William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

Expresar el estado de un electrón en un átomo de hidrógeno en términos de cinco números cuánticos.
Utilizar los números cuánticos para calcular la magnitud y la dirección del espín y del momento magnético de un electrón.
Explicar la estructura fina e hiperfina del espectro del hidrógeno en términos de interacciones magnéticas dentro del átomo de hidrógeno.

En esta sección, consideramos los efectos del espín del electrón. El espín introduce dos números cuánticos adicionales en nuestro modelo del átomo de hidrógeno. Ambos fueron descubiertos observando la estructura fina de los espectros atómicos. El espín es una característica fundamental de todas las partículas, no solo de los electrones, y es análogo al espín intrínseco de los cuerpos extendidos alrededor de sus propios ejes, como la rotación diaria de la Tierra.

El espín se cuantifica de la misma manera que el momento angular orbital. Se ha encontrado que la magnitud del momento angular del espín intrínseco S de un electrón viene dada por

S = \sqrt{s (s + 1)} ℏ,

8.26

donde s se define como el número cuántico de espín. Esto es similar a la cuantización de L dada en la Ecuación 8.4, excepto que el único valor permitido en s para un electrón es $s = 1 / 2 .$ Se dice que el electrón es una "partícula de medio espín". El número cuántico de proyección del espín $m_{s}$ se asocia a los componentes zdel espín, expresados por

S_{z} = m_{s} ℏ .

8.27

En general, los números cuánticos permitidos son

m_{s} = − s, − s + 1, …, 0, …, + s - 1, s .

8.28

En el caso especial de un electrón ( $s = 1 / 2$ ),

m_{s} = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} .

8.29

Las direcciones del espín intrínseco están cuantizadas, al igual que lo estaban en el momento angular orbital. El estado $m_{s} = −1 / 2$ se denomina "espín descendente" y tiene un componente z del espín, $s_{z} = −1 / 2$ ; $el estado m_{s} = + 1 / 2$ se denomina estado de "espín ascendente" y tiene un componente z del espín, $s_{z} = + 1 / 2 .$ Estos estados se muestran en la Figura 8.13.

Los dos estados posibles de espín del electrón se ilustran como vectores de igual longitud, uno apuntando hacia arriba y hacia la derecha, representando el vector S espín ascendente, y el otro apuntando hacia abajo y hacia la derecha, representando el espín descendente. Los dos vectores forman el mismo ángulo con la horizontal. El espín ascendente tiene un componente z de más h barra sobre dos, y el espín descendente tiene un componente z de menos h barra sobre 2.

Figura 8.13 Los dos estados posibles del espín del electrón.

El momento dipolar magnético intrínseco de un electrón $μ_{e}$ también puede expresarse en términos del número cuántico de espín. Por analogía con el momento angular orbital, la magnitud del momento magnético del electrón es

μ_{s} = (\frac{e}{2 m_{e}}) S .

8.30

Según la teoría especial de la relatividad, este valor es bajo por un factor de 2. Así, en forma vectorial, el momento magnético de espín es

\vec{μ} = (\frac{e}{m_{e}}) \vec{S} .

8.31

El componente z del momento magnético es

μ_{z} = − (\frac{e}{m_{e}}) S_{z} = − (\frac{e}{m_{e}}) m_{s} ℏ .

8.32

El número cuántico de proyección del espín tiene solo dos valores $(m_{s} = \pm 1 / 2),$ por lo que el componente z del momento magnético también tiene solo dos valores:

μ_{z} = \pm (\frac{e}{2 m_{e}}) = \pm μ_{B} ℏ,

8.33

donde $μ_{B}$ es un magnetón de Bohr. Un electrón es magnético, así que esperamos que el electrón interactúe con otros campos magnéticos. Consideramos dos casos especiales: la interacción de un electrón libre con un campo magnético externo (no uniforme), y un electrón en un átomo de hidrógeno con un campo magnético producido por el momento angular orbital del electrón.

Ejemplo 8.4

Espín de los electrones y radiación

Un átomo de hidrógeno en estado fundamental se coloca en un campo magnético uniforme externo (

B = 1,5 T

). Determine la frecuencia de la radiación producida en una transición entre los estados de espín ascendente y descendente del electrón.

