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Física Universitaria Volumen 3

8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón

Física Universitaria Volumen 38.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar por qué el átomo de hidrógeno tiene propiedades magnéticas.
  • Explicar por qué los niveles de energía de un átomo de hidrógeno asociados al momento angular orbital se dividen por un campo magnético externo.
  • Utilizar los números cuánticos para calcular la magnitud y la dirección del momento dipolar magnético orbital de un átomo de hidrógeno.

En el modelo de Bohr del hidrógeno, el electrón se mueve en una órbita circular alrededor del protón. El electrón pasa por un punto concreto del bucle en un tiempo determinado, por lo que podemos calcular una corriente I=Q/tI=Q/t. Un electrón que orbita un protón en un átomo de hidrógeno es, por tanto, análogo a la corriente que fluye por un alambre circular (Figura 8.10). En el estudio del magnetismo, vimos que un alambre conductor de corriente produce campos magnéticos. Por tanto es razonable concluir que el átomo de hidrógeno produce un campo magnético e interactúa con otros campos magnéticos.

La figura (a) muestra un bucle de transporte de corriente. El bucle tiene la corriente I circulando en sentido contrario a las agujas del reloj vista desde arriba. En el centro del bucle se muestra un vector mu que apunta hacia arriba. La figura (b) muestra el átomo de hidrógeno como un electrón, representado como una pequeña bola y marcado como menos e, realizando una órbita circular en sentido contrario a las agujas del reloj, visto desde arriba. En el centro de la órbita se muestra una esfera, un vector mu que apunta hacia abajo y un vector L que apunta hacia arriba.
Figura 8.10 (a) La corriente que fluye por un cable circular es análoga a (b) un electrón que orbita un protón en un átomo de hidrógeno.

El momento dipolar magnético orbital es una medida de la fuerza del campo magnético producido por el momento angular orbital de un electrón. A partir de la Fuerza y torque en un bucle de corriente, la magnitud del momento dipolar magnético orbital para un bucle de corriente es

μ=IA,μ=IA,
8.13

donde I es la corriente y A es el área del bucle. (Para abreviar, nos referimos a esto como el momento magnético). La corriente I asociada a un electrón en órbita alrededor de un protón en un átomo de hidrógeno es

I=eT,I=eT,
8.14

donde e es la magnitud de la carga del electrón y T es su periodo orbital. Si suponemos que el electrón viaja en una órbita perfectamente circular, el periodo orbital es

T=2πrv,T=2πrv,
8.15

donde r es el radio de la órbita y v es la rapidez del electrón en su órbita. Dado que el área de un círculo es πr2πr2, el momento magnético absoluto es

μ=IA=e(2πrv)πr2=evr2.μ=IA=e(2πrv)πr2=evr2.
8.16

Es útil expresar el momento magnético μμ en términos del momento angular orbital (L=r×p).(L=r×p). Como el electrón orbita en un círculo, el vector de posición rr y el vector de momento pp forman un ángulo recto. Así, la magnitud del momento angular orbital es

L=|L|=|r×p|=rpsenθ=rp=rmv.L=|L|=|r×p|=rpsenθ=rp=rmv.
8.17

Combinando estas dos ecuaciones, tenemos

μ=(e2me)L.μ=(e2me)L.
8.18

En forma de vector completo, esta expresión se escribe como

μ=(e2me)L.μ=(e2me)L.
8.19

El signo negativo aparece porque el electrón tiene carga negativa. Observe que la dirección del momento magnético del electrón es antiparalela al momento angular orbital, como se muestra en Figura 8.10(b). En el modelo de Bohr del átomo, la relación entre μμ y LL en la Ecuación 8.19 es independiente del radio de la órbita.

