8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón

En el modelo de Bohr del hidrógeno, el electrón se mueve en una órbita circular alrededor del protón. El electrón pasa por un punto concreto del bucle en un tiempo determinado, por lo que podemos calcular una corriente $I=Q\text{/}t$. Un electrón que orbita un protón en un átomo de hidrógeno es, por tanto, análogo a la corriente que fluye por un alambre circular (Figura 8.10). En el estudio del magnetismo, vimos que un alambre conductor de corriente produce campos magnéticos. Por tanto es razonable concluir que el átomo de hidrógeno produce un campo magnético e interactúa con otros campos magnéticos.

Figura 8.10 (a) La corriente que fluye por un cable circular es análoga a (b) un electrón que orbita un protón en un átomo de hidrógeno.

El momento dipolar magnético orbital es una medida de la fuerza del campo magnético producido por el momento angular orbital de un electrón. A partir de la Fuerza y torque en un bucle de corriente, la magnitud del momento dipolar magnético orbital para un bucle de corriente es

donde I es la corriente y A es el área del bucle. (Para abreviar, nos referimos a esto como el momento magnético). La corriente I asociada a un electrón en órbita alrededor de un protón en un átomo de hidrógeno es

donde e es la magnitud de la carga del electrón y T es su periodo orbital. Si suponemos que el electrón viaja en una órbita perfectamente circular, el periodo orbital es

donde r es el radio de la órbita y v es la rapidez del electrón en su órbita. Dado que el área de un círculo es $\pi r^2$, el momento magnético absoluto es

Es útil expresar el momento magnético $\mu$ en términos del momento angular orbital $(\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}).$ Como el electrón orbita en un círculo, el vector de posición $\overrightarrow{r}$ y el vector de momento $\overrightarrow{p}$ forman un ángulo recto. Así, la magnitud del momento angular orbital es

Combinando estas dos ecuaciones, tenemos

En forma de vector completo, esta expresión se escribe como

El signo negativo aparece porque el electrón tiene carga negativa. Observe que la dirección del momento magnético del electrón es antiparalela al momento angular orbital, como se muestra en Figura 8.10(b). En el modelo de Bohr del átomo, la relación entre $\overrightarrow{\mu }$ y $\overrightarrow{L}$ en la Ecuación 8.19 es independiente del radio de la órbita.

El momento magnético $\mu$ también puede expresarse en términos del número cuántico angular orbital l. Combinando la Ecuación 8.18 y la Ecuación 8.15, la magnitud del momento magnético es

El componente z del momento magnético es

La cantidad ${\mu }_B$ es una unidad fundamental del magnetismo llamada magnetón de Bohr, que tiene el valor $9.3\times {10}^{\mathrm{-24}}\text{julio/tesla}$ (J/T) o $5.8\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{eV/T}\text{.}$ La cuantización del momento magnético es el resultado de la cuantificación del momento angular orbital.

Como veremos en la siguiente sección, el momento dipolar magnético total del átomo de hidrógeno se debe tanto al movimiento orbital del electrón como a su espín intrínseco. Por ahora, ignoramos el efecto del espín del electrón.

Un átomo de hidrógeno tiene un campo magnético, por lo que esperamos que el átomo de hidrógeno interactúe con un campo magnético externo, como el empuje y la atracción entre dos barras magnéticas. A partir de la Fuerza y el torque en un bucle de corriente, sabemos que cuando un bucle de corriente interactúa con un campo magnético externo $\overrightarrow{B}$, experimenta un torque dado por

donde I es la corriente, $\overrightarrow{A}$ es el área del bucle, $\overrightarrow{\mathit{\text{μ}}}$ es el momento magnético, y $\overrightarrow{B}$ es el campo magnético externo. Este torque actúa para girar el vector de momento magnético del átomo de hidrógeno a fin de alinearlo con el campo magnético externo. Dado que el trabajo mecánico es realizado por el campo magnético externo sobre el átomo de hidrógeno, podemos hablar de transformaciones de energía en el átomo. La energía potencial del átomo de hidrógeno asociada a esta interacción magnética viene dada por la Ecuación 8.23:

Si el momento magnético es antiparalelo al campo magnético externo, la energía potencial es grande, pero si el momento magnético es paralelo al campo, la energía potencial es pequeña. El trabajo realizado en el átomo de hidrógeno para hacer girar el vector de momento magnético del átomo en la dirección del campo magnético externo está, por tanto, asociado a una caída de la energía potencial. Sin embargo, la energía del sistema se conserva, ya que una disminución de la energía potencial produce una radiación (la emisión de un fotón). Estas transiciones de energía están cuantizadas porque el momento magnético solo puede apuntar en determinadas direcciones.

Si el campo magnético externo apunta en la dirección de la z positiva, la energía potencial asociada al momento dipolar magnético orbital es

donde ${\mu }_B$ es el magnetón de Bohr y m es el número cuántico de proyección del momento angular (o número cuántico magnético orbital), que tiene los valores

Por ejemplo, en el estado del electrón $l=1$, la energía total del electrón se divide en tres niveles de energía distintos que corresponden a $U=\text{−}{\mu }_{\text{B}}B,0,{\mu }_{\text{B}}B.$$$

La división de los niveles de energía por un campo magnético externo se denomina efecto Zeeman. Ignorando los efectos del espín de los electrones, las transiciones del estado $l=1$ a un estado común de energía más baja producen tres líneas espectrales estrechamente espaciadas (Figura 8.11, columna izquierda). Asimismo, las transiciones del estado $l=2$ producen cinco líneas espectrales muy espaciadas (columna de la derecha). La separación de estas líneas es proporcional a la fuerza del campo magnético externo. Este efecto tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, la división de las líneas en el espectro del hidrógeno del Sol se utiliza para determinar la fuerza de su campo magnético. Muchas de estas mediciones del campo magnético pueden utilizarse para hacer un mapa de la actividad magnética en la superficie del Sol, llamado magnetograma (Figura 8.12).

Figura 8.11 El efecto Zeeman se refiere a la división de las líneas espectrales por un campo magnético externo. En la columna de la izquierda, la división de la energía se produce debido a las transiciones desde el estado $(n=2,l=1$) a un estado de menor energía; y en la columna de la derecha, la división de energía se produce debido a las transiciones desde el estado $(n=2\text{,}l=2)$ a un estado de menor energía. La separación de estas líneas es proporcional a la fuerza del campo magnético externo.

Figura 8.12 Un magnetograma del Sol. Los puntos brillantes y oscuros muestran una importante actividad magnética en la superficie del Sol (crédito: NASA, SDO).