4.5 Aberturas circulares y resolución

La luz se difracta al desplazarse por el espacio, curvándose alrededor de los obstáculos, interfiriendo de forma constructiva y destructiva. Esto puede utilizarse como herramienta espectroscópica (una rejilla de difracción dispersa la luz según la longitud de onda, por ejemplo, y se utiliza para producir espectros), pero la difracción también limita el detalle que podemos obtener en las imágenes.

La Figura 4.17(a) muestra el efecto del paso de la luz a través de una pequeña abertura circular. En lugar de un punto brillante con bordes nítidos, obtenemos un punto con un borde difuso rodeado de círculos de luz. Este patrón es causado por la difracción, similar a la producida por una rendija. La luz procedente de diferentes partes de la abertura circular interfiere de forma constructiva y destructiva. El efecto es más notable cuando la abertura es pequeña, pero el efecto está ahí también para aberturas grandes.

Figura 4.17 (a) La luz monocromática que pasa a través de una pequeña abertura circular produce este patrón de difracción. (b) Dos fuentes de luz puntuales que están cerca la una de la otra producen imágenes superpuestas debido a la difracción. (c) Si las fuentes están más cerca, no se pueden distinguir o determinar.

¿Cómo afecta la difracción al detalle que puede observarse cuando la luz pasa a través de una abertura? La Figura 4.17(b) muestra el patrón de difracción producido por dos fuentes de luz puntuales que están cerca la una de la otra. El patrón es similar al de una fuente puntual única, y todavía es posible decir que hay dos fuentes de luz en lugar de una. Si están más juntos, como en la Figura 4.17(c), no podemos distinguirlos, lo que limita el detalle o la resolución que podemos obtener. Este límite es una consecuencia ineludible de la naturaleza ondulatoria de la luz.

La difracción limita la resolución en muchas situaciones. La agudeza de nuestra visión es limitada porque la luz pasa a través de la pupila, que es la abertura circular del ojo. Tenga en cuenta que la propagación de la luz en forma de difracción se debe al diámetro limitado de un haz de luz, no a la interacción con una abertura. Así, la luz que pasa a través de una lente de diámetro D muestra este efecto y se propaga, difuminando la imagen, al igual que la luz que pasa por una abertura de diámetro D. Así, la difracción limita la resolución de cualquier sistema que tenga una lente o un espejo. Los telescopios también están limitados por la difracción, debido al diámetro finito D del espejo primario.

¿Cuál es el límite? Para responder a esta pregunta, considere el patrón de difracción para una abertura circular, que tiene un máximo central más amplio y brillante que los máximos que lo rodean (similar a una rendija) (Figura 4.18(a)). Se puede demostrar que, para una abertura circular de diámetro D, el primer mínimo en el patrón de difracción se produce en $\theta =\mathrm{1,22}\text{λ}\text{/}D$ (siempre que la abertura sea grande en comparación con la longitud de onda de la luz, como ocurre en la mayoría de los instrumentos ópticos). El criterio aceptado para determinar el límite de difracción de la resolución basado en este ángulo se conoce como el criterio de Rayleigh, que fue desarrollado por Lord Rayleigh en el siglo XIX.

El primer mínimo está en un ángulo de $\theta =\mathrm{1,22}\text{λ}\text{/}D$, de modo que dos objetos puntuales son apenas resolubles si están separados por el ángulo

donde $\text{λ}$ es la longitud de onda de la luz (u otra radiación electromagnética) y D es el diámetro de la abertura, lente, espejo, etc., con la que se observan los dos objetos. En esta expresión, $\theta$ tiene unidades de radianes. Este ángulo también se conoce comúnmente como el límite de difracción.

Figura 4.18 (a) Gráfica de la intensidad del patrón de difracción para una abertura circular. Tome en cuenta que, al igual que en una rendija simple, el máximo central es más amplio y brillante que los de los lados. (b) Dos objetos puntuales producen patrones de difracción superpuestos. Aquí se muestra el criterio de Rayleigh para que sea apenas resoluble. El máximo central de un patrón se encuentra en el primer mínimo del otro.

Todos los intentos de observar el tamaño y la forma de los objetos están limitados por la longitud de onda del instrumento de medición. Incluso la pequeña longitud de onda de la luz impide una precisión exacta. Cuando se utilizan instrumentos de medición con longitudes de onda extremadamente pequeñas, como en el caso del microscopio electrónico, el sistema se ve perturbado, lo que sigue limitando nuestros conocimientos. El principio de incertidumbre de Heisenberg afirma que este límite es fundamental e ineludible, como veremos en el capítulo dedicado a la mecánica cuántica.