El momento magnético μμ también puede expresarse en términos del número cuántico angular orbital l. Combinando la Ecuación 8.18 y la Ecuación 8.15, la magnitud del momento magnético es

μ=(e2me)L=(e2me)l(l+1)=μBl(l+1).μ=(e2me)L=(e2me)l(l+1)=μBl(l+1).
8.20

El componente z del momento magnético es

μz=(e2me)Lz=(e2me)m=μBm.μz=(e2me)Lz=(e2me)m=μBm.
8.21

La cantidad μBμB es una unidad fundamental del magnetismo llamada magnetón de Bohr, que tiene el valor 9.3×10−24julio/tesla9.3×10−24julio/tesla (J/T) o 5.8×10−5eV/T.5.8×10−5eV/T. La cuantización del momento magnético es el resultado de la cuantificación del momento angular orbital.

Como veremos en la siguiente sección, el momento dipolar magnético total del átomo de hidrógeno se debe tanto al movimiento orbital del electrón como a su espín intrínseco. Por ahora, ignoramos el efecto del espín del electrón.

Ejemplo 8.3

Momento dipolar magnético orbital

¿Cuál es la magnitud del momento magnético dipolar orbital μμ de un electrón en el átomo de hidrógeno en el estado (a) s, (b) p y (c) d? (Supongamos que el espín del electrón es cero).

Estrategia

El momento magnético del electrón está relacionado con su momento angular orbital L. Para el átomo de hidrógeno, esta cantidad está relacionada con el número cuántico angular orbital l. Los estados se dan en notación espectroscópica, que relaciona una letra (s, p, d, etc.) con un número cuántico.

Solución

La magnitud del momento magnético se da en la Ecuación 8.20:
μ=(e2me)L=(e2me)l(l+1)=μBl(l+1).μ=(e2me)L=(e2me)l(l+1)=μBl(l+1).
  1. Para el estado s, l=0l=0 por lo que tenemos μ=0μ=0 y μz=0.μz=0.
  2. Para el estado p, l=1l=1 y tenemos
    μ=μB1(1+1)=2μB μz=μBm,dondem=(1,0,1),así que μz=μB,0,μB.μ=μB1(1+1)=2μB μz=μBm,dondem=(1,0,1),así que μz=μB,0,μB.
  3. Para el estado d, l=2l=2 y obtenemos
    μ=μB2(2+1)=6μB μz=μBm,dondem=(2,1,0,1,2),así que μz=2μB,μB,0,μB,−2μB.μ=μB2(2+1)=6μB μz=μBm,dondem=(2,1,0,1,2),así que μz=2μB,μB,0,μB,−2μB.

Importancia

En el estado s, no hay momento angular orbital y, por tanto, no hay momento magnético. Esto no significa que el electrón esté en reposo, solo que el movimiento global del electrón no produce un campo magnético. En el estado p, el electrón tiene un momento magnético con tres valores posibles para el componente z de este momento magnético; esto significa que el momento magnético puede apuntar en tres direcciones polares diferentes, cada una antiparalela al vector de momento angular orbital. En el estado d, el electrón tiene un momento magnético con cinco valores posibles para el componente z de este momento magnético. En este caso, el momento magnético puede apuntar en cinco direcciones polares diferentes.

Un átomo de hidrógeno tiene un campo magnético, por lo que esperamos que el átomo de hidrógeno interactúe con un campo magnético externo, como el empuje y la atracción entre dos barras magnéticas. A partir de la Fuerza y el torque en un bucle de corriente, sabemos que cuando un bucle de corriente interactúa con un campo magnético externo BB, experimenta un torque dado por

τ=I(A×B)=μ×B,τ=I(A×B)=μ×B,
8.22

donde I es la corriente, AA es el área del bucle, μμ es el momento magnético, y BB es el campo magnético externo. Este torque actúa para girar el vector de momento magnético del átomo de hidrógeno a fin de alinearlo con el campo magnético externo. Dado que el trabajo mecánico es realizado por el campo magnético externo sobre el átomo de hidrógeno, podemos hablar de transformaciones de energía en el átomo. La energía potencial del átomo de hidrógeno asociada a esta interacción magnética viene dada por la Ecuación 8.23:

