William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

Describir el átomo de hidrógeno en términos de función de onda, densidad de probabilidad, energía total y momento angular orbital.
Identificar el significado físico de cada uno de los números cuánticos ( $n, l, m$ ) del átomo de hidrógeno.
Distinguir entre los modelos de Bohr y Schrödinger del átomo.
Utilizar los números cuánticos para calcular información importante sobre el átomo de hidrógeno.

El átomo de hidrógeno es el más simple de la naturaleza y, por tanto, un buen punto de partida para estudiar los átomos y la estructura atómica. El átomo de hidrógeno está formado por un solo electrón con carga negativa que se mueve alrededor de un protón con carga positiva (Figura 8.2). En el modelo de Bohr, el electrón es atraído alrededor del protón en una órbita perfectamente circular por una fuerza de Coulomb de atracción. El protón es aproximadamente 1.800 veces más masivo que el electrón, por lo que el protón se mueve muy poco en respuesta a la fuerza que ejerce el electrón sobre él. (Esto es análogo al sistema Tierra-Sol, donde el Sol se mueve muy poco en respuesta a la fuerza ejercida sobre él por la Tierra). Una explicación de este efecto utilizando las leyes de Newton se ofrece en Fotones y ondas de materia.

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno tiene el protón, una carga q = más e, en el centro y el electrón, una carga q = menos e, en una órbita circular centrada en el protón.

Figura 8.2 Una representación del modelo de Bohr del átomo de hidrógeno.

Suponiendo el protón fijo, nos centramos en el movimiento del electrón.

En el campo eléctrico del protón, la energía potencial del electrón es

U (r) = − k \frac{e^{2}}{r},

8.1

donde $k = 1 / 4 π ε_{0}$ y r es la distancia entre el electrón y el protón. Como vimos antes, la fuerza sobre un objeto es igual al negativo del gradiente (o pendiente) de la función de energía potencial. Para el caso especial de un átomo de hidrógeno, la fuerza entre el electrón y el protón es una fuerza de Coulomb atractiva.

Observe que la función de energía potencial U(r) no varía en el tiempo. Como resultado, la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno se reduce a dos ecuaciones más simples: una que depende solo del espacio (x, y, z) y otra que depende solo del tiempo (t). (La separación de una función de onda en partes dependientes del espacio y del tiempo para funciones de energía potencial independientes del tiempo se discute en Mecánica cuántica). Lo que más nos interesa es la ecuación dependiente del espacio:

\frac{− ℏ^{2}}{2 m_{e}} (\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z^{2}}) - k \frac{e^{2}}{r} ψ = E ψ,

8.2

donde $ψ = ψ (x, y, z)$ es la función de onda tridimensional del electrón, $m_{e}$ es la masa del electrón, y E es la energía total del electrón. Recordemos que la función de onda total $Ψ (x, y, z, t),$ es el producto de la función de onda dependiente del espacio $ψ = ψ (x, y, z)$ y la función de onda dependiente del tiempo $φ = φ (t)$ .

Además de ser independiente del tiempo, U(r) también es esféricamente simétrico. Esto sugiere que podemos resolver la ecuación de Schrödinger más fácilmente si la expresamos en términos de coordenadas esféricas $(r, θ, ϕ)$ en lugar de coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ . Un sistema de coordenadas esféricas se muestra en la Figura 8.3. En las coordenadas esféricas, la variable r es la coordenada radial, $θ$ es el ángulo polar (relativo al eje de la zvertical), y $ϕ$ es el ángulo acimutal (respecto al eje de la x). La relación entre las coordenadas esféricas y rectangulares es $x = r sen θ cos ϕ, y = r sen θ sen ϕ, z = r cos θ .$

Se muestra un sistema de coordenadas x y z, junto con un punto P y el vector r desde el origen hasta P. En esta figura, el punto P tiene coordenadas de la x, la y y la z positivas. El vector r está inclinado por un ángulo theta desde el eje de la z positiva. Su proyección en el plano x y hace un ángulo theta desde el eje de la x positiva hacia el eje de la y positiva.

Figura 8.3 La relación entre los sistemas de coordenadas esféricas y rectangulares.

El factor $r sen θ$ es la magnitud de un vector formado por la proyección del vector polar sobre el plano xy. Además, las coordenadas de la x y la y se obtienen proyectando este vector sobre los ejes de la x y la y, respectivamente. La transformación inversa da

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, θ = {cos}^{−1} (\frac{z}{r}), ϕ = {cos}^{−1} (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}) .

