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Física Universitaria Volumen 3

5.3 Dilatación del tiempo

Física Universitaria Volumen 35.3 Dilatación del tiempo
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Explicar cómo los intervalos de tiempo pueden medirse de forma diferente en distintos marcos de referencia.
  • Describir cómo distinguir un intervalo de tiempo propio de un intervalo de tiempo dilatado.
  • Describir la importancia del experimento con muones.
  • Explicar por qué la paradoja de los gemelos no es una contradicción.
  • Calcular la dilatación del tiempo dada la velocidad de un objeto en un marco determinado.

El análisis de la simultaneidad muestra que los postulados de Einstein implican un efecto importante: Los intervalos de tiempo tienen valores diferentes cuando se miden en diferentes marcos inerciales. Supongamos, por ejemplo, que un astronauta mide el tiempo que tarda un pulso de luz en recorrer una distancia perpendicular a la dirección del movimiento de su nave (en relación con un observador terrestre), rebotar en un espejo y regresar (Figura 5.4). ¿Cómo se compara el tiempo transcurrido que el astronauta mide en la nave espacial con el tiempo transcurrido que un observador terrestre mide observando lo que ocurre en la nave espacial?

El examen de esta pregunta conduce a un resultado profundo. El tiempo transcurrido de un proceso depende del observador que lo mide. En este caso, el tiempo medido por el astronauta (dentro de la nave espacial en la que está en reposo) es menor que el tiempo medido por el observador terrestre (hacia el que se mueve el astronauta). El tiempo transcurrido para el mismo proceso es diferente para los observadores, porque la distancia que recorre el pulso de luz en el marco del astronauta es menor que en el marco terrestre, como se ve en la Figura 5.4. La luz viaja a la misma velocidad en cada marco, por lo que tarda más tiempo en recorrer la mayor distancia en el marco terrestre.

La figura a muestra una ilustración de un astronauta en el transbordador espacial observando un reloj analógico con un tiempo transcurrido delta tau. Los detalles del experimento del reloj también se muestran como sigue: Hay una fuente de luz, un receptor a poca distancia a su derecha y un espejo centrado sobre ellos. La distancia vertical desde el receptor y la fuente de luz hasta el espejo se marca como D. Se muestra la trayectoria de la luz desde la fuente, hasta el espejo y de vuelta al receptor. La figura b muestra un observador en la Tierra con un reloj analógico que muestra un intervalo de tiempo delta t. Encima del observador hay tres diagramas que muestran el experimento del reloj del transbordador espacial en tres momentos diferentes y la trayectoria de la luz. La fuente de luz en el diagrama de la izquierda está marcada como “evento inicial”. El receptor en el diagrama de la derecha está marcado como “evento final”. El recorrido de la luz forma una línea recta que va en diagonal hacia arriba y hacia la derecha, desde la fuente en el diagrama de la izquierda hasta el espejo en el diagrama del centro, y luego otra línea recta que va en diagonal hacia abajo y hacia la derecha, desde el espejo en el diagrama del centro hasta el receptor en el diagrama de la derecha. La distancia vertical desde el receptor hasta el espejo se marca como D. La distancia horizontal desde el evento inicial hasta la ubicación del reloj en el diagrama central se marca como L= v delta t sobre 2. La distancia horizontal desde la ubicación del reloj en el diagrama central hasta el evento final se marca como L. La figura c muestra un triángulo isósceles con una base horizontal. El triángulo está dividido por una línea vertical desde su vértice hasta su base en dos triángulos rectángulos idénticos con la línea vertical formando un lado que los dos triángulos rectángulos comparten. Este lado se denomina D. La base del triángulo de la izquierda se denomina L= v delta t sobre 2. La base del triángulo de la derecha se denomina L. La hipotenusa de cada uno de los triángulos rectángulos se denomina s. Encima del diagrama está la ecuación donde s es igual a la raíz cuadrada de la cantidad D al cuadrado más L al cuadrado.
Figura 5.4 (a) Un astronauta mide el tiempo Δ τ Δ τ para que la luz recorra la distancia 2D en el marco del astronauta. (b) Un científico de la NASA en la Tierra ve que la luz sigue el camino más largo 2s y tarda más tiempo Δ t . Δ t . (c) Estos triángulos se utilizan para hallar la relación entre las dos distancias D y s.

