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Física Universitaria Volumen 3

8.1 El átomo de hidrógeno

Física Universitaria Volumen 38.1 El átomo de hidrógeno
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Describir el átomo de hidrógeno en términos de función de onda, densidad de probabilidad, energía total y momento angular orbital.
  • Identificar el significado físico de cada uno de los números cuánticos (n,l,mn,l,m) del átomo de hidrógeno.
  • Distinguir entre los modelos de Bohr y Schrödinger del átomo.
  • Utilizar los números cuánticos para calcular información importante sobre el átomo de hidrógeno.

El átomo de hidrógeno es el más simple de la naturaleza y, por tanto, un buen punto de partida para estudiar los átomos y la estructura atómica. El átomo de hidrógeno está formado por un solo electrón con carga negativa que se mueve alrededor de un protón con carga positiva (Figura 8.2). En el modelo de Bohr, el electrón es atraído alrededor del protón en una órbita perfectamente circular por una fuerza de Coulomb de atracción. El protón es aproximadamente 1.800 veces más masivo que el electrón, por lo que el protón se mueve muy poco en respuesta a la fuerza que ejerce el electrón sobre él. (Esto es análogo al sistema Tierra-Sol, donde el Sol se mueve muy poco en respuesta a la fuerza ejercida sobre él por la Tierra). Una explicación de este efecto utilizando las leyes de Newton se ofrece en Fotones y ondas de materia.

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno tiene el protón, una carga q = más e, en el centro y el electrón, una carga q = menos e, en una órbita circular centrada en el protón.
Figura 8.2 Una representación del modelo de Bohr del átomo de hidrógeno.

Suponiendo el protón fijo, nos centramos en el movimiento del electrón.

En el campo eléctrico del protón, la energía potencial del electrón es

U(r)=ke2r,U(r)=ke2r,
8.1

donde k=1/4πε0k=1/4πε0 y r es la distancia entre el electrón y el protón. Como vimos antes, la fuerza sobre un objeto es igual al negativo del gradiente (o pendiente) de la función de energía potencial. Para el caso especial de un átomo de hidrógeno, la fuerza entre el electrón y el protón es una fuerza de Coulomb atractiva.

Observe que la función de energía potencial U(r) no varía en el tiempo. Como resultado, la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno se reduce a dos ecuaciones más simples: una que depende solo del espacio (x, y, z) y otra que depende solo del tiempo (t). (La separación de una función de onda en partes dependientes del espacio y del tiempo para funciones de energía potencial independientes del tiempo se discute en Mecánica cuántica). Lo que más nos interesa es la ecuación dependiente del espacio:

22me(2ψx2+2ψy2+2ψz2)ke2rψ=Eψ,22me(2ψx2+2ψy2+2ψz2)ke2rψ=Eψ,
8.2

donde ψ=ψ(x,y,z)ψ=ψ(x,y,z) es la función de onda tridimensional del electrón, meme es la masa del electrón, y E es la energía total del electrón. Recordemos que la función de onda total Ψ(x,y,z,t),Ψ(x,y,z,t), es el producto de la función de onda dependiente del espacio ψ=ψ(x,y,z)ψ=ψ(x,y,z) y la función de onda dependiente del tiempo φ=φ(t)φ=φ(t).

Además de ser independiente del tiempo, U(r) también es esféricamente simétrico. Esto sugiere que podemos resolver la ecuación de Schrödinger más fácilmente si la expresamos en términos de coordenadas esféricas (r,θ,ϕ)(r,θ,ϕ) en lugar de coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z). Un sistema de coordenadas esféricas se muestra en la Figura 8.3. En las coordenadas esféricas, la variable r es la coordenada radial, θθ es el ángulo polar (relativo al eje de la zvertical), y ϕϕ es el ángulo acimutal (respecto al eje de la x). La relación entre las coordenadas esféricas y rectangulares es x=rsenθcosϕ,y=rsenθsenϕ,z=rcosθ.x=rsenθcosϕ,y=rsenθsenϕ,z=rcosθ.

