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Física Universitaria Volumen 3

4.6 Difracción de rayos X

Física Universitaria Volumen 34.6 Difracción de rayos X
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Describir los efectos de interferencia y difracción exhibidos por los rayos X en interacción con las estructuras a escala atómica

Como los fotones de rayos X son muy energéticos, tienen longitudes de onda relativamente cortas, del orden de 10−810−8 m a 10−1210−12 m. Así, los fotones típicos de los rayos X actúan como rayos cuando encuentran objetos macroscópicos, como los dientes, y producen sombras nítidas. Sin embargo, como los átomos tienen un tamaño del orden de 0,1 nm, los rayos X pueden utilizarse para detectar la ubicación, la forma y el tamaño de los átomos y las moléculas. El proceso se denomina difracción de rayos X, y consiste en la interferencia de los rayos X para producir patrones que pueden ser analizados para obtener información sobre las estructuras que dispersaron los rayos X.

Quizá el ejemplo más famoso de la difracción de rayos X sea el descubrimiento de la estructura doble helicoidal del ADN en 1953 por un equipo internacional de científicos que trabajaban en el Laboratorio Cavendish de Inglaterra: el estadounidense James Watson, el inglés Francis Crick y el neozelandés Maurice Wilkins. Utilizando los datos de difracción de rayos X producidos por Rosalind Franklin, fueron los primeros en modelar la estructura de doble hélice del ADN, tan crucial para la vida. Por este trabajo, Watson, Crick y Wilkins recibieron en 1962 el Premio Nobel de Fisiología o Medicina. (Hay cierto debate y controversia sobre la cuestión de que Rosalind Franklin no fue incluida en el premio, aunque murió en 1958, antes de que se concediera el premio).

La Figura 4.24 muestra un patrón de difracción producido por la dispersión de rayos X de un cristal. Este proceso se conoce como cristalografía de rayos X por la información que puede aportar sobre la estructura de los cristales, y fue el tipo de datos que Rosalind Franklin proporcionó a Watson y Crick para el ADN. Los rayos X no solo confirman el tamaño y la forma de los átomos, sino que proporcionan información sobre la disposición atómica de los materiales. Por ejemplo, las investigaciones más recientes sobre superconductores de alta temperatura se refieren a materiales complejos cuya disposición de la red es crucial para obtener un material superconductor. Se pueden estudiar mediante cristalografía de rayos X.

La figura muestra un fondo blanco con un patrón de líneas punteadas negras. Hay un punto blanco brillante en el centro rodeado por un anillo gris. Una línea blanca sube y baja desde el lugar.
Figura 4.24 La difracción de rayos X del cristal de una proteína (lisozima de clara de huevo de gallina) produjo este patrón de interferencia. El análisis del patrón arroja información sobre la estructura de la proteína. (crédito: “Del45”/Wikimedia Commons)

Históricamente, la dispersión de los rayos X en los cristales se utilizó para demostrar que los rayos X son ondas electromagnéticas (electromagnetic, EM) energéticas. Esto se sospechaba desde el descubrimiento de los rayos X en 1895, pero no fue hasta 1912 cuando el alemán Max von Laue (1879-1960) convenció a dos de sus colegas para que dispersaran los rayos X de los cristales. Si se obtiene un patrón de difracción, razonó, entonces los rayos X deben ser ondas, y se podría determinar su longitud de onda. (El espaciado de los átomos en varios cristales se conocía razonablemente bien en aquella época, basándose en buenos valores del número de Avogadro). Los experimentos fueron convincentes, y el Premio Nobel de Física de 1914 fue concedido a von Laue por su sugerencia que condujo a la prueba de que los rayos X son ondas EM. En 1915, el singular equipo de padre e hijo formado por Sir William Henry Bragg y su hijo, Sir William Lawrence Bragg, fue galardonado con un premio Nobel conjunto por inventar el espectrómetro de rayos X y la entonces nueva ciencia del análisis de rayos X.

