William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

Describir cómo plantear un problema de condición de frontera para la ecuación estacionaria de Schrӧdinger.
Explicar por qué la energía de una partícula cuántica en una caja está cuantizada.
Describir el significado físico de las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrӧdinger y la conexión de estas soluciones con los estados cuánticos dependientes del tiempo.
Explicar el significado físico del principio de correspondencia de Bohr.

En esta sección, aplicaremos la ecuación de Schrӧdinger a una partícula limitada a una caja unidimensional. Este caso especial proporciona lecciones para entender la mecánica cuántica en sistemas más complejos. La energía de la partícula se cuantiza como consecuencia de una condición de onda estacionaria dentro de la caja.

Consideremos una partícula de masa $m$ que solo puede moverse en la dirección de la x y su movimiento se limita a la región entre las paredes duras y rígidas situadas en $x = 0$ y en $x = L$ (Figura 7.10). Entre las paredes, la partícula se mueve libremente. Esta situación física se denomina pozo potencial infinito, descrito por la función de energía potencial

U (x) = {\begin{matrix} 0, & 0 \leq x \leq L, \\ \infty, & por lo contrario . \end{matrix}

7.31

Combinando esta ecuación con la ecuación de onda independiente del tiempo de Schrӧdinger se obtiene

\frac{− ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} = E ψ (x), para 0 \leq x \leq L

7.32

donde E es la energía total de la partícula. ¿Qué tipo de soluciones esperamos? La energía de la partícula es un número positivo, por lo que si el valor de la función de onda es positivo (lado derecho de la ecuación) entonces la curvatura de la función de onda es negativa, o cóncava hacia abajo (lado izquierdo de la ecuación). Del mismo modo, si el valor de la función de onda es negativo (lado derecho de la ecuación), la curvatura de la función de onda es positiva o cóncava hacia arriba (lado izquierdo de la ecuación). Esta condición se cumple con una función de onda oscilante, como una onda sinusoidal o cosenoidal. Dado que estas ondas están confinadas en la caja, imaginamos ondas estacionarias con puntos finales fijos en $x = 0$ y $x = L$ .

El potencial U se representa en función de x. U es igual a infinito en x igual o menor que cero, y en x igual o mayor que L. U es igual a cero entre x = 0 y x = L.

Figura 7.10 La función de energía potencial que confina la partícula en una caja unidimensional.

Las soluciones $ψ (x)$ a esta ecuación tienen una interpretación probabilística. En particular, el cuadrado $| ψ (x) |^{2}$ representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en un lugar determinado de la x. Esta función debe integrarse para determinar la probabilidad de encontrar la partícula en algún intervalo del espacio. Por lo tanto, buscamos una solución normalizable que satisfaga la siguiente condición de normalización:

\int_{0}^{L} d x | ψ (x) |^{2} = 1 .

7.33

Las paredes son rígidas e impenetrables, lo que significa que la partícula nunca las traspasa. Matemáticamente, esto significa que la solución debe desaparecer en las paredes:

ψ (0) = ψ (L) = 0 .

7.34

Esperamos soluciones oscilatorias, por lo que la solución más general de esta ecuación es

ψ_{k} (x) = A_{k} cos k x + B_{k} sen k x

7.35

donde k es el número de onda, y $A_{k}$ y $B_{k}$ son constantes. Aplicando la condición de límite expresada por la Ecuación 7.34 se obtiene

ψ_{k} (0) = A_{k} cos (k \cdot 0) + B_{k} sen (k \cdot 0) = A_{k} = 0 .

7.36

Porque tenemos $A_{k} = 0$ , la solución debe ser

ψ_{k} (x) = B_{k} sen k x .

7.37

Si $B_{k}$ es cero, $ψ_{k} (x) = 0$ para todos los valores de la x y la condición de normalización, la Ecuación 7.33, no puede satisfacerse. Suponiendo que $B_{k} \neq 0$ , Ecuación 7.34 para $x = L$ entonces da

0 = B_{k} sen (k L) \Rightarrow sen (k L) = 0 \Rightarrow k L = n π, n = 1, 2, 3,...