Se muestra un sistema de coordenadas x y z, junto con un punto P y el vector r desde el origen hasta P. En esta figura, el punto P tiene coordenadas de la x, la y y la z positivas. El vector r está inclinado por un ángulo theta desde el eje de la z positiva. Su proyección en el plano x y hace un ángulo theta desde el eje de la x positiva hacia el eje de la y positiva.
Figura 8.3 La relación entre los sistemas de coordenadas esféricas y rectangulares.

El factor rsenθrsenθ es la magnitud de un vector formado por la proyección del vector polar sobre el plano xy. Además, las coordenadas de la x y la y se obtienen proyectando este vector sobre los ejes de la x y la y, respectivamente. La transformación inversa da

r=x2+y2+z2,θ=cos−1(zr),ϕ=cos−1(xx2+y2).r=x2+y2+z2,θ=cos−1(zr),ϕ=cos−1(xx2+y2).

La ecuación de onda de Schrödinger para el átomo de hidrógeno en coordenadas esféricas se discute en cursos más avanzados de física moderna, por lo que aquí no la consideramos en detalle. Sin embargo, debido a la simetría esférica de U(r), esta ecuación se reduce a tres ecuaciones más simples: una para cada una de las tres coordenadas (r,θ,yϕ).(r,θ,yϕ). Las soluciones a la función de onda independiente del tiempo se escriben como un producto de tres funciones:

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),

donde R es la función radial que depende únicamente de la coordenada radial r ΘΘ es la función polar que depende de la coordenada polar θθ solamente; y ΦΦ es la función phi de ϕϕ solamente. Las soluciones válidas de la ecuación de Schrödinger ψ(r,θ,ϕ)ψ(r,θ,ϕ) están marcadas con los números cuánticos n, l y m.

n:número cuántico principall:número cuántico de momento angularm:número cuántico de proyección del momento angularn:número cuántico principall:número cuántico de momento angularm:número cuántico de proyección del momento angular

(Las razones de estos nombres se explicarán en la siguiente sección). La función radial R solo depende de n y l; la función polar ΘΘ solo depende de l y m; y la función phi ΦΦ solo depende de m. La dependencia de cada función de los números cuánticos se indica con subíndices:

ψnlm(r,θ, ϕ)=Rnl(r)Θlm(θ)Φm(ϕ).ψnlm(r,θ, ϕ)=Rnl(r)Θlm(θ)Φm(ϕ).

No todos los conjuntos de números cuánticos(n, l, m) son posibles. Por ejemplo, el número cuántico angular orbital l nunca puede ser mayor o igual que el número cuántico principal n(l<n)n(l<n). En concreto, tenemos

n=1,2,3,l=0,1,2,,(n1)m=l,(l+1),,0,,(+l1),+ln=1,2,3,l=0,1,2,,(n1)m=l,(l+1),,0,,(+l1),+l

Observe que en el estado fundamental, n=1n=1, l=0l=0, y m=0m=0. En otras palabras, solo hay un estado cuántico con la función de onda para n=1n=1, y es ψ100ψ100. Sin embargo, para n=2n=2, tenemos

l=0,m=0 l=1,m=−1,0,1.l=0,m=0 l=1,m=−1,0,1.

