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Física Universitaria Volumen 3

7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial

Física Universitaria Volumen 37.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir cómo una partícula cuántica puede atravesar a través de un túnel una barrera de potencial.
  • Identificar los parámetros físicos importantes que afectan a la probabilidad de tunelización.
  • Identificar los fenómenos físicos en los que se observa el efecto túnel.
  • Explicar cómo se utiliza el efecto túnel en las tecnologías modernas.

El efecto túnel es un fenómeno en el que las partículas atraviesan una barrera de energía potencial con una altura mayor que la energía total de las partículas. El fenómeno es interesante e importante porque viola los principios de la mecánica clásica. El efecto túnel es importante en los modelos del Sol y tiene una amplia gama de aplicaciones, como el microscopio de efecto de túnel y el diodo de túnel.

Túnel y energía potencial

Para ilustrar el efecto túnel, considere una bola que rueda a lo largo de una superficie con una energía cinética de 100 J. A medida que la bola rueda, se encuentra con una colina. La energía potencial de la bola colocada en la cima de la colina es de 10 J. Por lo tanto, la bola (con 100 J de energía cinética) rueda fácilmente por encima de la colina y sigue adelante. En la mecánica clásica, la probabilidad de que la bola pase por encima de la colina es exactamente 1, lo que hace siempre. Sin embargo, si se aumenta la altura de la colina (una bola colocada en la cima de la colina tiene una energía potencial de 200 J) la bola avanza solo una parte de la colina, se detiene y regresa en la dirección en la que vino. La energía total de la bola se convierte por completo en energía potencial antes de que pueda llegar a la cima de la colina. Nunca esperamos, incluso después de repetidos intentos, que la bola con 100 J se encuentre más allá de la colina. Por lo tanto, la probabilidad de que la bola pase por encima de la colina es exactamente 0, y la probabilidad de que sea devuelta o "reflejada" por la colina es exactamente 1. La bola nunca llega a la cima de la colina. La existencia de la bola más allá de la colina es una imposibilidad o está "energéticamente prohibida".

Sin embargo, según la mecánica cuántica, la bola tiene una función de onda y esta función está definida sobre todo el espacio. La función de onda puede estar muy localizada, pero siempre existe la posibilidad de que al encontrarse la bola con la colina, ésta se encuentre de repente más allá. De hecho, esta probabilidad es apreciable si el "paquete de ondas" de la bola es más amplio que la barrera.

Interactivo

Vea esta simulación interactiva para una simulación de túnel.

En el lenguaje de la mecánica cuántica, la colina se caracteriza por una barrera de potencial. Una barrera cuadrada de altura finita se describe mediante la siguiente función de energía potencial:

U(x)={0,cuandox<0U0,cuando0xL0,cuandox>L.U(x)={0,cuandox<0U0,cuando0xL0,cuandox>L.
7.59

La barrera de potencial se ilustra en la Figura 7.16. Cuando la altura U0U0 de la barrera es infinita, el paquete de ondas que representa a una partícula cuántica incidente es incapaz de penetrarla, y la partícula cuántica rebota desde la frontera de la barrera, al igual que una partícula clásica. Cuando el ancho L de la barrera es infinita y su altura es finita, una parte del paquete de ondas que representa a una partícula cuántica incidente puede filtrarse a través de la frontera de la barrera y acabar pereciendo tras recorrer cierta distancia dentro de la misma.

El potencial U de x se representa en función de x. U es cero para x menor que 0 y para x mayor que L. Es igual a U sub 0 entre x =0 y x=L. La energía constante E se indica como una línea horizontal punteada en un valor menor que U sub 0. La región x menor que 0 está marcada como región I y tiene ondas incidentes y reflejadas, que van a la derecha y a la izquierda respectivamente. La región entre x=0 y x=L está marcada como región II. La región x mayor que L está marcada como región III y solo tiene ondas transmitidas que van hacia la derecha.
Figura 7.16 Una barrera de energía potencial de altura U 0 U 0 crea tres regiones físicas con tres comportamientos de onda diferentes. En la región I, donde x < 0 x < 0 , un paquete de ondas incidente (partícula incidente) se mueve en una zona libre de potencial y coexiste con un paquete de ondas reflejado (partícula reflejada). En la región II, una parte de la onda incidente que no se ha reflejado en x = 0 x = 0 se mueve como una onda transmitida en un potencial constante U ( x ) = + U 0 U ( x ) = + U 0 y pasa por túneles a través de la región III en x = L x = L . En la región III para x > L x > L , un paquete de ondas (partícula transmitida) que ha atravesado la barrera de potencial se mueve como una partícula libre en la zona libre de potencial. La línea horizontal indica la energía E de la partícula incidente.

Cuando tanto el ancho L como la altura U0U0 son finitos, una parte del paquete de ondas cuánticas que incide en un lado de la barrera puede penetrar la frontera de la misma y continuar su movimiento dentro de ella, donde se atenúa gradualmente en su camino hacia el otro lado. Una parte del paquete de ondas cuánticas incidente acaba emergiendo al otro lado de la barrera en forma del paquete de ondas transmitido que atravesó la barrera. La parte de la onda incidente que puede atravesar una barrera depende del ancho L de la barrera y de su altura U0U0, y de la energía E de la partícula cuántica que incide en la barrera. Esta es la física de los túneles.