Estrategia

El número cuántico de proyección del espín es

m_{s} = \pm 1 / 2

, por lo que el componente z del momento magnético es

μ_{z} = \pm (\frac{e}{2 m_{e}}) = \pm μ_{B} ℏ .

La energía potencial asociada a la interacción entre el momento magnético del electrón y el campo magnético externo es

U = − μ_{z} B = \mp μ_{B} B .

La frecuencia de la luz emitida es proporcional a la diferencia de energía ( $Δ E$ ) entre estos dos estados.

Solución

La diferencia de energía entre estos estados es

Δ E = 2 μ_{B} B

, por lo que la frecuencia de la radiación producida es

f = \frac{Δ E}{h} = \frac{2 μ_{B} B}{h} = \frac{2 (5,79 \times \frac{10^{−5} eV}{T}) (1,5 T)}{4,136 \times 10^{−15} eV \cdot s} = 4,2 \times 10^{10} \frac{ciclos}{s} .

Importancia

El momento magnético del electrón se acopla con el campo magnético externo. La energía de este sistema es diferente si el electrón está alineado o no con el protón. La frecuencia de la radiación producida por una transición entre estos estados es proporcional a la diferencia de energía. Si duplicamos la intensidad del campo magnético, manteniendo todo lo demás constante, la frecuencia de la radiación se duplica y su longitud de onda se reduce a la mitad.

En un átomo de hidrógeno, el momento magnético del electrón puede interactuar con el campo magnético producido por el momento angular orbital del electrón, un fenómeno llamado acoplamiento espín-órbita. Los vectores del momento angular orbital ( $\vec{L}$ ), del momento magnético orbital ( $\vec{μ}$ ), del momento angular del espín ( $\vec{S}$ ), y del momento magnético del espín ( ${\vec{μ}}_{s}$ ) se muestran juntos en la Figura 8.14.

Al igual que los niveles de energía de un átomo de hidrógeno pueden ser divididos por un campo magnético externo, los niveles de energía de un átomo de hidrógeno también son divididos por campos magnéticos internos del átomo. Si el momento magnético del electrón y el momento magnético orbital del electrón son antiparalelos, la energía potencial de la interacción magnética es relativamente alta, pero cuando estos momentos son paralelos, la energía potencial es relativamente pequeña. La transición desde cada uno de estos dos estados a un nivel de energía inferior da lugar a la emisión de un fotón de frecuencia ligeramente diferente. Es decir, el acoplamiento espín-órbita "divide" la línea espectral esperada de un electrón sin espín. La estructura fina del espectro del hidrógeno se explica por el acoplamiento espín-órbita.

La órbita de un electrón en un átomo se ilustra como una pequeña esfera en una órbita circular alrededor de una esfera más grande en el centro del círculo. El sentido de la marcha es hacia la derecha (en sentido contrario a las agujas del reloj si se mira hacia abajo). En el núcleo, un vector L apunta hacia arriba (de nuevo, visto desde arriba) y un vector mu sub l apunta hacia abajo. En el electrón, un vector S apunta a un ángulo no especificado con respecto a la dirección de L, y un vector mu sub s apunta en la dirección opuesta a S.

Figura 8.14 El acoplamiento espín-órbita es la interacción del momento magnético de espín de un electrón

{\vec{μ}}_{s}

con su momento magnético orbital

{\vec{μ}}_{l}

.

El experimento de Stern-Gerlach proporciona pruebas experimentales de que los electrones tienen momento angular del espín. El experimento hace pasar una corriente de átomos de plata (Ag) a través de un campo magnético externo no uniforme. El átomo de Ag tiene un momento angular orbital de cero y contiene un solo electrón no apareado en la capa exterior. Por lo tanto, el momento angular total del átomo de Ag se debe enteramente al espín del electrón exterior ( $s = 1 / 2)$ . Debido al espín de los electrones, los átomos de Ag actúan como pequeños imanes al pasar por el campo magnético. Estos "imanes" tienen dos orientaciones posibles, que corresponden a los estados de espín ascendente y descendente del electrón. El campo magnético desvía los átomos de espín hacia arriba en una dirección y los de espín hacia abajo en otra. Esto produce dos bandas distintas en una pantalla (Figura 8.15).

La figura muestra una ilustración de un experimento de Stern Gerlach. Un haz de átomos de plata sale de un horno y es colimado al pasar por una rendija. El haz colimado entra en un imán. Al pasar entre los polos del imán, el campo magnético no uniforme hace que el haz se divida en dos. Una parte se mueve en dirección al polo norte, la otra en dirección al polo sur. Los dos haces salen del imán y chocan con una placa fotográfica en dos lugares distintos.