Por lo tanto, los estados permitidos para el estado n=2n=2 son ψ200ψ200, ψ211,ψ210ψ211,ψ210, y ψ211ψ211. En la Tabla 8.1 se ofrecen ejemplos de funciones de onda para el átomo de hidrógeno. Observe que algunas de estas expresiones contienen la letra i, que representa −1−1. Cuando se calculan las probabilidades, estos números complejos no aparecen en la respuesta final.

n=1,l=0,ml=0n=1,l=0,ml=0 ψ100=1π1a03/2er/a0ψ100=1π1a03/2er/a0
n=2,l=0,ml=0n=2,l=0,ml=0 ψ200=142π1a03/2(2ra0)er/2a0ψ200=142π1a03/2(2ra0)er/2a0
n=2,l=1,ml=−1n=2,l=1,ml=−1 ψ211=18π1a03/2ra0er/2a0senθeiϕψ211=18π1a03/2ra0er/2a0senθeiϕ
n=2,l=1,ml=0n=2,l=1,ml=0 ψ210=142π1a03/2ra0er/2a0cosθψ210=142π1a03/2ra0er/2a0cosθ
n=2,l=1,ml=1n=2,l=1,ml=1 ψ211=18π1a03/2ra0er/2a0senθeiϕψ211=18π1a03/2ra0er/2a0senθeiϕ
Tabla 8.1 Funciones de onda del átomo de hidrógeno

Significado de los números cuánticos

Cada uno de los tres números cuánticos del átomo de hidrógeno (n, l, m) está asociado a una cantidad física diferente. El número cuántico principal n está asociado a la energía total del electrón, EnEn. Según la ecuación de Schrödinger:

En=(mek2e42ħ2)(1n2)=E0(1n2),En=(mek2e42ħ2)(1n2)=E0(1n2),
8.3

donde E0=−13,6eV.E0=−13,6eV. Observe que esta expresión es idéntica a la del modelo de Bohr. Al igual que en el modelo de Bohr, el electrón en un determinado estado de energía no radia.

Ejemplo 8.1

¿Cuántos estados posibles hay?

En el átomo de hidrógeno, ¿cuántos estados cuánticos posibles corresponden al número principal n=3n=3? ¿Cuáles son las energías de estos estados?

Estrategia

En un átomo de hidrógeno de una energía determinada, el número de estados permitidos depende de su momento angular orbital. Podemos contar estos estados para cada valor del número cuántico principal, n=1,2,3.n=1,2,3. Sin embargo, la energía total depende únicamente del número cuántico principal, lo que significa que podemos utilizar la Ecuación 8.3 y el número de estados contados.

Solución

Si n=3n=3, los valores permitidos de l son 0, 1 y 2. Si l=0l=0, m=0m=0 (1 estado). Si l=1l=1, m=1,0,+1m=1,0,+1 (3 estados); y si l=2l=2, m=2,1,0,+1,+2m=2,1,0,+1,+2 (5 estados). En total, hay 1+3+5=91+3+5=9 estados permitidos. Debido a que la energía total solo depende del número cuántico principal, n=3n=3, la energía de cada uno de estos estados es
En3=E0(1n2)=−13,6eV9=-1,51eV.En3=E0(1n2)=−13,6eV9=-1,51eV.

Importancia

Un electrón en un átomo de hidrógeno puede ocupar muchos estados de momento angular diferentes con la misma energía. A medida que aumenta el momento angular orbital, aumenta el número de estados permitidos con la misma energía.

El número cuántico de momento angular orbital l está asociado al momento angular orbital del electrón en un átomo de hidrógeno. La teoría cuántica nos dice que cuando el átomo de hidrógeno está en el estado ψnlmψnlm, la magnitud de su momento angular orbital es

L=l(l+1),L=l(l+1),
8.4

donde

l=0,1,2,,(n1).l=0,1,2,,(n1).

Este resultado es ligeramente diferente al encontrado con la teoría de Bohr, que cuantiza el momento angular según la regla L=n,donden=1,2,3,....L=n,donden=1,2,3,....

Los estados cuánticos con diferentes valores de momento angular orbital se distinguen utilizando la notación espectroscópica (Tabla 8.2). Las denominaciones s, p, d y f provienen de los primeros intentos históricos de clasificar las líneas espectrales atómicas. (Las letras significan agudo, principal, difuso y fundamental, respectivamente) Después de la f, las letras continúan en orden alfabético.