La penetración de la barrera mediante funciones de onda cuánticas fue analizada teóricamente por primera vez por Friedrich Hund en 1927, poco después de que Schrӧdinger publicara la ecuación que lleva su nombre. Un año después, George Gamow utilizó el formalismo de la mecánica cuántica para explicar el decaimiento radioactivo αα de los núcleos atómicos como fenómeno del efecto túnel. La invención del diodo de túnel en 1957 puso de manifiesto la importancia del efecto túnel para la industria de los semiconductores. En las nanotecnologías modernas, los átomos individuales se manipulan gracias al conocimiento del efecto túnel.

Túnel y función de onda

Supongamos que un haz uniforme e independiente del tiempo de electrones u otras partículas cuánticas con energía E que viajan a lo largo del eje de la x (en la dirección positiva hacia la derecha) se encuentra con una barrera de potencial descrita en la Ecuación 7.59. La pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de que una partícula individual del haz atraviese a través de un túnel la barrera de potencial? La respuesta puede encontrarse resolviendo el problema de condición de frontera para la ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo para una partícula en el haz. La forma general de esta ecuación viene dada por la Ecuación 7.60, que reproducimos aquí:

22md2ψ(x)dx2+U(x)ψ(x)=Eψ(x),donde<x<+.22md2ψ(x)dx2+U(x)ψ(x)=Eψ(x),donde<x<+.
7.60

En la Ecuación 7.60, la función potencial U(x) se define por la Ecuación 7.59. Suponemos que la energía E dada de la partícula entrante es menor que la altura U0U0 de la barrera de potencial, E<U0E<U0, porque este es el caso físico interesante. Conociendo la energía E de la partícula entrante, nuestra tarea es resolver la Ecuación 7.60 para una función ψ(x)ψ(x) que es continua y tiene primeras derivadas continuas para toda la x. En otras palabras, buscamos una solución de "aspecto liso" (porque así es como se ven las funciones de onda) a la que se le pueda dar una interpretación probabilística de manera que |ψ(x)|2=ψ*(x)ψ(x)|ψ(x)|2=ψ*(x)ψ(x) es la densidad de probabilidad.

Dividimos el eje real en tres regiones con las fronteras definidas por la función potencial en la Ecuación 7.59 (ilustrado en la Figura 7.16) y transcribimos la Ecuación 7.60 de cada región. Denotando por ψI(x)ψI(x) la solución en la región I para x<0x<0, para ψII(x)ψII(x) la solución en la región II para 0xL0xL, y para ψIII(x)ψIII(x) la solución en la región III para x>Lx>L, la ecuación estacionaria de Schrӧdinger tiene las siguientes formas en estas tres regiones:

22md2ψI(x)dx2=EψI(x),en la región I:<x<0,22md2ψI(x)dx2=EψI(x),en la región I:<x<0,
7.61
22md2ψII(x)dx2+U0ψII(x)=EψII(x),en la región II:0xL,22md2ψII(x)dx2+U0ψII(x)=EψII(x),en la región II:0xL,
7.62
22md2ψIII(x)dx2=EψIII(x),en la región III:L<x<+.22md2ψIII(x)dx2=EψIII(x),en la región III:L<x<+.
7.63

La condición de continuidad en las fronteras de la región requiere que:

ψI(0)=ψII(0),en la frontera entre las regiones I y IIψI(0)=ψII(0),en la frontera entre las regiones I y II
7.64

y

ψII(L)=ψIII(L),en la frontera entre las regiones II y III.ψII(L)=ψIII(L),en la frontera entre las regiones II y III.
7.65

La condición de "lisura" requiere que la primera derivada de la solución sea continua en las fronteras de la región:

dψI(x)dx|x=0=dψII(x)dx|x=0,en la frontera entre las regiones I y II;dψI(x)dx|x=0=dψII(x)dx|x=0,en la frontera entre las regiones I y II;
7.66

y

dψII(x)dx|x=L=dψIII(x)dx|x=L,en la frontera entre las regiones II y III.dψII(x)dx|x=L=dψIII(x)dx|x=L,en la frontera entre las regiones II y III.
7.67

En lo que sigue, encontramos las funciones ψI(x)ψI(x), ψII(x)ψII(x), y ψIII(x)ψIII(x).