Dilatación del tiempo

La dilatación del tiempo es el alargamiento del intervalo de tiempo entre dos sucesos para un observador en un marco inercial que se mueve con respecto al marco de reposo de los sucesos (en el que los sucesos ocurren en el mismo lugar).

Para comparar cuantitativamente las mediciones de tiempo en los dos marcos inerciales, podemos relacionar las distancias en la Figura 5.4 entre sí, y luego expresar cada distancia en términos del tiempo de viaje (respectivamente ΔtΔt o ΔτΔτ) del pulso en el marco de referencia correspondiente. La ecuación resultante puede resolverse para ΔtΔt en términos de Δτ.Δτ.

Las longitudes D y L en la Figura 5.4 son los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa s. Del teorema de Pitágoras,

s2=D2+L2.s2=D2+L2.

Las longitudes 2s y 2L son, respectivamente, las distancias que el pulso de luz y la nave espacial recorren en el tiempo ΔtΔt en el marco del observador terrestre. La longitud D es la distancia que recorre el pulso de luz en el tiempo ΔτΔτ en el marco del astronauta. Esto nos da tres ecuaciones:

2s=cΔt;2L=vΔt;2D=cΔτ.2s=cΔt;2L=vΔt;2D=cΔτ.

Tenga en cuenta que hemos utilizado el segundo postulado de Einstein tomando la velocidad de la luz como c en ambos marcos inerciales. Sustituimos estos resultados en la expresión anterior del teorema de Pitágoras:

s2=D2+L2(cΔt2)2=(cΔτ2)2+(vΔt2)2.s2=D2+L2(cΔt2)2=(cΔτ2)2+(vΔt2)2.

Entonces reordenamos para obtener

(cΔt)2(vΔt)2=(cΔτ)2.(cΔt)2(vΔt)2=(cΔτ)2.

Finalmente, al resolver ΔtΔt en términos de ΔτΔτ obtenemos

Δt=Δτ1(v/c)2.Δt=Δτ1(v/c)2.
5.1

Esto equivale a

Δt=γΔτ,Δt=γΔτ,

donde γγ es el factor relativista (a menudo llamado factor de Lorentz) dado por

γ=11v2c2γ=11v2c2
5.2

y v y c son las velocidades del observador en movimiento y de la luz, respectivamente.

Observe la asimetría entre las dos mediciones. Solo una de ellas es una medida del intervalo entre dos eventos, la emisión y la llegada del pulso de luz, en la misma posición. Es una medida del intervalo de tiempo en el marco de reposo de un solo reloj. La medición en el marco terrestre consiste en comparar el intervalo de tiempo entre dos acontecimientos que se producen en lugares diferentes. El intervalo entre eventos que ocurren en un mismo lugar tiene un nombre separado para distinguirlo del tiempo medido por el observador terrestre, y utilizamos el símbolo separado ΔτΔτ para referirnos a este a lo largo de este capítulo.

Tiempo propio

El intervalo de tiempo propio ΔτΔτ entre dos eventos es el intervalo de tiempo medido por un observador para el que ambos eventos ocurren en el mismo lugar.

La ecuación que relaciona ΔtΔt y ΔτΔτ es verdaderamente notable. En primer lugar, como ya se ha dicho, el tiempo transcurrido no es el mismo para diferentes observadores que se mueven uno respecto al otro, aunque ambos estén en marcos inerciales. Un intervalo de tiempo propio ΔτΔτ para un observador que, como el astronauta, se mueve con el aparato, es menor que el intervalo de tiempo para otros observadores. Es el menor tiempo medido posible entre dos eventos. El observador terrestre ve los intervalos de tiempo dentro del sistema en movimiento como dilatados (es decir, alargados) con respecto a cómo los ve el observador que se mueve con respecto a la Tierra dentro del sistema en movimiento. Alternativamente, según el observador terrestre, menos tiempo pasa entre los eventos dentro del marco móvil. Obsérvese que el menor tiempo transcurrido entre sucesos se da en el marco inercial en el que el observador ve que los sucesos (por ejemplo, la emisión y la llegada de la señal luminosa) ocurren en el mismo punto.