El estado fundamental del hidrógeno se denomina estado 1s, donde "1" indica el nivel de energía (n=1)(n=1) y "s" indica el estado del momento angular orbital (l=0l=0). Cuando n=2n=2, l puede ser 0 o 1. El estado n=2n=2, l=0l=0 se designa "2s". El estado n=2n=2, l=1l=1 se designa "2p". Cuando n=3n=3, l puede ser 0, 1 o 2, y los estados son 3s, 3p, y 3d, respectivamente. La notación para otros estados cuánticos se da en la Tabla 8.3.

El número cuántico de proyección del momento angular m está asociado al ángulo acimutal ϕϕ (vea la Figura 8.3) y está relacionado con el componente z del momento angular orbital de un electrón en un átomo de hidrógeno. Este componente viene dado por

Lz=m,Lz=m,
8.5

donde

m=l,l+1,,0,,+l1,l.m=l,l+1,,0,,+l1,l.

El componente z del momento angular está relacionado con la magnitud del momento angular a través de

Lz=Lcosθ,Lz=Lcosθ,
8.6

donde θθ es el ángulo entre el vector de momento angular y el eje de la z. Observe que la dirección del eje de la z se determina por el experimento, es decir, a lo largo de cualquier dirección, el experimentador decide medir el momento angular. Por ejemplo, la dirección de la z podría corresponder a la dirección de un campo magnético externo. La relación entre LzyLLzyL se encuentra en la Figura 8.4.

Se muestra un sistema de coordenadas x y z. El vector L forma un ángulo theta con el eje de la z positiva y tiene un componente z positivo L sub z igual a m por h barra. Los componentes x e y son positivos pero no se especifican.
Figura 8.4 El componente z del momento angular está cuantizado con su propio número cuántico m.
Número cuántico orbital l Momento angular Estado Nombre espectroscópico
0 0 s Fino
1 2h2h p Principal
2 6h6h d Difuso
3 12h12h f Fundamental
4 20h20h g
5 30h30h h
Tabla 8.2 Notación espectroscópica y momento angular orbital
l=0l=0 l=1l=1 l=2l=2 l=3l=3 l=4l=4 l=5l=5
n=1n=1 1s
n=2n=2 2s 2p
n=3n=3 3s 3p 3d
n=4n=4 4s 4p 4d 4f
n=5n=5 5s 5p 5d 5f 5g
n=6n=6 6s 6p 6d 6f 6g 6h
Tabla 8.3 Descripción espectroscópica de los estados cuánticos

La cuantización de LzLz equivale a la cuantización de θθ. Sustituyendo l(l+1)l(l+1) para L y m para LzLz en esta ecuación, encontramos

m=l(l+1)cosθ.m=l(l+1)cosθ.
8.7

Así, el ángulo θθ se cuantiza con los valores particulares

θ=cos−1(ml(l+1)).θ=cos−1(ml(l+1)).
8.8

Observe que tanto el ángulo polar (θθ) y la proyección del vector de momento angular sobre un eje de la z arbitrario (LzLz) están cuantizados.

La cuantización del ángulo polar para el estado l=3l=3 se muestra en la Figura 8.5. El vector de momento angular orbital se encuentra en algún lugar de la superficie de un cono con un ángulo de apertura θθ en relación con el eje de la z(a menos que m=0,m=0, en cuyo caso θ=90°θ=90° y los puntos del vector son perpendiculares al eje de la z).

Siete vectores, todos de la misma longitud L, se dibujan en 7 ángulos diferentes con respecto al eje de la z. Las componentes z de los vectores se indican tanto con líneas horizontales desde la punta del vector hasta el eje de la z y con marcas en el eje de la z. Para cuatro de los vectores, también se marca el ángulo entre el eje de la z y el vector. Los valores de la componente z son 3 h barra en el ángulo theta sub tres, 2 h barra en el ángulo theta sub dos, h barra en el ángulo theta sub uno, cero en el ángulo theta sub cero, menos h barra, menos 2 h barra y menos 3 h barra.
Figura 8.5 La cuantización del momento angular orbital. Cada vector se encuentra en la superficie de un cono con eje a lo largo del eje de la z.