Podemos comprobar fácilmente (sustituyendo en la ecuación original y diferenciando) que en las regiones I y III, las soluciones deben tener las siguientes formas generales:

ψI(x)=Ae+ikx+BeikxψI(x)=Ae+ikx+Beikx
7.68
ψIII(x)=Fe+ikx+GeikxψIII(x)=Fe+ikx+Geikx
7.69

donde k=2mE/k=2mE/ es un número de onda y el exponente complejo denota las oscilaciones,

e±ikx=coskx±isenkx.e±ikx=coskx±isenkx.
7.70

Las constantes A, B, F y G en la Ecuación 7.68 y la Ecuación 7.69 pueden ser complejas. Estas soluciones se ilustran en la Figura 7.16. En la región I, hay dos ondas: una incidente (que se mueve hacia la derecha) y otra reflejada (que se mueve hacia la izquierda), por lo que ninguna de las constantes A y B en la Ecuación 7.68 puede desaparecer. En la región III, solo hay una onda (que se mueve hacia la derecha), que es la onda transmitida, por lo que la constante G debe ser cero en la Ecuación 7.69, G=0G=0. Podemos escribir explícitamente que la onda incidente es ψin(x)=Ae+ikxψin(x)=Ae+ikx y que la onda reflejada es ψref(x)=Beikxψref(x)=Beikx, y que la onda transmitida es ψtra(x)=Fe+ikxψtra(x)=Fe+ikx. La amplitud de la onda incidente es

|ψin(x)|2=ψin*(x)ψin(x)=(Ae+ikx)*Ae+ikx=A*eikxAe+ikx=A*A=|A|2.|ψin(x)|2=ψin*(x)ψin(x)=(Ae+ikx)*Ae+ikx=A*eikxAe+ikx=A*A=|A|2.

Del mismo modo, la amplitud de la onda reflejada es |ψref(x)|2=|B|2|ψref(x)|2=|B|2 y la amplitud de la onda transmitida es |ψtra(x)|2=|F|2|ψtra(x)|2=|F|2. Sabemos por la teoría de las ondas que el cuadrado de la amplitud de la onda es directamente proporcional a la intensidad de esta. Si queremos saber qué parte de la onda incidente atraviesa la barrera, tenemos que calcular el cuadrado de la amplitud de la onda transmitida. La probabilidad de transmisión o probabilidad de tunelización es la relación entre la intensidad transmitida (|F|2)(|F|2) y la intensidad del incidente (|A|2)(|A|2), escrita como

T(L,E)=|ψtra(x)|2|ψin(x)|2=|F|2|A|2=|FA|2T(L,E)=|ψtra(x)|2|ψin(x)|2=|F|2|A|2=|FA|2
7.71

donde L es el ancho de la barrera y E es la energía total de la partícula. Es la probabilidad de que una partícula individual del haz incidente atraviese la barrera de potencial. Intuitivamente, entendemos que esta probabilidad debe depender de la altura de la barrera U0U0.

En la región II, los términos de la ecuación para la Ecuación 7.62 pueden reordenarse para obtener

d2ψII(x)dx2=β2ψII(x)d2ψII(x)dx2=β2ψII(x)
7.72

donde β2β2 es positivo porque U0>EU0>E y el parámetro ββ es un número real,

β2=2m2(U0E).β2=2m2(U0E).
7.73

La solución general de la Ecuación 7.72 no es oscilatoria (a diferencia de las otras regiones) y tiene la forma de exponenciales que describen una atenuación gradual de ψII(x)ψII(x),

ψII(x)=Ceβx+De+βx.ψII(x)=Ceβx+De+βx.
7.74

Los dos tipos de soluciones en las tres regiones se ilustran en la Figura 7.17.

La solución del potencial de barrera U de x se representa en función de x. U es cero para x menor que 0 y para x mayor que L. Es igual a U sub 0 entre x =0 y x=L. La función de onda oscila en la región x menor que cero. La función de onda está marcada como psi sub I en esta región. Decae exponencialmente en la región entre x=0 y x=L, y está marcada como psi sub I I en esta región. Vuelve a oscilar en la región x mayor que L, donde está marcada psi sub I I I. La amplitud de las oscilaciones es menor en la región I I I que en la región I, pero la longitud de onda es la misma. La función de onda y su derivada son continuas en x=0 y x=L.
Figura 7.17 Tres tipos de soluciones a la ecuación estacionaria de Schrӧdinger para el problema de túnel cuántico: Comportamiento oscilatorio en las regiones I y III, donde una partícula cuántica se mueve libremente, y comportamiento de decaimiento exponencial en la región II (la región de la barrera), donde la partícula se mueve en el potencial U 0 U 0 .

Ahora utilizamos las condiciones de frontera para encontrar ecuaciones para las constantes desconocidas. La Ecuación 7.68 y la Ecuación 7.74 se sustituyen en la Ecuación 7.64 para obtener

A+B=C+D.A+B=C+D.
7.75

La Ecuación 7.74 y la Ecuación 7.69 se sustituyen en la Ecuación 7.65 para obtener

CeβL+De+βL=Fe+ikL.CeβL+De+βL=Fe+ikL.
7.76

Del mismo modo, sustituimos la Ecuación 7.68 y la Ecuación 7.74 en la Ecuación 7.66, diferenciamos y obtenemos

ik(AB)=β(DC).ik(AB)=β(DC).
7.77

Del mismo modo, la condición de frontera de la Ecuación 7.67 dice explícitamente

β(De+βLCeβL)=ikFe+ikL.β(De+βLCeβL)=ikFe+ikL.
7.78

Ahora tenemos cuatro ecuaciones para cinco constantes desconocidas. Sin embargo, como la cantidad que buscamos es el coeficiente de transmisión, definido en la Ecuación 7.71 por la fracción F/A, el número de ecuaciones es exactamente el correcto, ya que al dividir cada una de las ecuaciones anteriores por A, acabamos obteniendo solo cuatro fracciones desconocidas: B/A, C/A, D/A, y F/A, tres de los cuales pueden eliminarse para hallar F/A. El álgebra real que lleva a la expresión de F/A es bastante larga, pero puede hacerse manualmente o con la ayuda de un programa informático. El resultado final es

