5.3 Dilatación del tiempo

El análisis de la simultaneidad muestra que los postulados de Einstein implican un efecto importante: Los intervalos de tiempo tienen valores diferentes cuando se miden en diferentes marcos inerciales. Supongamos, por ejemplo, que un astronauta mide el tiempo que tarda un pulso de luz en recorrer una distancia perpendicular a la dirección del movimiento de su nave (en relación con un observador terrestre), rebotar en un espejo y regresar (Figura 5.4). ¿Cómo se compara el tiempo transcurrido que el astronauta mide en la nave espacial con el tiempo transcurrido que un observador terrestre mide observando lo que ocurre en la nave espacial?

El examen de esta pregunta conduce a un resultado profundo. El tiempo transcurrido de un proceso depende del observador que lo mide. En este caso, el tiempo medido por el astronauta (dentro de la nave espacial en la que está en reposo) es menor que el tiempo medido por el observador terrestre (hacia el que se mueve el astronauta). El tiempo transcurrido para el mismo proceso es diferente para los observadores, porque la distancia que recorre el pulso de luz en el marco del astronauta es menor que en el marco terrestre, como se ve en la Figura 5.4. La luz viaja a la misma velocidad en cada marco, por lo que tarda más tiempo en recorrer la mayor distancia en el marco terrestre.

Figura 5.4 (a) Un astronauta mide el tiempo $\text{Δ}\tau$ para que la luz recorra la distancia 2D en el marco del astronauta. (b) Un científico de la NASA en la Tierra ve que la luz sigue el camino más largo 2s y tarda más tiempo $\Delta t.$ (c) Estos triángulos se utilizan para hallar la relación entre las dos distancias D y s.

Para comparar cuantitativamente las mediciones de tiempo en los dos marcos inerciales, podemos relacionar las distancias en la Figura 5.4 entre sí, y luego expresar cada distancia en términos del tiempo de viaje (respectivamente $\text{Δ}t$ o $\text{Δ}\tau$) del pulso en el marco de referencia correspondiente. La ecuación resultante puede resolverse para $\text{Δ}t$ en términos de $\text{Δ}\tau .$

Las longitudes D y L en la Figura 5.4 son los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa s. Del teorema de Pitágoras,

Las longitudes 2s y 2L son, respectivamente, las distancias que el pulso de luz y la nave espacial recorren en el tiempo $\text{Δ}t$ en el marco del observador terrestre. La longitud D es la distancia que recorre el pulso de luz en el tiempo $\text{Δ}\tau$ en el marco del astronauta. Esto nos da tres ecuaciones:

Tenga en cuenta que hemos utilizado el segundo postulado de Einstein tomando la velocidad de la luz como c en ambos marcos inerciales. Sustituimos estos resultados en la expresión anterior del teorema de Pitágoras:

Entonces reordenamos para obtener

Finalmente, al resolver $\text{Δ}t$ en términos de $\text{Δ}\tau$ obtenemos

Esto equivale a

donde $\gamma$ es el factor relativista (a menudo llamado factor de Lorentz) dado por

y v y c son las velocidades del observador en movimiento y de la luz, respectivamente.

Observe la asimetría entre las dos mediciones. Solo una de ellas es una medida del intervalo entre dos eventos, la emisión y la llegada del pulso de luz, en la misma posición. Es una medida del intervalo de tiempo en el marco de reposo de un solo reloj. La medición en el marco terrestre consiste en comparar el intervalo de tiempo entre dos acontecimientos que se producen en lugares diferentes. El intervalo entre eventos que ocurren en un mismo lugar tiene un nombre separado para distinguirlo del tiempo medido por el observador terrestre, y utilizamos el símbolo separado $\text{Δ}\tau$ para referirnos a este a lo largo de este capítulo.

