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Física Universitaria Volumen 3

4.1 Difracción de una rendija

Física Universitaria Volumen 34.1 Difracción de una rendija
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar el fenómeno de la difracción y las condiciones en las que se observa
  • Describir la difracción a través de una rendija

Tras pasar por una abertura estrecha, una onda que se propaga en una dirección determinada tiende a dispersarse. Por ejemplo, las ondas sonoras que entran en una habitación a través de una puerta abierta pueden oírse, aunque el oyente se encuentre en una parte de la habitación donde la geometría de la propagación de los rayos dicta que solo debe haber silencio. Del mismo modo, las olas del mar que pasan por una abertura en un rompeolas pueden propagarse por toda la bahía en su interior. (Figura 4.2). La propagación y la curvatura de las ondas sonoras y oceánicas son dos ejemplos de difracción, que es la curvatura de una onda alrededor de los bordes de una abertura o un obstáculo, un fenómeno que presentan todos los tipos de ondas.

Fotografía que muestra la vista superior de un rompeolas cerca de una playa. Hay una abertura en el rompeolas que permite la entrada de las olas.
Figura 4.2 Debido a la difracción de las ondas, las olas del océano que entran por una abertura en un rompeolas pueden propagarse por toda la bahía. (crédito: modificación de los datos del mapa de Google Earth)

La difracción de las ondas sonoras nos resulta evidente porque las longitudes de onda en la región audible tienen aproximadamente el mismo tamaño que los objetos con los que se encuentran, condición que debe cumplirse para que los efectos de la difracción puedan observarse fácilmente. Dado que las longitudes de onda de la luz visible van aproximadamente de 390 a 770 nm, la mayoría de los objetos no difractan la luz de forma significativa. Sin embargo, se dan situaciones en las que las aberturas son lo suficientemente pequeñas como para que la difracción de la luz sea observable. Por ejemplo, si se colocan los dedos medio e índice juntos y se mira a través de la abertura a una bombilla, se puede ver un patrón de difracción bastante claro, que consiste en líneas claras y oscuras que corren paralelas a los dedos.

Difracción a través de una rendija

La luz que pasa a través de una rendija forma un patrón de difracción algo diferente a los formados por rendijas dobles o rejillas de difracción, de los que hablamos en el capítulo sobre interferencia. La Figura 4.3 muestra un patrón de difracción por una rendija. Observe que el máximo central es mayor que los máximos a ambos lados y que la intensidad disminuye rápidamente a ambos lados. En cambio, una rejilla de difracción (Rejillas de difracción) produce líneas espaciadas uniformemente que se atenúan lentamente a ambos lados del centro.

La figura a muestra una línea vertical en el lado izquierdo. Esta tiene un espacio de longitud a. A la derecha se muestra una onda vertical. La onda tiene una cresta alta en el centro, correspondiente a la rendija. La onda se atenúa tanto por arriba como por abajo. Una flecha a lo largo de la cresta central de la onda, apuntando hacia la rendija es marcada como intensidad. La figura b muestra una tira con líneas claras y oscuras marcadas horizontalmente. La línea central, correspondiente a la rendija, es la más brillante.
Figura 4.3 Patrón de difracción por una rendija. (a) La luz monocromática que pasa por una rendija tiene un máximo central y muchos máximos más pequeños y tenues a ambos lados. El máximo central es seis veces mayor que el mostrado. (b) El diagrama muestra el máximo central brillante, y los máximos más tenues y delgados a ambos lados.

En la Figura 4.4 se ilustra el análisis de la difracción de una rendija. En este caso, la luz llega a la rendija, la ilumina uniformemente y está en fase en todo su ancho. A continuación, consideramos la luz que se propaga hacia adelante desde distintas partes de la misma rendija. Según el principio de Huygens, cada parte del frente de onda en la rendija emite ondas, tal y como comentamos en La naturaleza de la luz. Son como rayos que comienzan en fase y se dirigen en todas las direcciones. (Cada rayo es perpendicular al frente de onda de una ondícula) Suponiendo que la pantalla esté muy lejos en comparación con el tamaño de la rendija, los rayos que se dirigen a un destino común son casi paralelos. Cuando se desplazan en línea recta, como en la parte (a) de la figura, permanecen en fase, y observamos un máximo central. Sin embargo, cuando los rayos viajan en ángulo θθ respecto a la dirección original del haz, cada rayo recorre una distancia diferente hasta un lugar común, y pueden llegar en fase o fuera de fase. En la parte (b), el rayo de la parte inferior recorre una distancia de una longitud de onda λλ más lejos que el rayo de la parte superior. Así, un rayo desde el centro recorre una distancia λ/2λ/2 menor que la del borde inferior de la rendija, llega desfasado e interfiere destructivamente. Un rayo procedente del centro y otro de la parte inferior también se anulan mutuamente. De hecho, cada rayo de la rendija interfiere destructivamente con otro rayo. En otras palabras, una cancelación por pares de todos los rayos da como resultado un mínimo oscuro de intensidad en este ángulo. Por simetría, se produce otro mínimo en el mismo ángulo a la derecha de la dirección de incidencia (hacia la parte inferior de la figura) de la luz.