FA=eikLcosh(βL)+i(γ/2)senh(βL).FA=eikLcosh(βL)+i(γ/2)senh(βL).
7.79

Al derivar Ecuación 7.79, para evitar el desorden, utilizamos las sustituciones γβ/kk/βγβ/kk/β,

coshy=ey+ey2,ysenhy=eyey2.coshy=ey+ey2,ysenhy=eyey2.

Sustituimos la Ecuación 7.79 en la Ecuación 7.71 y obtenemos la expresión exacta del coeficiente de transmisión para la barrera,

T(L,E)=(FA)*FA=e+ikLcosh(βL)i(γ/2)senh(βL)·eikLcosh(βL)+i(γ/2)senh(βL)T(L,E)=(FA)*FA=e+ikLcosh(βL)i(γ/2)senh(βL)·eikLcosh(βL)+i(γ/2)senh(βL)

o

T(L,E)=1cosh2(βL)+(γ/2)2senh2(βL)T(L,E)=1cosh2(βL)+(γ/2)2senh2(βL)
7.80

donde

(γ2)2=14(1E/U0E/U0+E/U01E/U02).(γ2)2=14(1E/U0E/U0+E/U01E/U02).

En una barrera ancha y alta con una transmisión deficiente, la Ecuación 7.80 puede aproximarse por

T(L,E)=16EU0(1EU0)e2βL.T(L,E)=16EU0(1EU0)e2βL.
7.81

Tanto si se trata de la expresión exacta en la Ecuación 7.80 como de la expresión aproximada en la Ecuación 7.81, vemos que el efecto túnel depende muy fuertemente del ancho L de la barrera de potencial. En el laboratorio, podemos ajustar tanto la altura potencial U0U0 y el ancho L para diseñar nanodispositivos con coeficientes de transmisión deseables.

Ejemplo 7.12

Coeficiente de transmisión

Dos nanoalambres de cobre están aislados por una nanocapa de óxido de cobre que proporciona una barrera de potencial de 10,0 eV. Estime la probabilidad de tunelización entre los nanoalambres por electrones de 7,00 eV a través de una capa de óxido de 5,00 nm de espesor. ¿Y si el grosor de la capa se redujera a solo 1,00 nm? ¿Qué pasaría si la energía de los electrones se aumentara a 9,00 eV?

Estrategia

Tratando la capa de óxido aislante como una barrera de potencial de altura finita, utilizamos la Ecuación 7.81. Identificamos U0=10,0eVU0=10,0eV, E1=7,00eVE1=7,00eV, E2=9,00eVE2=9,00eV, L1=5,00nmL1=5,00nm, y L2=1,00nmL2=1,00nm. Utilizamos la Ecuación 7.73 para calcular el exponente. Además, necesitamos la masa en reposo del electrón m=511keV/c2m=511keV/c2 y la constante de Planck =0,1973keV·nm/c=0,1973keV·nm/c. Es típico que este tipo de estimaciones se refieran a cantidades muy pequeñas que a menudo no son adecuadas para las calculadoras de mano. Para hacer una estimación correcta de los órdenes, hacemos la conversión ey=10y/ln10ey=10y/ln10.

Solución

Constantes:
2m2=2(511keV/c2)(0,1973keV·nm/c)2=26,2541keV·(nm)2,2m2=2(511keV/c2)(0,1973keV·nm/c)2=26,2541keV·(nm)2,
β=2m2(U0E)=26,254(10,0eVE)keV·(nm)2=26,254(10,0eVE)/eV1nm.β=2m2(U0E)=26,254(10,0eVE)keV·(nm)2=26,254(10,0eVE)/eV1nm.

Para un electrón de baja energía con E1=7,00eVE1=7,00eV:

β1=26,254(10,00eVE1)/eV1nm=26,254(10,007,00)1nm=8,875nm,β1=26,254(10,00eVE1)/eV1nm=26,254(10,007,00)1nm=8,875nm,
T(L,E1)=16E1U0(1E1U0)e2β1L=16710(1710)e17,75L/nm=3,36e17,75L/nm.T(L,E1)=16E1U0(1E1U0)e2β1L=16710(1710)e17,75L/nm=3,36e17,75L/nm.

Para un electrón de mayor energía con E2=9,00eVE2=9,00eV:

β2=26,254(10,00eVE2)/eV1nm=26,254(10,009,00)1nm=5,124nm,β2=26,254(10,00eVE2)/eV1nm=26,254(10,009,00)1nm=5,124nm,
T(L,E2)=16E2U0(1E2U0)e2β2L=16910(1910)e10,25L/nm=1,44e10,25L/nm.T(L,E2)=16E2U0(1E2U0)e2β2L=16910(1910)e10,25L/nm=1,44e10,25L/nm.