La ecuación que relaciona $\text{Δ}t$ y $\text{Δ}\tau$ es verdaderamente notable. En primer lugar, como ya se ha dicho, el tiempo transcurrido no es el mismo para diferentes observadores que se mueven uno respecto al otro, aunque ambos estén en marcos inerciales. Un intervalo de tiempo propio $\text{Δ}\tau$ para un observador que, como el astronauta, se mueve con el aparato, es menor que el intervalo de tiempo para otros observadores. Es el menor tiempo medido posible entre dos eventos. El observador terrestre ve los intervalos de tiempo dentro del sistema en movimiento como dilatados (es decir, alargados) con respecto a cómo los ve el observador que se mueve con respecto a la Tierra dentro del sistema en movimiento. Alternativamente, según el observador terrestre, menos tiempo pasa entre los eventos dentro del marco móvil. Obsérvese que el menor tiempo transcurrido entre sucesos se da en el marco inercial en el que el observador ve que los sucesos (por ejemplo, la emisión y la llegada de la señal luminosa) ocurren en el mismo punto.

Este efecto del tiempo es real y no está causado por relojes inexactos o mediciones inadecuadas. Las mediciones del intervalo de tiempo del mismo evento difieren para los observadores en movimiento relativo. La dilatación del tiempo es una propiedad intrínseca del propio tiempo. Se observa que todos los relojes que se mueven con respecto a un observador, incluidos los relojes biológicos, como los latidos del corazón de una persona, o el envejecimiento, funcionan más lentamente en comparación con un reloj que está inmóvil con respecto al observador.

Tome en cuenta que si la velocidad relativa es mucho menor que la velocidad de la luz $\left(v\text{<}\text{<}c\right),$ entonces $v^2\text{/}{c}^2$ es extremadamente pequeño, y los tiempos transcurridos $\text{Δ}t$ y $\text{Δ}\tau$ son casi iguales. A bajas velocidades, la física basada en la relatividad moderna se aproxima a la física clásica: las experiencias cotidianas implican efectos relativistas muy pequeños. Sin embargo, para velocidades cercanas a la de la luz, $v^2\text{/}{c}^2$ está cerca de uno, así que $\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}$ es muy pequeño y $\text{Δ}t$ se vuelve significativamente mayor que $\text{Δ}\tau .$

Vida media de un muón

Existe una considerable evidencia experimental de que la ecuación $\text{Δ}t=\gamma \text{Δ}\tau$ es correcta. Encontramos un ejemplo en las partículas de rayos cósmicos que llueven continuamente sobre la Tierra desde el espacio profundo. Algunas colisiones de estas partículas con núcleos de la alta atmósfera dan lugar a partículas de corta duración llamadas muones. La vida media (cantidad de tiempo para que la mitad de un material se desintegre) de un muón es de 1,52 μs cuando está en reposo respecto al observador que mide la vida media. Este es el intervalo de tiempo propio $\text{Δ}\tau .$ Este corto tiempo permite que muy pocos muones lleguen a la superficie de la Tierra y sean detectados si las suposiciones de Newton sobre el tiempo y el espacio fueran correctas. Sin embargo, los muones producidos por las partículas de los rayos cósmicos tienen un rango de velocidades, con algunos que se mueven cerca de la velocidad de la luz. Se ha comprobado que la vida media del muón, medida por un observador terrestre ($\text{Δ}t$) varía con la velocidad exactamente como lo predice la ecuación $\text{Δ}t=\gamma \text{Δ}\tau .$ Cuanto más rápido se mueve el muón, más tiempo vive. En la Tierra vemos que el muón dura mucho más de lo que predice su vida media dentro de su propio marco de reposo. Visto desde nuestro marco, el muón se desintegra más lentamente que cuando está en reposo respecto a nosotros. Por ello, una fracción mucho mayor de muones llega al suelo.

Antes de presentar el primer ejemplo de resolución de un problema de relatividad, exponemos una estrategia que puede utilizar como guía para estos cálculos.