U=μ·B.U=μ·B.
8.23

Si el momento magnético es antiparalelo al campo magnético externo, la energía potencial es grande, pero si el momento magnético es paralelo al campo, la energía potencial es pequeña. El trabajo realizado en el átomo de hidrógeno para hacer girar el vector de momento magnético del átomo en la dirección del campo magnético externo está, por tanto, asociado a una caída de la energía potencial. Sin embargo, la energía del sistema se conserva, ya que una disminución de la energía potencial produce una radiación (la emisión de un fotón). Estas transiciones de energía están cuantizadas porque el momento magnético solo puede apuntar en determinadas direcciones.

Si el campo magnético externo apunta en la dirección de la z positiva, la energía potencial asociada al momento dipolar magnético orbital es

U(θ)=μBcosθ=μzB=(μBm)B=mμBB,U(θ)=μBcosθ=μzB=(μBm)B=mμBB,
8.24

donde μBμB es el magnetón de Bohr y m es el número cuántico de proyección del momento angular (o número cuántico magnético orbital), que tiene los valores

m=l,l+1,...,0,...,l1,l.m=l,l+1,...,0,...,l1,l.
8.25

Por ejemplo, en el estado del electrón l=1l=1, la energía total del electrón se divide en tres niveles de energía distintos que corresponden a U=μBB,0,μBB.U=μBB,0,μBB.

La división de los niveles de energía por un campo magnético externo se denomina efecto Zeeman. Ignorando los efectos del espín de los electrones, las transiciones del estado l=1l=1 a un estado común de energía más baja producen tres líneas espectrales estrechamente espaciadas (Figura 8.11, columna izquierda). Asimismo, las transiciones del estado l=2l=2 producen cinco líneas espectrales muy espaciadas (columna de la derecha). La separación de estas líneas es proporcional a la fuerza del campo magnético externo. Este efecto tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, la división de las líneas en el espectro del hidrógeno del Sol se utiliza para determinar la fuerza de su campo magnético. Muchas de estas mediciones del campo magnético pueden utilizarse para hacer un mapa de la actividad magnética en la superficie del Sol, llamado magnetograma (Figura 8.12).

La figura muestra el efecto del campo magnético, B sub ext, sobre dos líneas espectrales diferentes, correspondientes a la transición l=1 a l=0 a la izquierda y a la transición l=2 a l=0 a la derecha. Se muestran los espectros para un campo externo nulo, para un campo externo diferente de cero y para un campo externo grande. Sin campo externo, ambas transiciones aparecen como líneas simples. En el segundo caso, cuando se aplica el campo magnético, las líneas espectrales se dividen en varias líneas; la línea de la izquierda se divide en tres líneas. La línea de la derecha se divide en cinco. En el tercer caso, el campo magnético es grande. La línea de la izquierda se divide de nuevo en tres líneas y la de la derecha en cinco, pero las líneas divididas están más separadas que cuando el campo magnético externo no es tan fuerte.
Figura 8.11 El efecto Zeeman se refiere a la división de las líneas espectrales por un campo magnético externo. En la columna de la izquierda, la división de la energía se produce debido a las transiciones desde el estado ( n = 2 , l = 1 ( n = 2 , l = 1 ) a un estado de menor energía; y en la columna de la derecha, la división de energía se produce debido a las transiciones desde el estado ( n = 2 , l = 2 ) ( n = 2 , l = 2 ) a un estado de menor energía. La separación de estas líneas es proporcional a la fuerza del campo magnético externo.
Un magnetograma del sol, que aparece como un disco gris sobre un fondo negro, con manchas blancas y negras dispersas en él. La mayoría de las manchas se concentran en la parte central derecha de la imagen.
Figura 8.12 Un magnetograma del Sol. Los puntos brillantes y oscuros muestran una importante actividad magnética en la superficie del Sol (crédito: NASA, SDO).
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