7.38

Descartamos la solución $n = 0$ porque $ψ (x)$ en este número cuántico sería cero en todas partes, una solución no normalizable y, por lo tanto, no física. Sustituyendo en la Ecuación 7.37 la Ecuación 7.32 se obtiene

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} (B_{k} sen (k x)) = E (B_{k} sen (k x)) .

7.39

El cálculo de estas derivadas conduce a

E = E_{k} = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 m} .

7.40

Según De Broglie, $p = ℏ k,$ por lo que esta expresión implica que la energía total es igual a la energía cinética, lo que coincide con nuestra suposición de que la "partícula se mueve libremente". Combinando los resultados de la Ecuación 7.38 y la Ecuación 7.40 se obtiene

E_{n} = n^{2} \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}, n = 1, 2, 3, . . .

7.41

¡Extraño! Una partícula limitada a una caja unidimensional solo puede tener ciertos valores discretos (cuantizados) de energía. Además, la partícula no puede tener una energía cinética cero: es imposible que una partícula ligada a una caja esté "en reposo".

Para evaluar las funciones de onda permitidas que corresponden a estas energías, debemos encontrar la constante de normalización $B_{n}$ . Imponemos la condición de normalización de la Ecuación 7.33 a la función de onda

ψ_{n} (x) = B_{n} sen n π x / L

7.42

1 = \int_{0}^{L} d x | ψ_{n} (x) |^{2} = \int_{0}^{L} d x B_{n}^{2} {sen}^{2} \frac{n π}{L} x = B_{n}^{2} \int_{0}^{L} d x {sen}^{2} \frac{n π}{L} x = B_{n}^{2} \frac{L}{2} \Rightarrow B_{n} = \sqrt{\frac{2}{L}} .

Por lo tanto, las funciones de onda que corresponden a los valores de energía dados en la Ecuación 7.41 son

ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sen \frac{n π x}{L}, n = 1, 2, 3, . . .

7.43

Para el estado de menor energía o energía del estado fundamental, tenemos

E_{1} = \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}, ψ_{1} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sen (\frac{π x}{L}) .

7.44

Todos los demás estados energéticos pueden expresarse como

E_{n} = n^{2} E_{1}, ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sen (\frac{n π x}{L}) .

7.45

El índice n se llama número cuántico de energía o número cuántico principal. El estado para $n = 2$ es el primer estado excitado, el estado para $n = 3$ es el segundo estado excitado, y así sucesivamente. Los tres primeros estados cuánticos (para $n = 1, 2, y 3)$ de una partícula en una caja se muestra en la Figura 7.11.

Las funciones de onda en la Ecuación 7.45 se denominan a veces "estados de energía definida". Se dice que las partículas en estos estados ocupan niveles de energía representados por las líneas horizontales en la Figura 7.11. Los niveles de energía son análogos a los peldaños de una escalera que la partícula puede "subir" a medida que gana o pierde energía.

Las funciones de onda en la Ecuación 7.45 también se denominan estados estacionarios y estados de onda estacionaria. Estas funciones son "estacionarias", porque sus funciones de densidad de probabilidad, ${| Ψ (x, t) |}^{2}$ , no varían en el tiempo, y "ondas estacionarias" porque sus partes reales e imaginarias oscilan hacia arriba y hacia abajo como una onda estacionaria, como una cuerda que se agita entre dos niños en un parque infantil. Los estados estacionarios son estados de energía definida [Ecuación 7.45], pero las combinaciones lineales de estos estados, como $ψ (x) = a ψ_{1} + b ψ_{2}$ (también soluciones de la ecuación de Schrӧdinger) son estados de energía mixta.

Se muestran los tres primeros estados cuánticos de una partícula cuántica en una caja para los números cuánticos principales n=1, n=2 y n=3: La figura (a) muestra los gráficos de las soluciones de ondas estacionarias. El eje vertical es la función de onda, con un origen distinto para cada estado que se alinea con la escala de energía de la figura (b). El eje horizontal es la x desde justo por debajo de 0 hasta justo después de L. La figura (b) muestra la energía de cada uno de los estados en el eje vertical E sub n. Todas las funciones de onda son cero para la x menor que 0 y para la x mayor que L. La función n=1 es la primera media onda de la función senoidal de longitud de onda 2 L y su energía es pi al cuadrado por h al cuadrado dividida por la cantidad 2 m L al cuadrado. La función n=2 es la primera onda completa de la función sinusoidal de longitud de onda 2 L y su energía es 4 pi al cuadrado por h al cuadrado dividida por la cantidad 2 m L al cuadrado. La función n=3 es la primera onda y media de la función senoidal de longitud de onda 2 L y su energía es 9 pi al cuadrado por h al cuadrado dividida por la cantidad 2 m L al cuadrado.