Estrategia de Resolución De Problemas

Relatividad

1. Haga una lista de los datos dados o que pueden deducirse del problema tal y como está planteado (identifique los datos conocidos). Busque en particular la información sobre la velocidad relativa v.
2. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identificar las incógnitas).
3. Asegúrese de comprender los aspectos conceptuales del problema antes de realizar cualquier cálculo (exprese la respuesta en forma de ecuación). Decida, por ejemplo, qué observador ve el tiempo dilatado o la longitud contraída antes de trabajar con las ecuaciones o utilizarlas para realizar el cálculo. Si ha pensado en quién ve qué, quién se mueve con el evento observado, quién ve el tiempo propio, etc., le resultará mucho más fácil determinar si su cálculo es razonable.
4. Determine el tipo de cálculo principal que debe realizarse para hallar las incógnitas identificadas anteriormente (haga el cálculo). El resumen de la sección le resultará útil para determinar si se trata de una contracción de longitud, de energía cinética relativista o de algún otro concepto.

Tenga en cuenta que no debe redondear durante el cálculo. Como se indica en el texto, a menudo hay que realizar los cálculos con muchos dígitos para ver el efecto deseado. Puede redondear al final de la solución del problema, pero no utilice un número redondeado en un cálculo posterior. Además, compruebe la respuesta para ver si es razonable: ¿Tiene sentido? Esto puede ser más difícil para la relatividad, que tiene pocos ejemplos cotidianos que proporcionen experiencia sobre lo que es razonable. Pero se pueden buscar velocidades mayores que c o efectos relativistas que estén en la dirección equivocada (como una contracción del tiempo donde se esperaba una dilatación).

Ejemplo 5.1

Dilatación del tiempo en un vehículo de alta velocidad

El Vehículo de Tecnología Hipersónica 2 (Hypersonic Technology Vehicle 2, HTV-2) es un vehículo cohete experimental con capacidad para viajar a 21 000 km/h (5830 m/s). Si un reloj electrónico en el HTV-2 mide un intervalo de tiempo de exactamente 1-s de duración, ¿cuál sería la medida de los observadores en la Tierra?

Estrategia

Aplique la fórmula de dilatación del tiempo para relacionar el intervalo de tiempo propio de la señal en el HTV-2 con el intervalo de tiempo medido en tierra.

Solución

1. Identifique los datos conocidos $\text{Δ}\tau =1\text{s;}v=5830\text{m/s.}$
2. Identifique las incógnitas: $\text{Δ}t.$
3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
   $$\text{Δ}t=\gamma \text{Δ}\tau =\frac{\text{Δ}\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$
4. Haga el cálculo. Utilice la expresión para $\gamma$ para determinar $\text{Δ}t$ de $\text{Δ}\tau$:
   $$\begin{array}{cc}\hfill \text{Δ}t& =\frac{1\text{s}}{\sqrt{1-{\left(\frac{5830\text{m/s}}{\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s}}\right)}^2}}\hfill \\ & =\mathrm{1,000000000189}\text{s}\hfill \\ & =1\text{s}+\mathrm{1,89}\times {10}^{\mathrm{-10}}\text{s.}\hfill \end{array}$$

Importancia

La altísima velocidad del HTV-2 sigue siendo solo 10^-5 veces la velocidad de la luz. Los efectos relativistas para el HTV-2 son insignificantes para casi todos los fines, pero no son cero.

Ejemplo 5.2

¿Qué velocidades son relativistas?

¿A qué velocidad debe viajar un vehículo para que 1 segundo de tiempo medido en el reloj de un pasajero en el vehículo difiera en un 1% para un observador que lo mide en tierra en el exterior?

Estrategia

Utilice la fórmula de dilatación del tiempo para hallar v/c para la relación de tiempos dada.