Un estudio detallado del momento angular revela que no podemos conocer los tres componentes simultáneamente. En la sección anterior, el componente z del momento angular orbital tiene valores definidos que dependen del número cuántico m. Esto implica que no podemos conocer los componentes x y y del momento angular, LxLx y LyLy, con certeza. En consecuencia, se desconoce la dirección exacta del vector del momento angular orbital.

Ejemplo 8.2

¿Cuáles son las direcciones permitidas?

Calcule los ángulos que el vector de momento angular LL puede hacer con el eje de la z para l=1l=1, como se muestra en la Figura 8.6.
La imagen muestra tres posibles valores de un componente de un determinado momento angular a lo largo del eje de la z. La órbita circular superior se muestra en m sub t = 1 a una distancia L sub z sobre el origen. El vector L forma un ángulo theta uno con el eje de la z. El radio de la órbita es el componente de L perpendicular al eje de la z. La órbita circular del centro se muestra para m sub t = 0. Está en el plano x y. El vector L hace un ángulo de theta dos de 90 grados con el eje de la z. El radio de la órbita es L. La órbita circular inferior se muestra en m sub t = -1 a una distancia L sub z por debajo del origen. El vector L forma un ángulo de theta tres con el eje de la z. El radio de la órbita es el componente de L perpendicular al eje de la z.
Figura 8.6 El componente de un momento angular dado a lo largo del eje de la z (definido por la dirección de un campo magnético) solo puede tener ciertos valores. Estos se muestran aquí para l = 1 l = 1 , para lo cual m = −1 , 0 , y + 1 . m = −1 , 0 , y + 1 . La dirección de L L está cuantizada en el sentido de que solo puede tener ciertos ángulos respecto al eje de la z.

Estrategia

Los vectores LL y LzLz (en la dirección z) forman un triángulo rectángulo, donde LL es la hipotenusa y LzLz es el lado adyacente. La proporción de LzLz a |LL| es el coseno del ángulo de interés. Las magnitudes L=|L|L=|L| y LzLz vienen dadas por
L=l(l+1)yLz=m.L=l(l+1)yLz=m.

Solución

Se nos da l=1l=1, por lo que ml puede ser +1,0,o1.+1,0,o1. Así, L tiene el valor dado por
L=l(l+1)=2.L=l(l+1)=2.

La cantidad LzLz puede tener tres valores, dados por Lz=mlLz=ml.

Lz=ml={,ml=+10,ml=0,ml=−1Lz=ml={,ml=+10,ml=0,ml=−1

Como puede ver en la Figura 8.6, cosθ=Lz/L,cosθ=Lz/L, entonces para m=+1m=+1, tenemos

cosθ1=LZL=2=12=0,707.cosθ1=LZL=2=12=0,707.

Por lo tanto,

θ1=cos−10,707=45,0°.θ1=cos−10,707=45,0°.

Del mismo modo, para m=0m=0, encontramos cosθ2=0;cosθ2=0; esto da

θ2=cos−10=90,0°.θ2=cos−10=90,0°.

Entonces para ml=−1ml=−1:

cos θ 3 = L Z L = 2 = 1 2 = −0,707 , cos θ 3 = L Z L = 2 = 1 2 = −0,707 ,

para que

θ3=cos−1(−0,707)=135,0°.θ3=cos−1(−0,707)=135,0°.