Este efecto del tiempo es real y no está causado por relojes inexactos o mediciones inadecuadas. Las mediciones del intervalo de tiempo del mismo evento difieren para los observadores en movimiento relativo. La dilatación del tiempo es una propiedad intrínseca del propio tiempo. Se observa que todos los relojes que se mueven con respecto a un observador, incluidos los relojes biológicos, como los latidos del corazón de una persona, o el envejecimiento, funcionan más lentamente en comparación con un reloj que está inmóvil con respecto al observador.

Tome en cuenta que si la velocidad relativa es mucho menor que la velocidad de la luz (v<<c),(v<<c), entonces v2/c2v2/c2 es extremadamente pequeño, y los tiempos transcurridos ΔtΔt y ΔτΔτ son casi iguales. A bajas velocidades, la física basada en la relatividad moderna se aproxima a la física clásica: las experiencias cotidianas implican efectos relativistas muy pequeños. Sin embargo, para velocidades cercanas a la de la luz, v2/c2v2/c2 está cerca de uno, así que 1v2/c21v2/c2 es muy pequeño y ΔtΔt se vuelve significativamente mayor que Δτ.Δτ.

Vida media de un muón

Existe una considerable evidencia experimental de que la ecuación Δt=γΔτΔt=γΔτ es correcta. Encontramos un ejemplo en las partículas de rayos cósmicos que llueven continuamente sobre la Tierra desde el espacio profundo. Algunas colisiones de estas partículas con núcleos de la alta atmósfera dan lugar a partículas de corta duración llamadas muones. La vida media (cantidad de tiempo para que la mitad de un material se desintegre) de un muón es de 1,52 μs cuando está en reposo respecto al observador que mide la vida media. Este es el intervalo de tiempo propio Δτ.Δτ. Este corto tiempo permite que muy pocos muones lleguen a la superficie de la Tierra y sean detectados si las suposiciones de Newton sobre el tiempo y el espacio fueran correctas. Sin embargo, los muones producidos por las partículas de los rayos cósmicos tienen un rango de velocidades, con algunos que se mueven cerca de la velocidad de la luz. Se ha comprobado que la vida media del muón, medida por un observador terrestre (ΔtΔt) varía con la velocidad exactamente como lo predice la ecuación Δt=γΔτ.Δt=γΔτ. Cuanto más rápido se mueve el muón, más tiempo vive. En la Tierra vemos que el muón dura mucho más de lo que predice su vida media dentro de su propio marco de reposo. Visto desde nuestro marco, el muón se desintegra más lentamente que cuando está en reposo respecto a nosotros. Por ello, una fracción mucho mayor de muones llega al suelo.

Antes de presentar el primer ejemplo de resolución de un problema de relatividad, exponemos una estrategia que puede utilizar como guía para estos cálculos.

Estrategia de Resolución De Problemas

Relatividad

  1. Haga una lista de los datos dados o que pueden deducirse del problema tal y como está planteado (identifique los datos conocidos). Busque en particular la información sobre la velocidad relativa v.
  2. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identificar las incógnitas).
  3. Asegúrese de comprender los aspectos conceptuales del problema antes de realizar cualquier cálculo (exprese la respuesta en forma de ecuación). Decida, por ejemplo, qué observador ve el tiempo dilatado o la longitud contraída antes de trabajar con las ecuaciones o utilizarlas para realizar el cálculo. Si ha pensado en quién ve qué, quién se mueve con el evento observado, quién ve el tiempo propio, etc., le resultará mucho más fácil determinar si su cálculo es razonable.
  4. Determine el tipo de cálculo principal que debe realizarse para hallar las incógnitas identificadas anteriormente (haga el cálculo). El resumen de la sección le resultará útil para determinar si se trata de una contracción de longitud, de energía cinética relativista o de algún otro concepto.