Solución

1. Identifique lo conocido:
   $$\frac{\text{Δ}\tau }{\text{Δ}t}=\frac{1}{\mathrm{1,01}}.$$
2. Identifique las incógnitas: v/c.
3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \text{Δ}t& =\hfill & \gamma \text{Δ}\tau =\frac{1}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}\text{Δ}\tau \hfill \\ \hfill \frac{\text{Δ}\tau }{\text{Δ}t}& =\hfill & \sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}\hfill \\ \hfill {\left(\frac{\text{Δ}\tau }{\text{Δ}t}\right)}^2& =\hfill & 1-\frac{v^2}{c^2}\hfill \\ \hfill \frac{v}{c}& =\hfill & \sqrt{1-{(\text{Δ}\tau \text{/}\text{Δ}t)}^2}.\hfill \end{array}$$
4. Haga el cálculo:
   $$\begin{array}{cc}\hfill \frac{v}{c}& =\sqrt{1-{(1\text{/}\mathrm{1,01})}^2}\hfill \\ & =\mathrm{0,14}.\hfill \end{array}$$

Importancia

El resultado muestra que un objeto debe viajar a una velocidad muy cercana al 10% de la velocidad de la luz para que su movimiento produzca efectos significativos de dilatación temporal relativista.

Ejemplo 5.3

Calcule $\text{Δ}t$ para un evento relativista

Supongamos que un rayo cósmico que colisiona con un núcleo en la atmósfera superior de la Tierra produce un muón que tiene la siguiente velocidad $v=\mathrm{0,950}c.$ El muón viaja entonces a velocidad constante y vive 2,20 μs medidos en el marco de referencia del muón. (Puede imaginarse esto como el reloj interno del muón) ¿Cuánto tiempo vive el muón medido por un observador terrestre (Figura 5.5)?

Figura 5.5 Un muón en la atmósfera terrestre vive más tiempo, medido por un observador terrestre que por el reloj interno del muón.

Como veremos más adelante, en el marco de referencia del muón, este recorre una distancia más corta que la medida en el marco de referencia de la Tierra.

Estrategia

Un reloj que se mueve con el muón mide el tiempo propio de su proceso de desintegración, por lo que el tiempo que se nos da es $\text{Δ}\tau =\mathrm{2,20}\mu \text{s}.$ El observador terrestre mide $\text{Δ}t$ según la ecuación $\text{Δ}t=\gamma \text{Δ}\tau .$ Como la velocidad está dada, podemos calcular el tiempo en el marco de referencia en la Tierra.

Solución

1. Identifique los datos conocidos $v=\mathrm{0,950}c,\text{Δ}\tau =\mathrm{2,20}\mu \text{s.}$
2. Identifique las incógnitas: $\text{Δ}t.$
3. Exprese la respuesta en forma de ecuación. Utilice:
   $$\text{Δ}t=\gamma \text{Δ}\tau$$
   con
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$
4. Haga el cálculo. Utilice la expresión para $\gamma$ para determinar $\text{Δ}t$ de $\text{Δ}\tau$
   $$\begin{array}{cc}\hfill \text{Δ}t& =\gamma \text{Δ}\tau \hfill \\ & =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\text{Δ}\tau \hfill \\ & =\frac{\mathrm{2,20}\mu \text{s}}{\sqrt{1-{(\mathrm{0,950})}^2}}\hfill \\ & =\mathrm{7,05}\mu \text{s.}\hfill \end{array}$$
   Recuerde mantener las cifras significativas adicionales hasta la respuesta final.

Importancia

Una de las implicaciones de este ejemplo es que debido a que $\gamma =\mathrm{3,20}$ al 95,0% de la velocidad de la luz $\left(v=\mathrm{0,950}c\right),$ los efectos relativistas son significativos. Los dos intervalos de tiempo difieren en un factor de 3,20, cuando clásicamente serían iguales. Se dice que algo que se mueve a 0,950c es altamente relativista.