Importancia

Los ángulos son coherentes con la figura. Solo se cuantifica el ángulo relativo al eje de la z. L puede apuntar en cualquier dirección siempre que forme el ángulo adecuado con el eje de la z. Por lo tanto, los vectores del momento angular se encuentran en conos, como se ilustra. Para ver cómo se cumple aquí el principio de correspondencia, considere que el ángulo más pequeño (θ1θ1 en el ejemplo) es para el valor máximo de ml,ml, a saber ml=l.ml=l. Para ese ángulo más pequeño,
cosθ=LzL=ll(l+1),cosθ=LzL=ll(l+1),

que se aproxima a 1 cuando l es muy grande. Si cosθ=1cosθ=1, entonces θ=0ºθ=0º. Además, para l grande, hay muchos valores de mlml, de modo que todos los ángulos son posibles a medida que l se hace muy grande.

Compruebe Lo Aprendido 8.1

¿Puede la magnitud de LzLz igualar en algún momento a L?

Uso de la función de onda para hacer predicciones

Como hemos visto antes, podemos utilizar la mecánica cuántica para hacer predicciones sobre los eventos físicos mediante el uso de declaraciones de probabilidad. Por lo tanto, es correcto afirmar: "un electrón se encuentra dentro de este volumen con esta probabilidad en este momento", pero no: "un electrón se encuentra en la posición (x, y, z) en este momento". Para determinar la probabilidad de encontrar un electrón en un átomo de hidrógeno en una región particular del espacio, es necesario integrar la densidad de probabilidad |ψnlm|2|ψnlm|2 sobre esa región:

Probabilidad=volumen|ψnlm|2dV,Probabilidad=volumen|ψnlm|2dV,
8.9

donde dV es un elemento de volumen infinitesimal. Si esta integral se calcula para todo el espacio, el resultado es 1, porque la probabilidad de que la partícula se encuentre en algún lugar es del 100 % (la condición de normalización). En un curso más avanzado de física moderna, encontrará que |ψnlm|2=ψnlm*ψnlm,|ψnlm|2=ψnlm*ψnlm, donde ψnlm*ψnlm* es el conjugado complejo. Esto elimina las ocurrencias de i=−1i=−1 en el cálculo anterior.

Considere un electrón en un estado de momento angular cero (l=0l=0). En este caso, la función de onda del electrón solo depende de la coordenada radial r. (Consulte los estados ψ100ψ100 y ψ200ψ200 en la Tabla 8.1.) El elemento de volumen infinitesimal corresponde a una cáscara esférica de radio r y espesor infinitesimal dr, escrita como

dV=4πr2dr.dV=4πr2dr.
8.10

La probabilidad de encontrar el electrón en la región r para r+drr+dr ("aproximadamente en r") es de

P(r)dr=|ψn00|24πr2dr.P(r)dr=|ψn00|24πr2dr.
8.11

Aquí, P(r) se denomina función de densidad y probabilidad radial (una probabilidad por unidad de longitud). Para un electrón en el estado fundamental del hidrógeno, la probabilidad de encontrar un electrón en la región r para r+drr+dr es de

|ψn00|24πr2dr=(4/a03)r2exp(−2r/a0)dr,|ψn00|24πr2dr=(4/a03)r2exp(−2r/a0)dr,
8.12

donde a0=0,5a0=0,5 angstroms. La función de densidad y probabilidad radial P(r) se representa en la Figura 8.7. El área bajo la curva entre dos posiciones radiales cualesquiera, por ejemplo r1r1 y r2r2, da la probabilidad de encontrar el electrón en ese rango radial. Para encontrar la posición radial más probable, fijamos la primera derivada de esta función en cero (dP/dr=0dP/dr=0) y resolvemos para r. La posición radial más probable no es igual al valor medio o esperado de la posición radial porque |ψn00|2|ψn00|2 no es simétrica respecto a su valor máximo.

Se muestra una gráfica de la función P de r en función de r. Es cero en r = 0, se eleva a un máximo en r = a sub 0, luego disminuye gradualmente y va asintóticamente a cero en r grande. El máximo está en la posición radial más probable. El área de la región bajo la curva de r sub 1 a r sub 2 está sombreada.
Figura 8.7 La función de densidad y probabilidad radial para el estado fundamental del hidrógeno.