La ecuación de onda de Schrödinger para el átomo de hidrógeno en coordenadas esféricas se discute en cursos más avanzados de física moderna, por lo que aquí no la consideramos en detalle. Sin embargo, debido a la simetría esférica de U(r), esta ecuación se reduce a tres ecuaciones más simples: una para cada una de las tres coordenadas $(r, θ, y ϕ) .$ Las soluciones a la función de onda independiente del tiempo se escriben como un producto de tres funciones:

ψ (r, θ, ϕ) = R (r) Θ (θ) Φ (ϕ),

donde R es la función radial que depende únicamente de la coordenada radial r $Θ$ es la función polar que depende de la coordenada polar $θ$ solamente; y $Φ$ es la función phi de $ϕ$ solamente. Las soluciones válidas de la ecuación de Schrödinger $ψ (r, θ, ϕ)$ están marcadas con los números cuánticos n, l y m.

\begin{matrix} n : & número cuántico principal \\ l : & número cuántico de momento angular \\ m : & número cuántico de proyección del momento angular \end{matrix}

(Las razones de estos nombres se explicarán en la siguiente sección). La función radial R solo depende de n y l; la función polar $Θ$ solo depende de l y m; y la función phi $Φ$ solo depende de m. La dependencia de cada función de los números cuánticos se indica con subíndices:

ψ_{n l m} (r, θ, ϕ) = R_{n l} (r) Θ_{l m} (θ) Φ_{m} (ϕ) .

No todos los conjuntos de números cuánticos(n, l, m) son posibles. Por ejemplo, el número cuántico angular orbital l nunca puede ser mayor o igual que el número cuántico principal $n (l < n)$ . En concreto, tenemos

\begin{matrix} n & = & 1, 2, 3, … \\ l & = & 0, 1, 2, …, (n - 1) \\ m & = & − l, (− l + 1), …, 0, …, (+ l - 1), + l \end{matrix}

Observe que en el estado fundamental, $n = 1$ , $l = 0$ , y $m = 0$ . En otras palabras, solo hay un estado cuántico con la función de onda para $n = 1$ , y es $ψ_{100}$ . Sin embargo, para $n = 2$ , tenemos

\begin{matrix} l = 0, m = 0 \\ l = 1, m = −1, 0, 1 . \end{matrix}

Por lo tanto, los estados permitidos para el estado $n = 2$ son $ψ_{200}$ , $ψ_{21 - 1}, ψ_{210}$ , y $ψ_{211}$ . En la Tabla 8.1 se ofrecen ejemplos de funciones de onda para el átomo de hidrógeno. Observe que algunas de estas expresiones contienen la letra i, que representa $\sqrt{−1}$ . Cuando se calculan las probabilidades, estos números complejos no aparecen en la respuesta final.

$n = 1, l = 0, m_{l} = 0$	$ψ_{100} = \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} e^{− r / a_{0}}$
$n = 2, l = 0, m_{l} = 0$	$ψ_{200} = \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} (2 - \frac{r}{a_{0}}) e^{− r / 2 a_{0}}$
$n = 2, l = 1, m_{l} = −1$	$ψ_{21 - 1} = \frac{1}{8 \sqrt{π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} \frac{r}{a_{0}} e^{− r / 2 a_{0}} sen θ e^{− i ϕ}$
$n = 2, l = 1, m_{l} = 0$	$ψ_{210} = \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} \frac{r}{a_{0}} e^{− r / 2 a_{0}} cos θ$
$n = 2, l = 1, m_{l} = 1$	$ψ_{211} = \frac{1}{8 \sqrt{π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} \frac{r}{a_{0}} e^{− r / 2 a_{0}} sen θ e^{i ϕ}$

Tabla 8.1 Funciones de onda del átomo de hidrógeno

Significado de los números cuánticos

Cada uno de los tres números cuánticos del átomo de hidrógeno (n, l, m) está asociado a una cantidad física diferente. El número cuántico principal n está asociado a la energía total del electrón, $E_{n}$ . Según la ecuación de Schrödinger:

E_{n} = − (\frac{m_{e} k^{2} e^{4}}{{2 ħ}^{2}}) (\frac{1}{n^{2}}) = − E_{0} (\frac{1}{n^{2}}),

8.3

donde $E_{0} = −13,6 eV .$ Observe que esta expresión es idéntica a la del modelo de Bohr. Al igual que en el modelo de Bohr, el electrón en un determinado estado de energía no radia.