Para una barrera ancha con L1=5,00nmL1=5,00nm:

T(L1,E1)=3,36e17,75L1/nm=3,36e17,75·5,00nm/nm=3,36e−88=3,36(6,2×10-39)=2,1%×10−36,T(L1,E1)=3,36e17,75L1/nm=3,36e17,75·5,00nm/nm=3,36e−88=3,36(6,2×10-39)=2,1%×10−36,
T(L1,E2)=1,44e10,25L1/nm=1,44e10,25·5,00nm/nm=1,44e51,2=1,44(5,81×10−12)=8,36%×10−25.T(L1,E2)=1,44e10,25L1/nm=1,44e10,25·5,00nm/nm=1,44e51,2=1,44(5,81×10−12)=8,36%×10−25.

Para una barrera más estrecha con L2=1,00nmL2=1,00nm:

T(L2,E1)=3,36e17,75L2/nm=3,36e17,75·1,00nm/nm=3,36e-17,75=3,36(5,1×10−7)=1,7%×10−4,T(L2,E1)=3,36e17,75L2/nm=3,36e17,75·1,00nm/nm=3,36e-17,75=3,36(5,1×10−7)=1,7%×10−4,
T(L2,E2)=1,44e10,25L2/nm=1,44e10,25·1,00nm/nm=1,44e10,25=1,44(3,53×10−5)=5,09%×10−7.T(L2,E2)=1,44e10,25L2/nm=1,44e10,25·1,00nm/nm=1,44e10,25=1,44(3,53×10−5)=5,09%×10−7.

Importancia

De estas estimaciones se desprende que la probabilidad de tunelización se ve más afectada por el ancho de la barrera de potencial que por la energía de una partícula incidente. En las tecnologías actuales, podemos manipular átomos individuales en las superficies metálicas para crear barreras de potencial que son fracciones de un nanómetro, dando lugar a corrientes de túnel medibles. Una de las muchas aplicaciones de esta tecnología es el microscopio de efecto túnel (STM), del que hablaremos más adelante en esta sección.

Compruebe Lo Aprendido 7.10

Un protón con energía cinética de 1,00 eV incide sobre una barrera de potencial cuadrada con altura de 10,00 eV. Para que el protón tenga la misma probabilidad de transmisión que un electrón de la misma energía, ¿cuál debe ser el ancho de la barrera en relación con la anchura de la barrera que encuentra un electrón?

Decaimiento radiactivo

En 1928, Gamow identificó el efecto túnel como el mecanismo responsable del decaimiento radiactivo de los núcleos atómicos. Observó que algunos isótopos de torio, uranio y bismuto se desintegran emitiendo partículas αα(que son átomos de helio doblemente ionizados o, simplemente, núcleos de helio). En el proceso de emisión de una partícula αα, el núcleo original se transforma en un nuevo núcleo que tiene dos neutrones y dos protones menos que el núcleo original. Las partículas αα emitidas por un isótopo tienen aproximadamente las mismas energías cinéticas. Cuando observamos las variaciones de estas energías entre los isótopos de varios elementos, la energía cinética más baja es de unos 4 MeV y la más alta de unos 9 MeV, por lo que estas energías son del mismo orden de magnitud. Aquí es donde terminan las similitudes entre los distintos isótopos.

Cuando inspeccionamos las vidas medias (una vida media es el tiempo en el que una muestra radiactiva pierde la mitad de sus núcleos debido al decaimiento), los diferentes isótopos difieren ampliamente. Por ejemplo, la vida media del polonio-214 es 160µs160µs y la vida media del uranio es de 4.500 millones de años. Gamow explicó esta variación considerando un modelo de "caja esférica" del núcleo, donde las partículas αα pueden rebotar entre las paredes como partículas libres. El confinamiento lo proporciona un fuerte potencial nuclear en una pared esférica de la caja. Sin embargo, el grosor de esta pared no es infinito sino finito, por lo que, en principio, una partícula nuclear tiene la posibilidad de escapar de este confinamiento nuclear. En la pared interior de la barrera de confinamiento hay un alto potencial nuclear que mantiene a la partícula αα en un pequeño confinamiento. Pero cuando una partícula αα sale al otro lado de esta pared, está sujeta a la repulsión electrostática de Coulomb y se aleja del núcleo. Esta idea se ilustra en la Figura 7.18. El ancho L de la barrera de potencial que separa una partícula αα del mundo exterior depende de la energía cinética E de la partícula. Este ancho es la distancia entre el punto marcado por el radio nuclear R y el punto R0R0 donde una partícula αα emerge al otro lado de la barrera, L=R0RL=R0R. En la distancia R0R0, su energía cinética debe ser al menos igual a la energía electrostática de repulsión, E=(4πε0)−1Ze2/R0E=(4πε0)−1Ze2/R0 (donde +Ze+Ze es la carga del núcleo). De esta manera podemos estimar el ancho de la barrera nuclear,

L=e24πε0ZER.L=e24πε0ZER.

