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Física Universitaria Volumen 3

4.3 Difracción de doble rendija

Física Universitaria Volumen 34.3 Difracción de doble rendija
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir el efecto combinado de interferencia y difracción con dos rendijas, cada una de ellas con un ancho finito
  • Determinar las intensidades relativas de las franjas de interferencia dentro de un patrón de difracción
  • Identificar los órdenes perdidos, si los hay

Cuando estudiamos la interferencia en el experimento de la doble rendija de Young, ignoramos el efecto de difracción en cada rendija. Asumimos que las rendijas eran tan estrechas que en la pantalla únicamente se veía la interferencia de la luz de solo dos fuentes puntuales. Si la rendija es más pequeña que la longitud de onda, entonces la Figura 4.10(a) muestra que solo hay una dispersión de la luz y no hay picos ni caídas en la pantalla. Por lo tanto, era razonable dejar de lado el efecto de difracción en ese capítulo. Sin embargo, si amplía la rendija, en la Figura 4.10(b) y (c) se muestra que no se puede ignorar la difracción. En esta sección, estudiamos las complicaciones del experimento de la doble rendija que surgen cuando también hay que tener en cuenta el efecto de difracción de cada rendija.

Para calcular el patrón de difracción para dos rendijas (o cualquier cantidad), necesitamos generalizar el método que acabamos de utilizar para una rendija. Es decir, a través de cada rendija, colocamos una distribución uniforme de fuentes puntuales que irradian ondículas de Huygens, y luego sumamos las ondas de todas las rendijas. Esto da la intensidad en cualquier punto de la pantalla. Aunque los detalles de ese cálculo pueden ser complicados, el resultado final es bastante sencillo:

Patrón de difracción de dos rendijas

El patrón de difracción de dos rendijas de ancho a que están separadas por una distancia d es el patrón de interferencia de dos fuentes puntuales separadas por d multiplicado por el patrón de difracción de una rendija de ancho a.

En otras palabras, las ubicaciones de las franjas de interferencia vienen dados por la ecuación dsenθ=mλdsenθ=mλ, igual que cuando considerábamos las rendijas como fuentes puntuales, pero las intensidades de las franjas se reducen ahora por efectos de difracción, según la Ecuación 4.4. [Tome en cuenta que, en el capítulo sobre interferencia, escribimos dsenθ=mλdsenθ=mλ y utilizamos el número entero m para referirse a las franjas de interferencia. La Ecuación 4.1 también utiliza m, pero esta vez para referirse a los mínimos de difracción. Si se utilizan ambas ecuaciones simultáneamente, es una buena práctica utilizar una variable diferente (como n) para uno de estos enteros, con el fin de mantenerlos distintos].

Los efectos de interferencia y difracción operan simultáneamente y, por lo general, producen mínimos en ángulos diferentes. Esto da lugar a un patrón complicado en la pantalla, en el que faltan algunos de los máximos de interferencia de las dos rendijas si el máximo de la interferencia está en la misma dirección que el mínimo de la difracción. Nos referimos a este pico ausente como un orden faltante. En la Figura 4.11 se muestra un patrón de difracción en la pantalla. La línea continua con múltiples picos de diversas alturas es la intensidad observada en la pantalla. Es el producto del patrón de interferencia de las ondas procedentes de rendijas separadas y de la difracción de las ondas procedentes de una rendija.

La figura muestra un gráfico de I por I0 contra theta. En el gráfico se muestran tres curvas. La curva de interferencia tiene una longitud de onda menor. La curva de difracción tiene una longitud de onda mayor y un valor y de 1 en x igual a 0. La curva resultante tiene la misma longitud de onda que la interferencia y su amplitud se modifica según la curva de difracción. Cada cresta de la onda de interferencia está marcada como m igual a 1, m igual a 2 y así sucesivamente. La onda de difracción tiene un cero en m igual a 3, y theta igual a 30 grados. Por lo tanto, la onda resultante también tiene un cero. Esto es marcado como orden faltante m igual a 3.
Figura 4.11 Difracción desde una doble rendija. La línea púrpura con picos de la misma altura procede de la interferencia de las ondas de dos rendijas; la línea azul con una gran joroba en el centro es la difracción de las ondas de una rendija y la línea roja gruesa es el producto de las dos, que es el patrón observado en la pantalla. El gráfico muestra el resultado esperado para un ancho de rendija a = 2 λ a = 2 λ y la separación entre las rendijas d = 6 λ d = 6 λ . El máximo valor de m = ± 3 m = ± 3 del orden de la interferencia faltante porque el mínimo de la difracción se produce en la misma dirección.