Tenga en cuenta que no debe redondear durante el cálculo. Como se indica en el texto, a menudo hay que realizar los cálculos con muchos dígitos para ver el efecto deseado. Puede redondear al final de la solución del problema, pero no utilice un número redondeado en un cálculo posterior. Además, compruebe la respuesta para ver si es razonable: ¿Tiene sentido? Esto puede ser más difícil para la relatividad, que tiene pocos ejemplos cotidianos que proporcionen experiencia sobre lo que es razonable. Pero se pueden buscar velocidades mayores que c o efectos relativistas que estén en la dirección equivocada (como una contracción del tiempo donde se esperaba una dilatación).

Ejemplo 5.1

Dilatación del tiempo en un vehículo de alta velocidad

El Vehículo de Tecnología Hipersónica 2 (Hypersonic Technology Vehicle 2, HTV-2) es un vehículo cohete experimental con capacidad para viajar a 21 000 km/h (5830 m/s). Si un reloj electrónico en el HTV-2 mide un intervalo de tiempo de exactamente 1-s de duración, ¿cuál sería la medida de los observadores en la Tierra?

Estrategia

Aplique la fórmula de dilatación del tiempo para relacionar el intervalo de tiempo propio de la señal en el HTV-2 con el intervalo de tiempo medido en tierra.

Solución

  1. Identifique los datos conocidos Δτ=1s;v=5830m/s.Δτ=1s;v=5830m/s.
  2. Identifique las incógnitas: Δt.Δt.
  3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
    Δt=γΔτ=Δτ1v2c2.Δt=γΔτ=Δτ1v2c2.
  4. Haga el cálculo. Utilice la expresión para γγ para determinar ΔtΔt de ΔτΔτ:
    Δt=1s1(5830m/s3,00×108m/s)2=1,000000000189s=1s+1,89×10−10s.Δt=1s1(5830m/s3,00×108m/s)2=1,000000000189s=1s+1,89×10−10s.

Importancia

La altísima velocidad del HTV-2 sigue siendo solo 10-5 veces la velocidad de la luz. Los efectos relativistas para el HTV-2 son insignificantes para casi todos los fines, pero no son cero.

Ejemplo 5.2

¿Qué velocidades son relativistas?

¿A qué velocidad debe viajar un vehículo para que 1 segundo de tiempo medido en el reloj de un pasajero en el vehículo difiera en un 1% para un observador que lo mide en tierra en el exterior?

Estrategia

Utilice la fórmula de dilatación del tiempo para hallar v/c para la relación de tiempos dada.

Solución

  1. Identifique lo conocido:
    ΔτΔt=11,01.ΔτΔt=11,01.
  2. Identifique las incógnitas: v/c.
  3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
    Δt=γΔτ=11v2/c2ΔτΔτΔt=1v2/c2(ΔτΔt)2=1v2c2vc=1(Δτ/Δt)2.Δt=γΔτ=11v2/c2ΔτΔτΔt=1v2/c2(ΔτΔt)2=1v2c2vc=1(Δτ/Δt)2.
  4. Haga el cálculo:
    vc=1(1/1,01)2=0,14.vc=1(1/1,01)2=0,14.

Importancia

El resultado muestra que un objeto debe viajar a una velocidad muy cercana al 10% de la velocidad de la luz para que su movimiento produzca efectos significativos de dilatación temporal relativista.