De esta estimación se desprende que cuanto mayor sea la energía de la partícula αα, más estrecho es el ancho de la barrera que debe atravesar. También sabemos que el ancho de la barrera de potencial es el parámetro más importante en la probabilidad de tunelización. Por lo tanto, la energía de las partículas αα tienen una buena oportunidad de escapar del núcleo y, para tales núcleos, la vida media de desintegración nuclear es corta. Observe que este proceso es altamente no lineal, lo que significa que un pequeño aumento de la energía de la partícula αα tiene un efecto de aumento desproporcionado en la probabilidad de tunelización y, en consecuencia, en el acortamiento de la vida media. Esto explica por qué la vida media del polonio, que emite partículas αα de 8-MeV es de solo cientos de milisegundos y la vida media del uranio que emite partículas αα de 4-MeV es de miles de millones de años.

El potencial U de r se representa en función de r. Para r menos que R, U de r es constante y negativa. En r = R, el potencial se eleva verticalmente hasta un valor máximo positivo, y luego decae hacia cero. El área bajo la curva está sombreada. U de r es igual a E en r igual a R sub 0. Se muestra una línea discontinua horizontal en E=E y una línea discontinua vertical en r=R sub 0.
Figura 7.18 La barrera de energía potencial de una partícula α α unida en el núcleo: para escapar del núcleo, una partícula α α con energía E debe atravesar la barrera desde la distancia R hasta la distancia R 0 R 0 lejos del centro.

Emisión de campo

La emisión de campo es un proceso de emisión de electrones desde superficies conductoras debido a un fuerte campo eléctrico externo que se aplica en la dirección normal a la superficie (Figura 7.19). Como sabemos por nuestro estudio de los campos eléctricos en capítulos anteriores, un campo eléctrico externo aplicado hace que los electrones de un conductor se desplacen hacia su superficie y permanezcan allí siempre que el campo externo presente no sea excesivamente fuerte. En esta situación, tenemos un potencial eléctrico constante en todo el interior del conductor, incluida su superficie. En el lenguaje de la energía potencial, decimos que un electrón dentro del conductor tiene una energía potencial constante U(x)=U0U(x)=U0 (aquí, la x significa dentro del conductor). En la situación representada en la Figura 7.19, donde el campo eléctrico externo es uniforme y tiene magnitud EgEg, si un electrón se encuentra fuera del conductor a una distancia x de su superficie, su energía potencial tendría que ser U(x)=eEgxU(x)=eEgx (aquí, la x denota la distancia a la superficie). Tomando el origen en la superficie, para que x=0x=0 sea la ubicación de la superficie, podemos representar la energía potencial de los electrones de conducción en un metal como la barrera de energía potencial mostrada en la Figura 7.20. En ausencia del campo externo, la energía potencial se convierte en una barrera de paso definida por U(x0)=U0U(x0)=U0 y por U(x>0)=0U(x>0)=0.

El potencial U de r se representa en función de r. Para r menos que R, U de r es constante y negativa. En r = R, el potencial se eleva verticalmente hasta un valor máximo positivo, y luego decae hacia cero. El área bajo la curva está sombreada. U de r es igual a E en r igual a R sub 0. Se muestra una línea discontinua horizontal en E=E y una línea discontinua vertical en r=R sub 0.
Figura 7.19 Un campo eléctrico externo de dirección normal en la superficie de un conductor: en un campo fuerte, los electrones de una superficie conductora pueden desprenderse de ella y acelerar contra el campo eléctrico externo alejándose de la superficie.
U de x se grafica en función de x. Para x menor que cero, U de x tiene un valor constante de menos U sub cero. En x=0, U de x salta a un valor de cero. Para x mayor que cero, U de x es igual a menos e por E sub g por x. El área bajo la curva está sombreada. La energía es una constante negativa, mostrada como una línea discontinua, a un valor de menos phi. U de x es igual a E en x igual a phi dividido por la cantidad e por E sub g.
Figura 7.20 La barrera de energía potencial en la superficie de un conductor metálico en presencia de un campo eléctrico uniforme externo E g E g normal a la superficie: se convierte en una barrera de función escalonada cuando se elimina el campo externo. La función de trabajo del metal se indica con ϕ . ϕ .

Cuando un campo eléctrico externo es fuerte, los electrones de conducción en la superficie pueden desprenderse de ella y acelerar a lo largo de las líneas de campo eléctrico en una dirección antiparalela al campo externo, alejándose de la superficie. En resumen, los electrones de conducción pueden escapar de la superficie. La emisión de campo puede entenderse como un efecto túnel de electrones de conducción a través de la barrera de potencial en la superficie del conductor. El principio físico que se aplica aquí es muy similar al mecanismo de emisión αα de un núcleo radiactivo.

