γ2vc=11γ2.γ2=11v2c2v2c2=11γ2vc=11γ2.
  4. Haga el cálculo:
    vc=11γ2=11(30,00)2=0,99944vc=11γ2=11(30,00)2=0,99944
    o
    v=0,9994c.v=0,9994c.

Importancia

Recuerde no redondear los cálculos hasta la respuesta final o podría obtener resultados erróneos. Esto es especialmente cierto en el caso de los cálculos de relatividad especial, en los que las diferencias podrían revelarse solo después de varios decimales. El efecto relativista es grande aquí (γ=30,00),(γ=30,00), y vemos que v se acerca (no es igual) a la velocidad de la luz. Como la distancia medida por el astronauta es mucho menor, puede recorrerla en mucho menos tiempo en su propio marco.

Las personas que viajan a velocidades extremadamente altas podrían cubrir distancias muy grandes (miles o incluso millones de años luz) y envejecer solo unos pocos años en el camino. Sin embargo, al igual que los emigrantes de siglos pasados que abandonaron su hogar, estas personas dejarían la Tierra que conocen para siempre. Incluso si regresaran, en la Tierra habrían pasado entre miles y millones de años, lo que causaría la desaparición de la mayor parte de lo que ahora existe. También hay un obstáculo práctico más serio para viajar a tales velocidades; se necesitarían energías inmensamente mayores para alcanzar tales velocidades de lo que la física clásica predice que puede lograrse. Esto se discutirá más adelante en el capítulo.

¿Por qué no notamos la contracción de longitud en la vida cotidiana? La distancia a la tienda de comestibles no parece depender de si nos movemos o no. Al analizar la ecuación L=L01v2c2,L=L01v2c2, vemos que a bajas velocidades (v<<c),(v<<c), las longitudes son casi iguales, que es la expectativa clásica. Pero la contracción de longitud es real, aunque no se experimente con frecuencia. Por ejemplo, una partícula cargada, como un electrón que viaja a velocidad relativista, tiene líneas de campo eléctrico que se comprimen a lo largo de la dirección del movimiento visto por un observador estacionario (Figura 5.12). Cuando el electrón pasa por un detector, como una bobina de alambre, su campo interactúa mucho más brevemente, un efecto observado en aceleradores de partículas como el acelerador lineal de Stanford (Stanford Linear Accelerator, SLAC), de 3 km de longitud. De hecho, para un electrón que se desplaza por el tubo del haz en el SLAC, el acelerador y la Tierra se desplazan y se contraen en longitud. El efecto relativista es tan grande que el acelerador solo mide 0,5 m hasta el electrón. En realidad, es más fácil hacer descender el haz de electrones por la tubería, ya que el haz no tiene que dirigirse con tanta precisión para descender por una tubería corta como para hacerlo por una de 3 km de longitud. Esto, de nuevo, es una verificación experimental de la teoría especial de la relatividad.

Se muestra un electrón que viaja con una velocidad horizontal v en un tubo. Las líneas de campo eléctrico apuntan hacia el electrón, pero se comprimen en un cono por encima y por debajo del electrón.
Figura 5.12 Las líneas de campo eléctrico de una partícula cargada a alta velocidad se comprimen a lo largo de la dirección del movimiento por contracción de longitud, lo que produce una señal observable diferente cuando la partícula atraviesa una bobina.

Compruebe Lo Aprendido 5.4

Una partícula viaja a través de la atmósfera terrestre a una velocidad de 0,750c. Para un observador terrestre, la distancia que recorre es de 2,50 km. ¿Qué distancia recorre la partícula vista desde su marco de referencia?

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