Ejemplo 5.4

Televisión relativista

Un televisor de pantalla que no es plana, de estilo antiguo (Figura 5.6), funciona acelerando los electrones a corta distancia hasta alcanzar una velocidad relativista, y utilizando después campos electromagnéticos para controlar el lugar en el que el haz de electrones incide en una capa fluorescente situada en la parte delantera del tubo. Supongamos que los electrones viajan a $\mathrm{6,00}\times {10}^7\text{m/s}$ a través de una distancia de $\mathrm{0,200}\text{m}$ desde el inicio del haz hasta la pantalla. (a) ¿Cuál es el tiempo de viaje de un electrón en el marco de reposo del televisor? (b) ¿Cuál es el tiempo de viaje del electrón en su propio marco de reposo?

Figura 5.6 El haz de electrones de un televisor de tubo de rayos catódicos.

Estrategia para (a)

(a) Calcule el tiempo desde $vt=d.$ Aunque la velocidad sea relativista, el cálculo se hace enteramente en un marco de referencia, por lo que la relatividad no interviene.

Solución

1. Identifique los datos conocidos:
   $$v=\mathrm{6,00}\times {10}^7\text{m/s;}d=\mathrm{0,200}\text{m}.$$
2. Identifique la incógnita: el tiempo de viaje $\text{Δ}t.$
3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
   $$\text{Δ}t=\frac{d}{v}.$$
4. Haga el cálculo:
   $$\begin{array}{cc}\hfill t& =\frac{\mathrm{0,200}\text{m}}{\mathrm{6,00}\times {10}^7\text{m/s}}\hfill \\ & =\mathrm{3,33}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{s.}\hfill \end{array}$$

Importancia

El tiempo de viaje es extremadamente corto, como se esperaba. Dado que el cálculo se realiza enteramente en un único marco de referencia, la relatividad no interviene, aunque la velocidad del electrón sea cercana a c.

Estrategia para (b)

(b) En el marco de referencia del electrón, el tubo de vacío se mueve y el electrón está inmóvil. El cátodo emisor de electrones deja el electrón y el frente del tubo de vacío golpea el electrón con el electrón en el mismo lugar. Por lo tanto, utilizamos la fórmula de la dilatación del tiempo para relacionar el tiempo propio en el marco de reposo del electrón con el tiempo en el marco de la televisión.

Solución

1. Identifique los datos conocidos (de la parte a):
   $$\text{Δ}t=\mathrm{3,33}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{s;}v=\mathrm{6,00}\times {10}^7\text{m/s;}d=\mathrm{0,200}\text{m.}$$
2. Identifique las incógnitas: $\tau .$
3. Exprese la respuesta en forma de ecuación:
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \text{Δ}t& =\hfill & \gamma \text{Δ}\tau =\frac{\text{Δ}\tau }{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}\hfill \\ \hfill \text{Δ}\tau & =\hfill & \text{Δ}t\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}.\hfill \end{array}$$
4. Haga el cálculo:
   $$\begin{array}{cc}\hfill \text{Δ}\tau & =\left(\mathrm{3,33}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{s}\right)\sqrt{1-{\left(\frac{\mathrm{6,00}\times {10}^7\text{m/s}}{\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s}}\right)}^2}\hfill \\ & =\mathrm{3,26}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{s.}\hfill \end{array}$$

Importancia

El tiempo de viaje es más corto en el marco de referencia del electrón. Dado que el problema requiere hallar el intervalo medido en diferentes marcos de referencia para el mismo proceso, la relatividad está involucrada. Si hubiéramos intentado calcular el tiempo en el marco de reposo del electrón simplemente dividiendo los 0,200 m entre la velocidad, el resultado sería ligeramente incorrecto debido a la velocidad relativista del electrón.