Supongamos que un electrón de conducción tiene una energía cinética E (la energía cinética promedio de un electrón en un metal es la función de trabajo ϕϕ para el metal y puede ser medido, como se discute en el efecto fotoeléctrico en Fotones y ondas de materia), y un campo eléctrico externo puede ser aproximado localmente por un campo eléctrico uniforme de fuerza EgEg. El ancho L de la barrera de potencial que debe atravesar el electrón es la distancia desde la superficie del conductor hasta el punto fuera de la superficie donde su energía cinética coincide con el valor de su energía potencial en el campo externo. En la Figura 7.20, esta distancia se mide a lo largo de la línea horizontal discontinua U(x)=EU(x)=E de x=0x=0 a la intercepción con U(x)=eEgxU(x)=eEgx, por lo que el ancho de la barrera es

L=e−1EEg=e−1ϕEg.L=e−1EEg=e−1ϕEg.

Vemos que L es inversamente proporcional a la fuerza EgEg de un campo externo. Cuando aumentamos la intensidad del campo externo, la barrera de potencial fuera del conductor se hace más pronunciada y su ancho disminuye para un electrón con una energía cinética determinada. A su vez, la probabilidad de que un electrón atraviese la barrera (superficie del conductor) se hace exponencialmente mayor. Los electrones que emergen al otro lado de esta barrera forman una corriente (corriente de electrones en túnel) que puede detectarse por encima de la superficie. La corriente de electrones en túnel es proporcional a la probabilidad de tunelización. La probabilidad de tunelización depende de forma no lineal del ancho L de la barrera, y L puede modificarse ajustando EgEg. Por lo tanto, la corriente de electrones en túnel puede ajustarse mediante la intensidad de un campo eléctrico externo en la superficie. Cuando la fuerza de un campo eléctrico externo es constante, la corriente de electrones en túnel tiene diferentes valores a diferentes elevaciones L sobre la superficie.

El fenómeno del efecto túnel en superficies metálicas, que acabamos de describir, es el principio físico en el que se basa el funcionamiento del microscopio de efecto de túnel (STM) , inventado en 1981 por Gerd Binnig y Heinrich Rohrer. El dispositivo STM consta de una punta de exploración (una aguja, normalmente de tungsteno, platino-iridio u oro); un dispositivo piezoeléctrico que controla la elevación de la punta en un rango típico de 0,4 a 0,7 nm por encima de la superficie a explorar; algún dispositivo que controla el movimiento de la punta a lo largo de la superficie; y un ordenador para mostrar las imágenes. Mientras la muestra se mantiene con una polarización por voltaje adecuada, la punta de exploración se mueve a lo largo de la superficie (Figura 7.21), y la corriente de electrones en túnel entre la punta y la superficie se registra en cada posición. La cantidad de corriente depende de la probabilidad de que los electrones hagan un túnel desde la superficie hasta la punta, que, a su vez, depende de la elevación de la punta sobre la superficie. Por lo tanto, en cada posición de la punta, la distancia de esta a la superficie se mide determinando cuántos electrones hacen un túnel desde la superficie a la punta. Este método puede ofrecer una resolución sin precedentes de unos 0,001 nm, lo que supone un 1 % del diámetro promedio de un átomo. De este modo, podemos ver átomos individuales en la superficie, como en la imagen de un nanotubo de carbono en la Figura 7.22.

Ilustración de un microscopio de efecto de túnel. Los átomos de la punta y de la muestra están representados por esferas, de color naranja para la punta S T M y de color morado para la muestra. Los átomos de la superficie de los átomos que se escanean están dispuestos en esta ilustración en una cuadrícula de cuatro por cinco átomos. La punta está por encima de uno de los átomos, y se muestra una corriente de electrones en túnel entre la punta y el átomo de la superficie. La imagen en el monitor del ordenador es una cuadrícula de puntos de 4 por 5.
Figura 7.21 En el STM, una superficie con un potencial constante se escanea con una punta estrecha que se mueve a lo largo de la superficie. Cuando la punta del STM se acerca a los átomos de la superficie, los electrones pueden hacer un túnel desde la superficie hasta la punta. Esta corriente de electrones en túnel se controla continuamente mientras la punta está en movimiento. La cantidad de corriente en la ubicación (x,y) da información sobre la elevación de la punta sobre la superficie en esta ubicación. De este modo, se crea un mapa topográfico detallado de la superficie que se muestra en el monitor de la computadora.
Una imagen STM de un nanotubo de carbono que muestra los átomos como puntos rojos en un patrón tipo rejilla.
Figura 7.22 Imagen STM de un nanotubo de carbono: La resolución a escala atómica nos permite ver átomos individuales en la superficie. Las imágenes STM están en escala de grises, y se les añade coloración para resaltar los detalles al ojo humano. (Crédito: Taner Yildirim, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (National Institute of Standards and Technology, NIST))

Efecto túnel resonante

El efecto túnel tiene numerosas aplicaciones en dispositivos semiconductores, como componentes de circuitos electrónicos o circuitos integrados diseñados a nanoescala; de ahí el término "nanotecnología". Por ejemplo, un diodo (un elemento de circuito eléctrico que hace que una corriente de electrones en una dirección sea diferente de la corriente en la dirección opuesta, cuando se invierte la polaridad del voltaje de polarización) puede realizarse mediante una unión en túnel entre dos tipos diferentes de materiales semiconductores. En un diodo de túnel de este tipo, los electrones atraviesan una única barrera de potencial en un contacto entre dos semiconductores diferentes. En la unión, la corriente de electrones en túnel cambia de forma no lineal con la diferencia de potencial aplicada a través de la unión y puede disminuir rápidamente al aumentar el voltaje de polarización. Esto es diferente al comportamiento según la ley de Ohm que conocemos en los circuitos domésticos. Este tipo de comportamiento rápido (causado por el efecto túnel) es deseable en los dispositivos electrónicos de alta velocidad.