Figura 7.11 Los tres primeros estados cuánticos de una partícula cuántica en una caja para números cuánticos principales

n = 1, 2, y 3

: (a) soluciones de onda estacionaria y (b) estados de energía permitidos.

La cuantización de la energía es una consecuencia de las condiciones de frontera. Si la partícula no está confinada en una caja sino que deambula libremente, las energías permitidas son continuas. Sin embargo, en este caso, solo ciertas energías $(E_{1}, 4 E_{1}, 9 E_{1},$ ...) están permitidas. La diferencia de energía entre niveles de energía adyacentes viene dada por

Δ E_{n + 1, n} = E_{n + 1} - E_{n} = {(n + 1)}^{2} E_{1} - n^{2} E_{1} = (2 n + 1) E_{1} .

7.46

La conservación de la energía exige que si la energía del sistema cambia, la diferencia de energía se transmita en alguna otra forma de energía. Para el caso especial de una partícula cargada confinada en un pequeño volumen (por ejemplo, en un átomo), los cambios de energía suelen ser arrastrados por los fotones. Las frecuencias de los fotones emitidos nos dan información sobre las diferencias de energía (separaciones) del sistema y el volumen de contención (el tamaño de la "caja") [vea la Ecuación 7.44].

Ejemplo 7.8

Un modelo sencillo del núcleo

Supongamos que un protón está confinado en una caja de

L = 1,00 \times 10^{−14} m

de ancho (un radio nuclear típico). ¿Cuáles son las energías de los estados fundamentales y de los primeros estados excitados? Si el protón realiza una transición desde el primer estado excitado al estado fundamental, ¿cuáles son la energía y la frecuencia del fotón emitido?

Estrategia

Si asumimos que el protón confinado en el núcleo puede ser modelado como una partícula cuántica en una caja, todo lo que necesitamos hacer es utilizar la Ecuación 7.41 para encontrar sus energías

E_{1}

y

E_{2}

. La masa de un protón es

m = 1,76 \times 10^{−27} kg.

El fotón emitido se lleva la diferencia de energía

Δ E = E_{2} - E_{1} .

Podemos utilizar la relación

E_{f} = h f

para encontrar su frecuencia f.

Solución

El estado fundamental:

E_{1} = \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}} = \frac{π^{2} {(1,05 \times 10^{−34} J \cdot s)}^{2}}{2 (1,67 \times 10^{−27} kg) {(1,00 \times 10^{−14} m)}^{2}} = 3,28 \times 10^{−13} J = 2,05 MeV .

El primer estado excitado: $E_{2} = 2^{2} E_{1} = 4 (2,05 MeV) = 8,20 MeV$ .

La energía del fotón emitido es $E_{f} = Δ E = E_{2} - E_{1} = 8,20 MeV - 2,05 MeV = 6,15 MeV$ .

La frecuencia del fotón emitido es

f = \frac{E_{f}}{h} = \frac{6,15 MeV}{4,14 \times 10^{−21} MeV \cdot s} = 1,49 \times 10^{21} Hz .

Importancia

Es la frecuencia típica de un rayo gama emitido por un núcleo. La energía de este fotón es unos 10 millones de veces mayor que la de un fotón de luz visible.

El valor esperado de la posición de una partícula en una caja viene dado por

〈 x 〉 = \int_{0}^{L} d x ψ_{n}^{*} (x) x ψ_{n} (x) = \int_{0}^{L} d x x | ψ_{n}^{*} (x) |^{2} = \int_{0}^{L} d x x \frac{2}{L} {sen}^{2} \frac{n π x}{L} = \frac{L}{2} .