Si el electrón tiene momento angular orbital (l0l0), entonces las funciones de onda que representan al electrón dependen de los ángulos θθ y ϕ;ϕ; es decir, ψnlm=ψnlm=ψnlmψnlm (r, θθ, ϕϕ). Orbitales atómicos para tres estados con n=2n=2 y l=1l=1 se muestran en la Figura 8.8. Un orbital atómico es una región en el espacio que encierra un determinado porcentaje (normalmente el 90 %) de la probabilidad del electrón. (A veces se habla de los orbitales atómicos como "nubes" de probabilidad). Observe que estas distribuciones se acentúan en ciertas direcciones. Esta direccionalidad es importante para los químicos cuando analizan cómo se unen los átomos para formar moléculas.

Este diagrama ilustra las formas de los orbitales p. Los orbitales tienen forma de campana y están orientados a lo largo de los ejes de la x, la y y la z.
Figura 8.8 Las distribuciones de densidad de probabilidad para tres estados con n = 2 n = 2 y l = 1 l = 1 . Las distribuciones se dirigen a lo largo de los ejes de la (a) x, (b) la y, y la (c) z.

Una representación ligeramente diferente de la función de onda se da en la Figura 8.9. En este caso, las regiones claras y oscuras indican lugares de probabilidad relativamente alta y baja, respectivamente. A diferencia del modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón no se mueve alrededor del núcleo del protón en una trayectoria bien definida. De hecho, el principio de incertidumbre hace imposible saber cómo llega el electrón de un lugar a otro.

La figura muestra nubes de probabilidad para electrones en los estados n igual a 1, 2 y 3, l igual a 0, 1 y 2 en una cuadrícula de 3 por 3. n=1, l=0 es una distribución esféricamente simétrica, más brillante en el centro y que se desvanece gradualmente con el aumento del radio, sin nodos. n=2, l=0 es una distribución esféricamente simétrica con un nodo esférico y concéntrico. El nodo aparece como un círculo negro dentro de la nube. La nube es más brillante en el centro, desvaneciéndose hasta el negro en el nodo, volviendo a ser más brillante fuera del nodo (pero no tan brillante como en el centro de la nube), y luego desvaneciéndose de nuevo en r grande. n=2, l=1 tiene un nodo plano a lo largo del diámetro de la nube, apareciendo como una línea oscura a través de la distribución y hendiduras en los bordes. La nube es más brillante cerca del centro, por encima y por debajo del nodo. n=3, l=0 es una distribución esféricamente simétrica con dos nodos esféricos y concéntricos. Los nodos aparecen como círculos negros concéntricos dentro de la nube. La nube es más brillante en el centro, desvaneciéndose hasta el negro en el primer nodo, iluminándose de nuevo hasta un brillo máximo fuera del nodo, desvaneciéndose hasta el negro en el segundo nodo iluminándose de nuevo, y desvaneciéndose de nuevo en r grande. Los máximos locales (en el centro, entre los nodos y fuera del nodo exterior) disminuyen en intensidad. n=3, l=2 tiene tanto un nodo circular concéntrico como un nodo plano a lo largo del diámetro, apareciendo como un círculo en y una línea a través de la nube. La nube es más brillante dentro del nodo circular. Se observa un segundo brillo máximo local dentro de los lóbulos por encima y por debajo del nodo plano. n=3, l=2 tiene dos nodos planos, que aparecen como una X a través de la nube. Los cuartos de la nube así definidos están profundamente hundidos en los bordes, formando lóbulos redondeados. La nube es más brillante cerca del centro.
Figura 8.9 Nubes de probabilidad para el electrón en el estado fundamental y varios estados excitados del hidrógeno. La probabilidad de encontrar el electrón se indica mediante el tono de color; cuanto más claro sea el color, mayor será la probabilidad de encontrar el electrón.
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