Ejemplo 5.3

Calcule ΔtΔt para un evento relativista

Supongamos que un rayo cósmico que colisiona con un núcleo en la atmósfera superior de la Tierra produce un muón que tiene la siguiente velocidad v=0,950c.v=0,950c. El muón viaja entonces a velocidad constante y vive 2,20 μs medidos en el marco de referencia del muón. (Puede imaginarse esto como el reloj interno del muón) ¿Cuánto tiempo vive el muón medido por un observador terrestre (Figura 5.5)?
La figura a, titulada “Marco de referencia del muón” muestra un diagrama de un reloj analógico con un intervalo de tiempo sombreado y marcado como delta tau. El reloj está marcado como “Tiempo transcurrido de vida del muón”. Debajo del reloj hay un dibujo de una montaña. Una línea horizontal a la altura de la cima de la montaña está marcada como “Muón creado”. Una línea horizontal en la base de la montaña esta marcada como "Muon decae". Una flecha vertical de doble punta indica la distancia vertical entre estas líneas. La figura b se titula “Marco de referencia de la Tierra”. Muestra un diagrama de un reloj analógico con un intervalo de tiempo sombreado y marcado como delta t. El intervalo sombreado de la figura b es mayor que el de la figura a. El reloj está marcado como “Tiempo transcurrido de vida del muón”. Debajo del reloj hay un dibujo de una montaña más alta que la de la figura a. Una línea horizontal a la altura de la cima de la montaña está marcada como “Muón creado”. Una línea horizontal en la base de la montaña esta marcada como "Muon decae". Una flecha vertical de doble punta indica la distancia vertical entre estas líneas.
Figura 5.5 Un muón en la atmósfera terrestre vive más tiempo, medido por un observador terrestre que por el reloj interno del muón.

Como veremos más adelante, en el marco de referencia del muón, este recorre una distancia más corta que la medida en el marco de referencia de la Tierra.

Estrategia

Un reloj que se mueve con el muón mide el tiempo propio de su proceso de desintegración, por lo que el tiempo que se nos da es Δτ=2,20μs.Δτ=2,20μs. El observador terrestre mide ΔtΔt según la ecuación Δt=γΔτ.Δt=γΔτ. Como la velocidad está dada, podemos calcular el tiempo en el marco de referencia en la Tierra.

Solución

  1. Identifique los datos conocidos v=0,950c,Δτ=2,20μs.v=0,950c,Δτ=2,20μs.
  2. Identifique las incógnitas: Δt.Δt.
  3. Exprese la respuesta en forma de ecuación. Utilice:
    Δt=γΔτΔt=γΔτ
    con
    γ=11v2c2.γ=11v2c2.
  4. Haga el cálculo. Utilice la expresión para γγ para determinar ΔtΔt de ΔτΔτ
    Δt=γΔτ =11v2c2Δτ =2,20μs1(0,950)2 =7,05μs. Δt=γΔτ =11v2c2Δτ =2,20μs1(0,950)2 =7,05μs.
    Recuerde mantener las cifras significativas adicionales hasta la respuesta final.

Importancia

Una de las implicaciones de este ejemplo es que debido a que γ=3,20γ=3,20 al 95,0% de la velocidad de la luz (v=0,950c),(v=0,950c), los efectos relativistas son significativos. Los dos intervalos de tiempo difieren en un factor de 3,20, cuando clásicamente serían iguales. Se dice que algo que se mueve a 0,950c es altamente relativista.

Ejemplo 5.4

Televisión relativista

Un televisor de pantalla que no es plana, de estilo antiguo (Figura 5.6), funciona acelerando los electrones a corta distancia hasta alcanzar una velocidad relativista, y utilizando después campos electromagnéticos para controlar el lugar en el que el haz de electrones incide en una capa fluorescente situada en la parte delantera del tubo. Supongamos que los electrones viajan a 6,00×107m/s6,00×107m/s a través de una distancia de 0,200m0,200m desde el inicio del haz hasta la pantalla. (a) ¿Cuál es el tiempo de viaje de un electrón en el marco de reposo del televisor? (b) ¿Cuál es el tiempo de viaje del electrón en su propio marco de reposo?
Se muestra una ilustración de los detalles del interior de una pantalla de tubo de rayos catódicos. En un extremo del tubo hay un filamento y una nube de electrones que se coliman en un haz horizontal a lo largo del eje del tubo. A continuación, el haz de electrones pasa entre dos placas paralelas verticales y, después, entre dos placas paralelas horizontales. El electrón sale de las placas con una velocidad v hacia la derecha y entra en una región con un campo magnético B que apunta hacia la página, una corriente I en el sentido de las agujas del reloj y una fuerza F hacia abajo. El haz de electrones se dobla hacia abajo en esta región y choca con el frente vertical del tubo por debajo del eje.
Figura 5.6 El haz de electrones de un televisor de tubo de rayos catódicos.