Ejemplo 4.6

Cálculo de los límites de difracción del telescopio espacial Hubble

El espejo primario del telescopio espacial Hubble en órbita tiene un diámetro de 2,40 m. Al estar en órbita, este telescopio evita los efectos degradantes de la distorsión atmosférica sobre su resolución. (a) ¿Cuál es el ángulo entre dos fuentes luminosas puntuales que son apenas resolubles (quizás dos estrellas)? Supongamos que la longitud de onda media de la luz es de 550 nm. (b) Si estas dos estrellas están a una distancia de 2 millones de años-luz, la cual es la distancia a la galaxia de Andrómeda, ¿qué tan cerca pueden estar y aún ser distinguidas? (Un año-luz, o ly, es la distancia que recorre la luz en 1 año).

Estrategia

El criterio de Rayleigh que figura en la Ecuación 4.5, $\theta =\mathrm{1,22}\text{λ}\text{/}D$, da el menor ángulo posible $\theta$ entre las fuentes puntuales, o la mejor resolución posible. Una vez conocido este ángulo, podemos calcular la distancia entre las estrellas, ya que nos dan la distancia a la que se encuentran.

Solución

1. El criterio de Rayleigh para el ángulo mínimo resoluble es
   $$\theta =\mathrm{1,22}\frac{\text{λ}}{D}.$$
   Al introducir los valores conocidos se obtiene
   $$\theta =\mathrm{1,22}\frac{550\times {10}^{\text{−}9}\text{m}}{\mathrm{2,40}\text{m}}=\mathrm{2,80}\times {10}^{\text{−}7}\text{rad}.$$
2. La distancia s entre dos objetos a una distancia r y separados por un ángulo $\theta$ es $s=r\theta .$
   Al sustituir los valores conocidos se obtiene
   $$s=\left(\mathrm{2,0}\times {10}^6\text{ly}\right)\left(\mathrm{2,80}\times {10}^{\text{−}7}\text{rad}\right)=\mathrm{0,56}\text{ly}.$$

Importancia

El ángulo encontrado en la parte (a) es extraordinariamente pequeño (menos de 1/50 000 grados), porque el espejo primario es muy grande comparado con la longitud de onda de la luz. Como se ha observado, los efectos de difracción son más notables cuando la luz interactúa con objetos que tienen tamaños del orden de la longitud de onda de la luz. Sin embargo, el efecto sigue existiendo, y hay un límite de difracción para lo observable. La resolución real del telescopio Hubble no es tan buena como la que se encuentra aquí. Como en todos los instrumentos, hay otros efectos, como la falta de uniformidad de los espejos o las aberraciones de las lentes, que limitan aún más la resolución. Sin embargo, la Figura 4.19 da una indicación de la extensión del detalle observable con el Hubble debido a su tamaño y calidad, y especialmente porque está por encima de la atmósfera terrestre.

Figura 4.19 Estas dos fotografías de la galaxia M82 dan una idea de los detalles observables utilizando (a) un telescopio terrestre y (b) el telescopio espacial Hubble. (crédito a: modificación de la obra de "Ricnun"/Wikimedia Commons; crédito b: modificación de la obra de la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio (National Aeronautics and Space Administration, NASA), la Agencia Espacial Europea (European Space Agency, ESA) y el Equipo Hubble Heritage (Instituto de Ciencias del Telescopio Espacial [Space Telescope Science Institute, STScI]/Asociación de Universidades para la Investigación en Astronomía [Association of Universities for Research in Astronomy, AURA]))

La respuesta de la parte (b) indica que se pueden distinguir dos estrellas separadas por aproximadamente medio año luz. La distancia media entre las estrellas de una galaxia es del orden de cinco años-luz en las partes exteriores y de aproximadamente un año-luz cerca del centro galáctico. Por lo tanto, el Hubble puede distinguir la mayor parte de las estrellas individuales de la galaxia de Andrómeda, a pesar de que se encuentra a una distancia tan enorme que su luz tarda 2 millones de años en llegar a nosotros. La Figura 4.20 muestra otro espejo utilizado para observar las ondas de radio del espacio exterior.

Figura 4.20 Un paraboloide de 305 m de diámetro en Arecibo (Puerto Rico) está revestido de material reflectante, lo que lo convierte en un radiotelescopio. Es el mayor plato de enfoque curvo del mundo. Aunque la D de Arecibo es mucho mayor que la del telescopio Hubble, detecta radiación de una longitud de onda mucho mayor y su límite de difracción es significativamente menor que el del Hubble. El telescopio de Arecibo sigue siendo muy útil, porque las ondas de radio transportan información importante que no transporta la luz visible. (crédito: Jeff Hitchcock)

La difracción no solo es un problema para los instrumentos ópticos, sino también para la radiación electromagnética en sí. Cualquier haz de luz que tenga un diámetro finito D y una longitud de onda $\text{λ}$ presenta una dispersión por difracción. El rayo se extiende con un ángulo $\theta$ dado por la Ecuación 4.5, $\theta =\mathrm{1,22}\lambda \text{/}D$. Tomemos, por ejemplo, un rayo láser formado por rayos lo más paralelos posible (ángulos entre los rayos lo más cercanos posible $\theta =0\text{°}$) en su lugar se extiende en un ángulo $\theta =\mathrm{1,22}\text{λ}\text{/}D$, donde D es el diámetro del rayo y $\text{λ}$ es su longitud de onda. Esta propagación es imposible de observar para una linterna porque su haz no es muy paralelo para empezar. Sin embargo, para la transmisión a larga distancia de rayos láser o señales de microondas, la dispersión por difracción puede ser significativa (Figura 4.21). Para evitarlo, podemos aumentar D. Esto se hace para la luz láser enviada a la luna para medir su distancia con respecto a la Tierra. El rayo láser se expande a través de un telescopio para hacer D mucho más grande y $\theta$ más pequeño.