7.47

También podemos encontrar el valor esperado del momento o del momento medio de un gran número de partículas en un estado determinado:

\begin{matrix} 〈 p 〉 & = \int_{0}^{L} d x ψ_{n}^{*} (x) [− i ℏ \frac{d}{d x} ψ_{n} (x)] \\ = − i ℏ \int_{0}^{L} d x \sqrt{\frac{2}{L}} sen \frac{n π x}{L} [\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{2}{L}} sen \frac{n π x}{L}] = − i \frac{2 ℏ}{L} \int_{0}^{L} d x sen \frac{n π x}{L} [\frac{n π}{L} cos \frac{n π x}{L}] \\ = − i \frac{2 n π ℏ}{L^{2}} \int_{0}^{L} d x \frac{1}{2} sen \frac{2 n π x}{L} = − i \frac{n π ℏ}{L^{2}} \frac{L}{2 n π} \int_{0}^{2 π n} d φ sen φ = − i \frac{ℏ}{2 L} \cdot 0 = 0. \end{matrix}

7.48

Por lo tanto, para una partícula en un estado de energía definida, la posición media está en el centro de la caja y el momento medio de la partícula es cero, como lo sería también para una partícula clásica. Observe que mientras la energía mínima de una partícula clásica puede ser cero (la partícula puede estar en reposo en el centro de la caja), la energía mínima de una partícula cuántica es distinta de cero y viene dada por la Ecuación 7.44. La energía media de las partículas en el enésimo estado cuántico (su valor esperado de energía) es

E_{n} = 〈 E 〉 = n^{2} \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m} .

7.49

El resultado no es sorprendente porque el estado de onda estacionaria es un estado de energía definida. Cualquier medición de energía de este sistema debe devolver un valor igual a una de estas energías permitidas.

Nuestro análisis de la partícula cuántica en una caja no estaría completo sin hablar del principio de correspondencia de Bohr. Este principio establece que, para números cuánticos grandes, las leyes de la física cuántica deben dar resultados idénticos a los de la física clásica. Para ilustrar cómo funciona este principio para una partícula cuántica en una caja, graficamos la distribución de densidad de probabilidad

| ψ_{n} (x) |^{2} = \frac{2}{L} {sen}^{2} (n π x / L)

7.50

para encontrar la partícula alrededor de la ubicación de la x entre las paredes cuando la partícula está en estado cuántico $ψ_{n}$ . La Figura 7.12 muestra estas distribuciones de probabilidad para el estado fundamental, para el primer estado excitado y para un estado altamente excitado que corresponde a un gran número cuántico. En estos gráficos vemos que cuando una partícula cuántica se encuentra en el estado fundamental, lo más probable es que se encuentre alrededor del centro de la caja, donde la distribución de probabilidad tiene el mayor valor. Esto no es así cuando la partícula está en el primer estado excitado porque ahora la distribución de probabilidad tiene el valor cero en el centro de la caja, por lo que no hay posibilidad de encontrar la partícula allí. Cuando una partícula cuántica se encuentra en el primer estado excitado, la distribución de probabilidad tiene dos máximos, y la mejor oportunidad de encontrar la partícula es en posiciones cercanas a las ubicaciones de estos máximos. Esta escena cuántica es diferente a la clásica.

Las distribuciones de probabilidad de amplitud Psi al cuadrado para el estado n=1, para el estado n=2 y para el n=20 se grafican como funciones de la x desde x=0 hasta x=L. Psi sub 1 al cuadrado es máxima en el centro de la caja, disminuye a ambos lados y va a cero en los extremos. Psi sub 2 al cuadrado tiene valor cero en el centro de la caja y en los extremos, y tiene dos máximos de igual valor. Psi sub 20 al cuadrado tiene veinte máximos, todos del mismo tamaño, y va a cero entre ellos y en los extremos.

Figura 7.12 La distribución de la densidad de probabilidad

| ψ_{n} (x) |^{2}

para una partícula cuántica en una caja para: (a) el estado fundamental,

n = 1

; (b) el primer estado excitado,

n = 2

; y, (c) el decimonoveno estado excitado,

n = 20

.