Ejemplo 4.3

Intensidad de las franjas

La Figura 4.11 muestra que la intensidad de la franja para m=3m=3 es cero, pero ¿qué pasa con las otras franjas? Calcule la intensidad de la franja en m=1m=1 en relación con I0,I0, la intensidad del pico central.

Estrategia

Determine el ángulo para la franja de interferencia de doble rendija, utilizando la ecuación de Interferencia, luego determine la intensidad relativa en esa dirección debido a la difracción utilizando la Ecuación 4.4.

Solución

Del capítulo sobre la interferencia, sabemos que las franjas de interferencia brillantes se producen en dsenθ=mλdsenθ=mλ, o
senθ=mλd.senθ=mλd.

A partir de Ecuación 4.4,

I=I0(senββ)2,dondeβ=ϕ2=πasenθλ.I=I0(senββ)2,dondeβ=ϕ2=πasenθλ.

Si sustituimos lo anterior,

β=πasenθλ=πaλ·mλd=mπad.β=πasenθλ=πaλ·mλd=mπad.

Para a=2λa=2λ, d=6λd=6λ, y m=1m=1,

β=(1)π(2λ)(6λ)=π3.β=(1)π(2λ)(6λ)=π3.

Entonces, la intensidad es

I=I0(senββ)2=I0(sen(π/3)π/3)2=0,684I0.I=I0(senββ)2=I0(sen(π/3)π/3)2=0,684I0.

Importancia

Tome en cuenta que este enfoque es relativamente sencillo y da un resultado que es casi exactamente el mismo que el análisis más complicado que utiliza los fasores para calcular los valores de intensidad de la interferencia de doble rendija (línea delgada en la Figura 4.11). El enfoque fasorial tiene en cuenta la pendiente descendente de la intensidad de difracción (línea azul), de modo que el pico cercano a m=1m=1 se produce a un valor de θθ un poco más pequeño de lo que hemos mostrado aquí.

Ejemplo 4.4

Difracción de dos rendijas

Supongamos que en el experimento de Young, las rendijas de 0,020 mm de ancho están separadas por 0,20 mm. Si las rendijas se iluminan con luz monocromática de longitud de onda 500 nm, ¿cuántas franjas brillantes se observan en el pico central del patrón de difracción?

Solución

A partir de la Ecuación 4.1, la posición angular del primer mínimo de difracción es θsenθ=λa=5,0×10−7m2,0×10−5m=2,5×10−2rad.θsenθ=λa=5,0×10−7m2,0×10−5m=2,5×10−2rad.

Al utilizar dsenθ=mλdsenθ=mλ para θ=2,5×10−2radθ=2,5×10−2rad, hallamos

m=dsenθλ=(0,20mm)(2,5×10−2rad)(5,0×10−7m)=10,m=dsenθλ=(0,20mm)(2,5×10−2rad)(5,0×10−7m)=10,

el cuál es el máximo orden de interferencia que cabe dentro del pico central. Observamos que cuando m=±10m=±10 son los órdenes faltantes, dado que θθ coincide exactamente. En consecuencia, observamos franjas brillantes para

m=−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,+8,y+9m=−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,+8,y+9

para un total de 19 franjas brillantes.

Compruebe Lo Aprendido 4.3

Para el experimento en el Ejemplo 4.4, demuestre que cuando m=20m=20 también es un orden faltante.

Interactivo

Explore los efectos de la difracción de doble rendija. En esta simulación escrita por Fu-Kwun Hwang, seleccione N=2N=2 utilizando el control deslizante y observe lo que sucede cuando se controla el ancho de la rendija, la separación de la rendija y la longitud de onda. ¿Usted puede lograr que un orden “falte”?

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