Ejemplo 8.1

¿Cuántos estados posibles hay?

En el átomo de hidrógeno, ¿cuántos estados cuánticos posibles corresponden al número principal

n = 3

? ¿Cuáles son las energías de estos estados?

Estrategia

En un átomo de hidrógeno de una energía determinada, el número de estados permitidos depende de su momento angular orbital. Podemos contar estos estados para cada valor del número cuántico principal,

n = 1, 2, 3 .

Sin embargo, la energía total depende únicamente del número cuántico principal, lo que significa que podemos utilizar la Ecuación 8.3 y el número de estados contados.

Solución

Si

n = 3

, los valores permitidos de l son 0, 1 y 2. Si

l = 0

,

m = 0

(1 estado). Si

l = 1

,

m = - 1, 0, + 1

(3 estados); y si

l = 2

,

m = - 2, - 1, 0, + 1, + 2

(5 estados). En total, hay

1 + 3 + 5 = 9

estados permitidos. Debido a que la energía total solo depende del número cuántico principal,

n = 3

, la energía de cada uno de estos estados es

E_{n 3} = − E_{0} (\frac{1}{n^{2}}) = \frac{−13,6 eV}{9} = -1,51 eV .

Importancia

Un electrón en un átomo de hidrógeno puede ocupar muchos estados de momento angular diferentes con la misma energía. A medida que aumenta el momento angular orbital, aumenta el número de estados permitidos con la misma energía.

El número cuántico de momento angular orbital l está asociado al momento angular orbital del electrón en un átomo de hidrógeno. La teoría cuántica nos dice que cuando el átomo de hidrógeno está en el estado $ψ_{n l m}$ , la magnitud de su momento angular orbital es

L = \sqrt{l (l + 1)} ℏ,

8.4

donde

l = 0, 1, 2, …, (n - 1) .

Este resultado es ligeramente diferente al encontrado con la teoría de Bohr, que cuantiza el momento angular según la regla $L = n, donde n = 1, 2, 3, ... .$

Los estados cuánticos con diferentes valores de momento angular orbital se distinguen utilizando la notación espectroscópica (Tabla 8.2). Las denominaciones s, p, d y f provienen de los primeros intentos históricos de clasificar las líneas espectrales atómicas. (Las letras significan agudo, principal, difuso y fundamental, respectivamente) Después de la f, las letras continúan en orden alfabético.

El estado fundamental del hidrógeno se denomina estado 1s, donde "1" indica el nivel de energía $(n = 1)$ y "s" indica el estado del momento angular orbital ( $l = 0$ ). Cuando $n = 2$ , l puede ser 0 o 1. El estado $n = 2$ , $l = 0$ se designa "2s". El estado $n = 2$ , $l = 1$ se designa "2p". Cuando $n = 3$ , l puede ser 0, 1 o 2, y los estados son 3s, 3p, y 3d, respectivamente. La notación para otros estados cuánticos se da en la Tabla 8.3.

El número cuántico de proyección del momento angular m está asociado al ángulo acimutal $ϕ$ (vea la Figura 8.3) y está relacionado con el componente z del momento angular orbital de un electrón en un átomo de hidrógeno. Este componente viene dado por

L_{z} = m ℏ,

8.5

donde

m = − l, − l + 1, …, 0, …, + l - 1, l .

El componente z del momento angular está relacionado con la magnitud del momento angular a través de

L_{z} = L c o s θ,

8.6

donde $θ$ es el ángulo entre el vector de momento angular y el eje de la z. Observe que la dirección del eje de la z se determina por el experimento, es decir, a lo largo de cualquier dirección, el experimentador decide medir el momento angular. Por ejemplo, la dirección de la z podría corresponder a la dirección de un campo magnético externo. La relación entre $L_{z} y L$ se encuentra en la Figura 8.4.

Se muestra un sistema de coordenadas x y z. El vector L forma un ángulo theta con el eje de la z positiva y tiene un componente z positivo L sub z igual a m por h barra. Los componentes x e y son positivos pero no se especifican.

Figura 8.4 El componente z del momento angular está cuantizado con su propio número cuántico m.