De una manera que recuerda a la interferencia de película delgada, consideramos dos ondas planas a longitudes de onda de rayos X, cada una de las cuales se refleja en un plano diferente de átomos dentro de la red de un cristal, como se muestra en la Figura 4.25. A partir de la geometría, la diferencia de longitudes de trayectoria es 2dsenθ2dsenθ. La interferencia constructiva se produce cuando esta distancia es un múltiplo entero de la longitud de onda. Esta condición se recoge en la ecuación de Bragg,

mλ=2dsenθ,m=1,2,3...mλ=2dsenθ,m=1,2,3...
4.6

donde m es un número entero positivo y d es el espacio entre los planos. Siguiendo la ley de reflexión, tanto las ondas incidentes como las reflejadas se describen con el mismo ángulo, θ,θ, pero a diferencia de la práctica general en la óptica geométrica, θθ se mide con respecto a la propia superficie, en lugar de la normal.

La figura muestra los átomos de un cristal como puntos dispuestos en una cuadrícula. Están a una distancia d entre sí. Dos rayos paralelos, etiquetados como rayos de luz en fase, golpean un átomo cada uno desde arriba y desde la izquierda, se desvían y van hacia arriba y hacia la derecha. Los átomos en cuestión están marcados como a y b, estando b directamente debajo de a. Los rayos incidentes forman un ángulo theta con la horizontal. Sus extensiones forman un ángulo de 20 grados con los rayos desviados. Una línea de puntos une a y b. Otra conecta a con el rayo que incide en b, formando un ángulo theta con ab, formando así un triángulo. El lado del triángulo a lo largo de la semirrecta que incide sobre b se denomina d seno theta. El rayo desviado desde b es menor que el rayo desviado desde a, por una distancia 2d seno theta.
Figura 4.25 Difracción de rayos X con un cristal. Dos ondas incidentes se reflejan en dos planos de un cristal. La diferencia en las longitudes de las trayectorias se indica con la línea discontinua.

Ejemplo 4.7

Difracción de rayos X con cristales de sal

La sal de mesa común está compuesta principalmente por cristales de NaCl. En un cristal de NaCl, hay una familia de planos separados 0,252 nm. Si el máximo de primer orden se observa en un ángulo de incidencia de 18,1°18,1°, ¿cuál es la longitud de onda de la dispersión de rayos X de este cristal?

Estrategia

Utilice la ecuación de Bragg, Ecuación 4.6, mλ=2dsenθmλ=2dsenθ, para resolver θθ.

Solución

Para el primer orden, m=1,m=1, y se conoce la distancia entre planos d. Al resolver la ecuación de Bragg para la longitud de onda se obtiene
λ=2dsenθm=2(0,252×10−9m)sen(18,1°)1=1,57×10−10m,o0,157nm.λ=2dsenθm=2(0,252×10−9m)sen(18,1°)1=1,57×10−10m,o0,157nm.

Importancia

La longitud de onda determinada se ajusta a la región de los rayos X del espectro electromagnético. Una vez más, la naturaleza ondulatoria de la luz se pone de manifiesto cuando la longitud de onda (λ=0,157nm)(λ=0,157nm) es comparable al tamaño de las estructuras físicas (d=0,252nm)(d=0,252nm) con la que interactúa.

Compruebe Lo Aprendido 4.6

Para el experimento descrito en el Ejemplo 4.7, ¿cuáles son los otros dos ángulos en los que se pueden observar los máximos de interferencia? ¿Qué limita el número de máximos?

Aunque la Figura 4.25 representa un cristal como un conjunto bidimensional de centros de dispersión para simplificar, los cristales reales son estructuras en tres dimensiones. La dispersión puede producirse simultáneamente a partir de diferentes familias de planos con diferentes orientaciones y patrones de espaciado, conocidos como planos de Bragg, como se muestra en la Figura 4.26. El patrón de interferencia resultante puede ser bastante complejo.

La figura muestra dos redes cristalinas, con los átomos mostrados como pequeños círculos, conectados entre sí por líneas. En la primera red, se destacan los planos formados en la red. En el segundo, se destacan los planos inclinados que se forman en la red. En cada caso, los planos se ven como una combinación de diferentes átomos en la misma red.
Figura 4.26 Debido a la regularidad que hace una estructura cristalina, un cristal puede tener muchas familias de planos dentro de su geometría, cada una de las cuales da lugar a la difracción de rayos X.
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