Compruebe Lo Aprendido 5.2

¿Qué valor tiene $\gamma$ si $v=\mathrm{0,650}c?$

La paradoja de los gemelos

Una consecuencia intrigante de la dilatación del tiempo es que un viajero espacial que se mueva a gran velocidad con respecto a la Tierra envejecería menos que el gemelo terrestre del astronauta. Esto se conoce a menudo como la paradoja de los gemelos. Imagine que el astronauta se mueve a una velocidad tal que $\gamma =\mathrm{30,0},$ como en la Figura 5.7. Un viaje que tarda 2,00 años en su marco, tardaría 60,0 años en el marco de la gemela terrestre. Supongamos que el astronauta viaja 1,00 año a otro sistema estelar, explora brevemente la zona y luego viaja 1,00 año de vuelta. Un astronauta que tuviera 40 años al inicio del viaje tendría 42 cuando la nave regrese. Todo en la Tierra, sin embargo, habría envejecido 60,0 años. La gemela terrestre, si aún vive, tendría 100 años.

La situación le parecería diferente al astronauta de la Figura 5.7. Como el movimiento es relativo, la nave espacial parecería estar inmóvil y la Tierra parecería moverse. (Esta es la sensación que se tiene al volar en un avión). Al mirar por la ventana de la nave espacial, la astronauta vería que el tiempo se ralentiza en la Tierra por un factor de $\gamma =\mathrm{30,0}.$ Visto desde la nave espacial, la hermana terrestre habrá envejecido solo 2/30, o sea 0,07, de un año, mientras que la astronauta habrá envejecido 2,00 años.

Figura 5.7 La paradoja de los gemelos consiste en las conclusiones contradictorias sobre qué gemelo envejece más como resultado de un largo viaje espacial a velocidad relativista.

La paradoja aquí es que las dos gemelas no pueden ser correctas. Como en todas las paradojas, las conclusiones contradictorias parten de una premisa falsa. De hecho, el movimiento de la astronauta es significativamente diferente al de la gemela terrestre. La astronauta acelera a gran velocidad y luego desacelera para ver el sistema estelar. Para volver a la Tierra, vuelve a acelerar y desacelerar. La nave espacial no se encuentra en un marco inercial único al que se pueda aplicar directamente la fórmula de dilatación del tiempo. Es decir, la gemela astronauta cambia de referencias inerciales. La gemela terrestre no experimenta estas aceleraciones y permanece en el mismo marco inercial. Por lo tanto, la situación no es simétrica, y es incorrecto afirmar que la astronauta observa los mismos efectos que su gemela. La falta de simetría entre los gemelos será aún más evidente cuando analicemos el viaje más adelante en este capítulo en términos de la trayectoria que sigue el astronauta a través del espacio-tiempo cuatridimensional.

En 1971, los físicos estadounidenses Joseph Hafele y Richard Keating verificaron la dilatación del tiempo a bajas velocidades relativas haciendo volar relojes atómicos extremadamente precisos alrededor del mundo en aviones comerciales. Midieron el tiempo transcurrido con una exactitud de unos pocos nanosegundos y lo compararon con el tiempo medido por los relojes dejados atrás. Los resultados de Hafele y Keating estaban dentro de las incertidumbres experimentales de las predicciones de la relatividad. Había que tener en cuenta tanto la relatividad especial como la general, porque la gravedad y las aceleraciones estaban implicadas, así como el movimiento relativo.

Compruebe Lo Aprendido 5.3

a. Una partícula viaja a $\mathrm{1,90}\times {10}^8\text{m/s}$ y vive $\mathrm{2,10}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{s}$ cuando está en reposo con respecto a un observador. ¿Cuánto tiempo vive la partícula vista en el laboratorio?

b. Las naves espaciales A y B pasan en direcciones opuestas a una velocidad relativa de $\mathrm{4,00}\times {10}^7\text{m/s}.$ Un reloj interno de la nave espacial A hace que esta emita una señal de radio durante 1,00 s. El computador de la nave B corrige que el principio y el final de la señal han recorrido distancias diferentes, para calcular el intervalo de tiempo durante el cual la nave A estaba emitiendo la señal. ¿Cuál es el tiempo que calcula el computador de la nave espacial B?