La densidad de probabilidad de encontrar una partícula clásica entre x y $x + Δ x$ depende de cuánto tiempo $Δ t$ la partícula pasa en esta región. Suponiendo que su velocidad u es constante, este tiempo es $Δ t = Δ x / u,$ que también es constante para cualquier lugar entre las paredes. Por lo tanto, la densidad de probabilidad de encontrar la partícula clásica en x es uniforme en toda la caja, y no hay ninguna ubicación preferible para encontrar una partícula clásica. Esta imagen clásica se iguala en el límite de los grandes números cuánticos. Por ejemplo, cuando una partícula cuántica está en un estado altamente excitado, mostrado en la Figura 7.12, la densidad de probabilidad se caracteriza por rápidas fluctuaciones y entonces la probabilidad de encontrar la partícula cuántica en el intervalo $Δ x$ no depende de la ubicación de este intervalo entre las paredes.

Ejemplo 7.9

Una partícula clásica en una caja

Un pequeño carro de 0,40 kg se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una pista de aire entre dos parachoques situados a 2,0 m de distancia. Suponemos que no hay fricción; las colisiones con los parachoques son perfectamente elásticas, de modo que entre estos el auto mantiene una velocidad constante de 0,50 m/s. Considerando el carro como una partícula cuántica, estime el valor del número cuántico principal que corresponde a su energía clásica.

Estrategia

Encontramos la energía cinética K del carro y su energía del estado fundamental

E_{1}

como si fuera una partícula cuántica. La energía del carro es completamente cinética, por lo que

K = n^{2} E_{1}

(Ecuación 7.45). Al resolver para n se obtiene

n = {(K / E_{1})}^{1 / 2}

.

Solución

La energía cinética del carro es

K = \frac{1}{2} m u^{2} = \frac{1}{2} (0,40 kg) {(0,50 m/s)}^{2} = 0,050 J .

El estado fundamental del carro, tratado como una partícula cuántica, es

E_{1} = \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}} = \frac{π^{2} {(1,05 \times 10^{−34} J \cdot s)}^{2}}{2 (0,40 kg) {(2,0 m)}^{2}} = 1,700 \times 10^{−68} J .

Por lo tanto, $n = {(K / E_{1})}^{1 / 2} = {(0,050 / 1,700 \times 10^{−68})}^{1 / 2} = 1,2 \times 10^{33}$ .

Importancia

En este ejemplo vemos que la energía de un sistema clásico se caracteriza por un número cuántico muy grande. El principio de correspondencia de Bohr se refiere a este tipo de situaciones. Podemos aplicar el formalismo de la mecánica cuántica a cualquier tipo de sistema, cuántico o clásico, y los resultados son correctos en todos los casos. En el límite de números cuánticos altos, no hay ninguna ventaja en utilizar el formalismo cuántico porque podemos obtener los mismos resultados con el formalismo menos complicado de la mecánica clásica. Sin embargo, no podemos aplicar el formalismo clásico a un sistema cuántico en un estado energético de bajo número.

Compruebe Lo Aprendido 7.7

(a) Considere un pozo potencial infinito con una pared de límites $x = 0$ y $x = L$ . ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una partícula cuántica en su estado fundamental en algún lugar entre $x = 0$ y $x = L / 4$ ? (b) Repita la pregunta (a) para una partícula clásica.

Una vez encontrados los estados estacionarios $ψ_{n} (x)$ y las energías $E_{n}$ resolviendo la ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo: Ecuación 7.32, utilizamos la Ecuación 7.28 para escribir funciones de onda $Ψ_{n} (x, t)$ que son soluciones de la ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo dada por la Ecuación 7.23. Para una partícula en una caja esto da

Ψ_{n} (x, t) = e^{− i ω_{n} t} ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} e^{− i E_{n} t / ℏ} sen \frac{n π x}{L}, n = 1, 2, 3, . . .

7.51

donde las energías vienen dadas por la Ecuación 7.41.

El modelo de la partícula cuántica en una caja tiene aplicaciones prácticas en un campo relativamente nuevo, la optoelectrónica, que se ocupa de los dispositivos que convierten las señales eléctricas en señales ópticas. Este modelo también se ocupa de los fenómenos físicos de la nanoescala, como una nanopartícula atrapada en un potencial eléctrico bajo delimitado por barreras de alto potencial.

7.4 La partícula cuántica en una caja

Un modelo sencillo del núcleo

Estrategia

Solución

Importancia

Una partícula clásica en una caja

Estrategia

Solución

Importancia