Estrategia para (a)

(a) Calcule el tiempo desde vt=d.vt=d. Aunque la velocidad sea relativista, el cálculo se hace enteramente en un marco de referencia, por lo que la relatividad no interviene.

Solución

  1. Identifique los datos conocidos:
    v=6,00×107m/s;d=0,200m.v=6,00×107m/s;d=0,200m.
  2. Identifique la incógnita: el tiempo de viaje Δt.Δt.
  3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
    Δt=dv.Δt=dv.
  4. Haga el cálculo:
    t=0,200m6,00×107m/s=3,33×10−9s.t=0,200m6,00×107m/s=3,33×10−9s.

Importancia

El tiempo de viaje es extremadamente corto, como se esperaba. Dado que el cálculo se realiza enteramente en un único marco de referencia, la relatividad no interviene, aunque la velocidad del electrón sea cercana a c.

Estrategia para (b)

(b) En el marco de referencia del electrón, el tubo de vacío se mueve y el electrón está inmóvil. El cátodo emisor de electrones deja el electrón y el frente del tubo de vacío golpea el electrón con el electrón en el mismo lugar. Por lo tanto, utilizamos la fórmula de la dilatación del tiempo para relacionar el tiempo propio en el marco de reposo del electrón con el tiempo en el marco de la televisión.

Solución

  1. Identifique los datos conocidos (de la parte a):
    Δt=3,33×10−9s;v=6,00×107m/s;d=0,200m.Δt=3,33×10−9s;v=6,00×107m/s;d=0,200m.
  2. Identifique las incógnitas: τ.τ.
  3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
    Δt=γΔτ=Δτ1v2/c2Δτ=Δt1v2/c2.Δt=γΔτ=Δτ1v2/c2Δτ=Δt1v2/c2.
  4. Haga el cálculo:
    Δτ=(3,33×10−9s)1(6,00×107m/s3,00×108m/s)2=3,26×10−9s.Δτ=(3,33×10−9s)1(6,00×107m/s3,00×108m/s)2=3,26×10−9s.

Importancia

El tiempo de viaje es más corto en el marco de referencia del electrón. Dado que el problema requiere hallar el intervalo medido en diferentes marcos de referencia para el mismo proceso, la relatividad está involucrada. Si hubiéramos intentado calcular el tiempo en el marco de reposo del electrón simplemente dividiendo los 0,200 m entre la velocidad, el resultado sería ligeramente incorrecto debido a la velocidad relativista del electrón.

Compruebe Lo Aprendido 5.2

¿Qué valor tiene γγ si v=0,650c?v=0,650c?

La paradoja de los gemelos

Una consecuencia intrigante de la dilatación del tiempo es que un viajero espacial que se mueva a gran velocidad con respecto a la Tierra envejecería menos que el gemelo terrestre del astronauta. Esto se conoce a menudo como la paradoja de los gemelos. Imagine que el astronauta se mueve a una velocidad tal que γ=30,0,γ=30,0, como en la Figura 5.7. Un viaje que tarda 2,00 años en su marco, tardaría 60,0 años en el marco de la gemela terrestre. Supongamos que el astronauta viaja 1,00 año a otro sistema estelar, explora brevemente la zona y luego viaja 1,00 año de vuelta. Un astronauta que tuviera 40 años al inicio del viaje tendría 42 cuando la nave regrese. Todo en la Tierra, sin embargo, habría envejecido 60,0 años. La gemela terrestre, si aún vive, tendría 100 años.