Otro tipo de nanodispositivo electrónico utiliza el efecto túnel resonante de electrones a través de las barreras de potencial que se producen en los puntos cuánticos. Un punto cuántico es una pequeña región de un nanocristal semiconductor que se cultiva, por ejemplo, en un cristal de silicio o de arseniuro de aluminio. La Figura 7.23(a) muestra un punto cuántico de arseniuro de galio incrustado en una oblea de arseniuro de aluminio. La región de puntos cuánticos actúa como un pozo de potencial de altura finita (mostrado en la Figura 7.23(b)) que tiene dos barreras de potencial de altura finita en los límites de los puntos. Del mismo modo, al igual que para una partícula cuántica en una caja (es decir, un pozo de potencial infinito), las energías inferiores de una partícula cuántica atrapada en un pozo de potencial de altura finita están cuantizadas. La diferencia entre los potenciales de la caja y del pozo es que una partícula cuántica en una caja tiene un número infinito de energías cuantizadas y está atrapada en la caja indefinidamente, mientras que una partícula cuántica atrapada en un potencial de pozo tiene un número finito de niveles de energía cuantizados y puede hacer un túnel a través de las barreras de potencial en los límites del pozo hacia el exterior del mismo. Así, un punto cuántico de arseniuro de galio asentado en arseniuro de aluminio es un pozo de potencial en el que se cuantizan las energías bajas de un electrón, indicadas como EpuntoEpunto en la parte (b) de la figura. Cuando la energía EelectrónEelectrón de un electrón en la región exterior del punto no coincide con su energía EpuntoEpunto que tendría en el punto, el electrón no hace un túnel a través de la región del punto y no hay corriente a través de tal elemento del circuito, incluso si se mantuviera con una diferencia de voltaje eléctrico (polarización). Sin embargo, cuando esta polarización de voltaje se cambia de tal manera que una de las barreras se baja, de modo que EpuntoEpunto y EelectrónEelectrón se alinean, como se ve en la parte (c) de la figura, una corriente de electrones fluye a través del punto. Cuando se aumenta el voltaje de polarización, esta alineación se pierde y la corriente deja de fluir. Cuando el voltaje de polarización se incrementa más, el túnel de electrones se vuelve improbable hasta que aquel alcanza un valor en el que la energía del electrón exterior coincide con el siguiente nivel de energía del electrón en el punto. La palabra "resonancia" en el nombre del dispositivo significa que la corriente de electrones en túnel solo se produce cuando se ajusta un nivel de energía seleccionado mediante la sintonización de un voltaje de polarización aplicado, como en el mecanismo de funcionamiento del diodo túnel resonante que acabamos de describir. Los diodos túnel resonante se utilizan como nanoconmutadores ultrarrápidos.

La figura a es una ilustración de un diodo de túnel. El punto cuántico es una pequeña región de arseniuro de galio incrustada en arseniuro de aluminio. A ambos lados del punto cuántico se han incrustado pequeñas regiones adicionales de arseniuro de galio, separadas de él por una pequeña barrera de arseniuro de aluminio. El extremo izquierdo de la estructura está unido a un electrodo negativo y el derecho a un electrodo positivo. La figura b es un gráfico del potencial U en función de x sin polaridad. El potencial es constante excepto en dos regiones estrechas, donde tiene un valor constante mayor. La energía del electrón, representada por una línea discontinua, se encuentra entre los valores inferiores y superiores de U, más cerca del inferior. Se muestran dos niveles de energía permitidos, marcados como E subpunto. Ambos son mayores que la energía del electrón y menores que el valor máximo de U. La figura c muestra el potencial U de x con un voltaje de polarización a través del dispositivo. El potencial tiene el mismo valor constante a la izquierda de las barreras que en la figura a, pero disminuye linealmente entre las barreras. U vuelve a ser constante a la derecha de las barreras, pero con un valor inferior al anterior. Las energías permitidas también se reducen, y la más baja coincide ahora con la energía del electrón.
Figura 7.23 Diodo túnel resonante: (a) Un punto cuántico de arseniuro de galio incrustado en arseniuro de aluminio. (b) Pozo de potencial formado por dos barreras de potencial de un punto cuántico sin voltaje de polarización. Las energías de los electrones E electrón E electrón en el arseniuro de aluminio no están alineadas con sus niveles de energía E punto E punto en el punto cuántico, por lo que los electrones no hacen un túnel a través del punto. (c) Pozo de potencial del punto con un voltaje de polaridad a través del dispositivo. Una diferencia de voltaje convenientemente ajustada distorsiona el pozo de modo que los niveles de energía de los electrones en el punto se alinean con sus energías en el arseniuro de aluminio, lo que les permite atravesar el punto.
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