Figura 4.21 El haz producido por esta antena de transmisión de microondas se extiende en un ángulo mínimo $\theta =\mathrm{1,22}\text{λ}\text{/}D$ debido a la difracción. Es imposible producir un haz casi paralelo porque el haz tiene un diámetro limitado.

En la mayoría de los laboratorios de biología, la resolución es un problema cuando se introduce el uso del microscopio. Cuanto menor sea la distancia x por la que se pueden separar dos objetos y seguir viéndolos como distintos, mayor será la resolución. La potencia de resolución de una lente se define como la distancia x. Una expresión para la potencia de resolución se obtiene a partir del criterio de Rayleigh. La Figura 4.22(a) muestra dos objetos puntuales separados por una distancia x. Según el criterio de Rayleigh, la resolución es posible cuando la separación angular mínima es

donde d es la distancia entre la muestra y la lente del objetivo, y hemos utilizado la aproximación para ángulos pequeños (es decir, hemos asumido que x es mucho menor que d), por lo que $\text{tan}\theta \approx \text{sen}\theta \approx \theta .$ Por lo tanto, la potencia de resolución es

Otra forma de ver esto es mediante el concepto de abertura numérica (numerical aperture, NA), que es una medida del ángulo de aceptación máximo al que una lente tomará la luz y aún la contendrá dentro de la lente. La Figura 4.22(b) muestra una lente y un objeto en el punto P. La NA es una medida de la capacidad de la lente para recoger la luz y distinguir los detalles más pequeños. El ángulo subtendido por la lente en su foco se define como $\theta =2\alpha$. A partir de la figura y utilizando de nuevo la aproximación de ángulos pequeños, podemos escribir

La NA de una lente es $NA=n\text{sen}\alpha$, donde n es el índice de refracción del medio entre la lente del objetivo y el objeto en el punto P. A partir de esta definición de NA, podemos ver que

En un microscopio, la NA es importante porque está relacionada con la potencia de resolución de una lente. Una lente con una NA grande es capaz de distinguir los detalles más pequeños. Las lentes con mayor NA también pueden recoger más luz y, por tanto, ofrecer una imagen más brillante. Otra forma de describir esta situación es que cuanto mayor sea la NA, mayor será el cono de luz que puede introducirse en la lente, por lo que se recogen más modos de difracción. Así, el microscopio tiene más información para formar una imagen clara, y su potencia de resolución es mayor.

Figura 4.22 (a) Dos puntos separados por una distancia x y situados a una distancia d del objetivo. (b) Términos y símbolos utilizados en la discusión sobre la potencia de resolución para una lente y un objeto en el punto P (crédito a: modificación del trabajo de "Infopro"/Wikimedia Commons).

Una de las consecuencias de la difracción es que el punto focal de un haz tiene una anchura y una distribución de intensidad finitas. Imagínese el enfoque cuando solo se considera la óptica geométrica, como en la Figura 4.23(a). El punto focal se considera un punto infinitamente pequeño con una intensidad enorme y la capacidad de incinerar la mayoría de las muestras, independientemente de la NA de la lente objetivo, una simplificación poco física. En el caso de la óptica de onda, debido a la difracción, se tiene en cuenta el fenómeno en el que el punto focal se propaga para convertirse en un área focal (Figura 4.23(b)) con la disminución del tamaño del área al aumentar la NA. En consecuencia, la intensidad en el área focal aumenta con el incremento de la NA. Cuanto mayor sea la NA, mayores serán las posibilidades de foto degradación de la muestra. Sin embargo, el área nunca se convierte en un verdadero punto.

Figura 4.23 (a) En la óptica geométrica, el foco se modela como un punto, pero no es físicamente posible producir tal punto porque implica una intensidad infinita. (b) En la óptica de onda, el foco es una región extendida.

En otro tipo de microscopio, se hace que las moléculas de una muestra emitan luz a través de un mecanismo llamado fluorescencia. Mediante el control de las moléculas que emiten luz, se han podido construir imágenes con una resolución mucho más fina que el criterio de Rayleigh, sorteando así el límite de difracción. El desarrollo de la microscopía de fluorescencia de superresolución le valió el Premio Nobel de Química de 2014.