Número cuántico orbital l	Momento angular	Estado	Nombre espectroscópico
0	0	s	Fino
1	$\sqrt{2} h$	p	Principal
2	$\sqrt{6} h$	d	Difuso
3	$\sqrt{12} h$	f	Fundamental
4	$\sqrt{20} h$	g
5	$\sqrt{30} h$	h

Tabla 8.2 Notación espectroscópica y momento angular orbital

	$l = 0$	$l = 1$	$l = 2$	$l = 3$	$l = 4$	$l = 5$
$n = 1$	1s
$n = 2$	2s	2p
$n = 3$	3s	3p	3d
$n = 4$	4s	4p	4d	4f
$n = 5$	5s	5p	5d	5f	5g
$n = 6$	6s	6p	6d	6f	6g	6h

Tabla 8.3 Descripción espectroscópica de los estados cuánticos

La cuantización de $L_{z}$ equivale a la cuantización de $θ$ . Sustituyendo $\sqrt{l (l + 1)} ℏ$ para L y m para $L_{z}$ en esta ecuación, encontramos

m ℏ = \sqrt{l (l + 1)} ℏ cos θ .

8.7

Así, el ángulo $θ$ se cuantiza con los valores particulares

θ = {cos}^{−1} (\frac{m}{\sqrt{l (l + 1)}}) .

8.8

Observe que tanto el ángulo polar ( $θ$ ) y la proyección del vector de momento angular sobre un eje de la z arbitrario ( $L_{z}$ ) están cuantizados.

La cuantización del ángulo polar para el estado $l = 3$ se muestra en la Figura 8.5. El vector de momento angular orbital se encuentra en algún lugar de la superficie de un cono con un ángulo de apertura $θ$ en relación con el eje de la z(a menos que $m = 0,$ en cuyo caso $θ = 90 °$ y los puntos del vector son perpendiculares al eje de la z).

Siete vectores, todos de la misma longitud L, se dibujan en 7 ángulos diferentes con respecto al eje de la z. Las componentes z de los vectores se indican tanto con líneas horizontales desde la punta del vector hasta el eje de la z y con marcas en el eje de la z. Para cuatro de los vectores, también se marca el ángulo entre el eje de la z y el vector. Los valores de la componente z son 3 h barra en el ángulo theta sub tres, 2 h barra en el ángulo theta sub dos, h barra en el ángulo theta sub uno, cero en el ángulo theta sub cero, menos h barra, menos 2 h barra y menos 3 h barra.

Figura 8.5 La cuantización del momento angular orbital. Cada vector se encuentra en la superficie de un cono con eje a lo largo del eje de la z.

Un estudio detallado del momento angular revela que no podemos conocer los tres componentes simultáneamente. En la sección anterior, el componente z del momento angular orbital tiene valores definidos que dependen del número cuántico m. Esto implica que no podemos conocer los componentes x y y del momento angular, $L_{x}$ y $L_{y}$ , con certeza. En consecuencia, se desconoce la dirección exacta del vector del momento angular orbital.

Ejemplo 8.2

¿Cuáles son las direcciones permitidas?

Calcule los ángulos que el vector de momento angular

\vec{L}

puede hacer con el eje de la z para

l = 1

, como se muestra en la Figura 8.6.

La imagen muestra tres posibles valores de un componente de un determinado momento angular a lo largo del eje de la z. La órbita circular superior se muestra en m sub t = 1 a una distancia L sub z sobre el origen. El vector L forma un ángulo theta uno con el eje de la z. El radio de la órbita es el componente de L perpendicular al eje de la z. La órbita circular del centro se muestra para m sub t = 0. Está en el plano x y. El vector L hace un ángulo de theta dos de 90 grados con el eje de la z. El radio de la órbita es L. La órbita circular inferior se muestra en m sub t = -1 a una distancia L sub z por debajo del origen. El vector L forma un ángulo de theta tres con el eje de la z. El radio de la órbita es el componente de L perpendicular al eje de la z.

Figura 8.6 El componente de un momento angular dado a lo largo del eje de la z (definido por la dirección de un campo magnético) solo puede tener ciertos valores. Estos se muestran aquí para

l = 1

, para lo cual

m = −1, 0, y + 1 .

La dirección de

\vec{L}

está cuantizada en el sentido de que solo puede tener ciertos ángulos respecto al eje de la z.