Figura 8.15 En el experimento de Stern-Gerlach, un campo magnético externo no uniforme desvía un haz de electrones en dos direcciones diferentes. Este resultado se debe a la cuantización del momento angular del espín.

Según las predicciones clásicas, el momento angular (y, por tanto, el momento magnético) del átomo de Ag puede apuntar en cualquier dirección, por lo que se espera, en cambio, una mancha continua en la pantalla. Las dos bandas resultantes del experimento de Stern-Gerlach proporcionan un apoyo sorprendente a las ideas de la mecánica cuántica.

Interactivo

Visite las simulaciones interactivas PhET Explorations: Experimento De Stern-Gerlach para aprender más sobre este experimento.

Compruebe Lo Aprendido 8.2

Si el experimento de Stern-Gerlach arrojara cuatro bandas distintas en lugar de dos, ¿qué podría concluirse sobre el número cuántico de espín de la partícula cargada?

Al igual que el electrón, el protón tiene 1/2 espín y un momento magnético. (Según la teoría nuclear, este momento se debe al movimiento orbital de los cuarks dentro del protón) La estructura hiperfina del espectro del hidrógeno se explica por la interacción entre el momento magnético del protón y el momento magnético del electrón, una interacción conocida como acoplamiento espín-espín. La energía del sistema electrón-protón es diferente dependiendo de si los momentos están alineados o no. Las transiciones entre estos estados (transiciones de espín-flip) dan lugar a la emisión de un fotón con una longitud de onda de $λ \approx 21 cm$ (en el rango del radio). La línea de 21 cm en la espectroscopia atómica es una "huella digital" del gas hidrógeno. Los astrónomos aprovechan esta línea espectral para cartografiar los brazos espirales de las galaxias, que se componen principalmente de hidrógeno (Figura 8.16).

Tres imágenes del telescopio de la galaxia del molinete. En la figura a, la imagen es de luz visible. La galaxia aparece como un conjunto de estrellas, muy densas en el centro y con brazos en espiral. La figura b es una imagen de radiación de 21 c m. La naturaleza espiral es más clara en esta imagen, y la protuberancia central está ausente. En la figura c se superponen las imágenes visibles y las de 21 c m.

Figura 8.16 La interacción magnética entre el electrón y el protón en el átomo de hidrógeno se utiliza para cartografiar los brazos espirales de la Galaxia del Molinete (NGC 5457). (a) La galaxia vista en luz visible; (b) la galaxia vista en radiación de hidrógeno de 21 cm; (c) la imagen compuesta de (a) y (b). Observe cómo la emisión de hidrógeno penetra en el polvo de la galaxia para mostrar los brazos espirales con gran claridad, mientras que el núcleo galáctico se muestra mejor en luz visible (crédito a: modificación del trabajo de la Agencia Espacial Europea [European Space Agency, ESA], Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio [National Aeronautics and Space Administration, NASA]; crédito b: modificación del trabajo de Fabian Walter).

Una especificación completa del estado de un electrón en un átomo de hidrógeno requiere cinco números cuánticos: n, l, m, s y $m_{s}$ . Los nombres, símbolos y valores permitidos de estos números cuánticos se resumen en la Tabla 8.4.

Nombre	Símbolo	Valores permitidos
Número cuántico principal	n	1, 2, 3, …
Momento angular	l	0, 1, 2, … n – 1
Proyección del momento angular	m	$0, \pm 1, \pm 2,... \pm l$
Espín	s	1/2 (electrones)
Proyección de espín	_{$m_{s}$}	$- ½, + ½$

Tabla 8.4 Resumen de los números cuánticos de un electrón en un átomo de hidrógeno

Observe que los números cuánticos intrínsecos introducidos en esta sección (s y _ms) son válidos para muchas partículas, no solo para los electrones. Por ejemplo, los cuarks dentro de un núcleo atómico también son partículas de medio espín. Como veremos más adelante, los números cuánticos ayudan a clasificar las partículas subatómicas y entran en los modelos científicos que intentan explicar el funcionamiento del universo.

8.3 Espín del electrón

Espín de los electrones y radiación

Estrategia

Solución

Importancia