La situación le parecería diferente al astronauta de la Figura 5.7. Como el movimiento es relativo, la nave espacial parecería estar inmóvil y la Tierra parecería moverse. (Esta es la sensación que se tiene al volar en un avión). Al mirar por la ventana de la nave espacial, la astronauta vería que el tiempo se ralentiza en la Tierra por un factor de γ=30,0.γ=30,0. Visto desde la nave espacial, la hermana terrestre habrá envejecido solo 2/30, o sea 0,07, de un año, mientras que la astronauta habrá envejecido 2,00 años.

Hay dos ilustraciones. La primera ilustración se titula “Al comienzo del viaje, ambas gemelas tienen la misma edad” y muestra a una de las gemelas en la tierra y a la otra en la nave que se aleja de la tierra a velocidad relativista. Las dos gemelas tienen la misma edad y cada una tiene un reloj. Ambos relojes muestran la misma hora. La segunda ilustración se titula “Al final del viaje, la gemela terrestre ha envejecido más que la gemela viajera”. Esta ilustración muestra la llegada de la nave a la Tierra. La gemela de la nave tiene el mismo aspecto que en la primera ilustración y su reloj muestra un tiempo transcurrido corto. La gemela de la tierra es muy anciana y su reloj muestra un largo tiempo transcurrido.
Figura 5.7 La paradoja de los gemelos consiste en las conclusiones contradictorias sobre qué gemelo envejece más como resultado de un largo viaje espacial a velocidad relativista.

La paradoja aquí es que las dos gemelas no pueden ser correctas. Como en todas las paradojas, las conclusiones contradictorias parten de una premisa falsa. De hecho, el movimiento de la astronauta es significativamente diferente al de la gemela terrestre. La astronauta acelera a gran velocidad y luego desacelera para ver el sistema estelar. Para volver a la Tierra, vuelve a acelerar y desacelerar. La nave espacial no se encuentra en un marco inercial único al que se pueda aplicar directamente la fórmula de dilatación del tiempo. Es decir, la gemela astronauta cambia de referencias inerciales. La gemela terrestre no experimenta estas aceleraciones y permanece en el mismo marco inercial. Por lo tanto, la situación no es simétrica, y es incorrecto afirmar que la astronauta observa los mismos efectos que su gemela. La falta de simetría entre los gemelos será aún más evidente cuando analicemos el viaje más adelante en este capítulo en términos de la trayectoria que sigue el astronauta a través del espacio-tiempo cuatridimensional.

En 1971, los físicos estadounidenses Joseph Hafele y Richard Keating verificaron la dilatación del tiempo a bajas velocidades relativas haciendo volar relojes atómicos extremadamente precisos alrededor del mundo en aviones comerciales. Midieron el tiempo transcurrido con una exactitud de unos pocos nanosegundos y lo compararon con el tiempo medido por los relojes dejados atrás. Los resultados de Hafele y Keating estaban dentro de las incertidumbres experimentales de las predicciones de la relatividad. Había que tener en cuenta tanto la relatividad especial como la general, porque la gravedad y las aceleraciones estaban implicadas, así como el movimiento relativo.

Compruebe Lo Aprendido 5.3

a. Una partícula viaja a 1,90×108m/s1,90×108m/s y vive 2,10×10−8s2,10×10−8s cuando está en reposo con respecto a un observador. ¿Cuánto tiempo vive la partícula vista en el laboratorio?

b. Las naves espaciales A y B pasan en direcciones opuestas a una velocidad relativa de 4,00×107m/s.4,00×107m/s. Un reloj interno de la nave espacial A hace que esta emita una señal de radio durante 1,00 s. El computador de la nave B corrige que el principio y el final de la señal han recorrido distancias diferentes, para calcular el intervalo de tiempo durante el cual la nave A estaba emitiendo la señal. ¿Cuál es el tiempo que calcula el computador de la nave espacial B?

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