La figura a muestra rayos horizontales que pasan de izquierda a derecha a través de una rendija vertical de longitud a. Esto es marcado como theta igual a cero y brillante. La figura b muestra los rayos que pasan por la rendija con un ángulo theta respecto a la horizontal. Esto es marcado como seno de theta igual a lambda dividida entre a y oscuro. Una línea punteada perpendicular a los rayos toca la parte superior de la rendija. Su distancia perpendicular al fondo de la rendija es lambda y la del centro de la rendija es lambda dividida entre 2. Una vista separada muestra que la línea punteada forma un ángulo theta con la vertical. Intersecta el rayo que parte del fondo de la rendija en un punto determinado. La distancia horizontal de este punto a la rendija es delta l igual a un seno de theta. La figura c muestra los rayos que pasan por la rendija con un ángulo theta respecto a la horizontal. Esto es marcado como seno de theta igual a 3 lambda dividido entre 2 a y brillante. Una línea punteada perpendicular a los rayos toca la parte superior de la rendija. Su distancia perpendicular al fondo de la rendija es de 3 lambda dividido entre 2. La figura d muestra los rayos que pasan por la rendija con un ángulo theta respecto a la horizontal. Esto es marcado como seno de theta igual a 2 lambda dividido entre a y oscuro. Una línea punteada perpendicular a los rayos toca la parte superior de la rendija. Su distancia perpendicular con respecto a la parte inferior de la rendija es de 2 lambda.
Figura 4.4 La luz que pasa por una rendija se difracta en todas las direcciones y puede interferir de forma constructiva o destructiva, según el ángulo. La diferencia en la longitud de la trayectoria de los rayos desde ambos lados de la rendija se ve como a sen θ θ .

En el ángulo mayor mostrado en la parte (c), las longitudes de las trayectorias difieren en 3λ/23λ/2 para los rayos de la parte superior e inferior de la rendija. Un rayo recorre una distancia λλ diferente del rayo del fondo y llega en fase, interfiriendo constructivamente. Dos rayos, cada uno de ellos ligeramente por encima de esos dos, también se suman constructivamente. La mayoría de los rayos procedentes de la rendija tienen otro rayo con el que interferir constructivamente, y en este ángulo se produce un máximo de intensidad. Sin embargo, no todos los rayos interfieren constructivamente para esta situación, por lo que el máximo no es tan intenso como el máximo central. Finalmente, en la parte (d), el ángulo mostrado es lo suficientemente grande como para producir un segundo mínimo. Como se ve en la figura, la diferencia en la longitud de la trayectoria de los rayos desde ambos lados de la rendija es a sen θθ, y vemos que se obtiene un mínimo destructivo cuando esta distancia es un múltiplo entero de la longitud de onda.

Así, para obtener una interferencia destructiva para una rendija,

asenθ=mλ,param=±1,±2,±3,...(destructiva),asenθ=mλ,param=±1,±2,±3,...(destructiva),
4.1

donde a es el ancho de la rendija, λλ es la longitud de onda de la luz, θθ es el ángulo relativo a la dirección original de la luz, y m es el orden del mínimo. La Figura 4.5 muestra un gráfico de la intensidad para la interferencia de una rendija, y es evidente que los máximos a ambos lados del máximo central son mucho menos intensos y no tan amplios. Este efecto se explora en Difracción de doble rendija.

La figura muestra un gráfico de la intensidad en función de seno de theta. La intensidad es máxima en el seno de theta igual a 0. Hay crestas de onda más pequeñas a cada lado, en el seno de theta igual a menos 2 lambda a, menos lambda a, lambda a, 2 lambda a, y así sucesivamente.
Figura 4.5 Un gráfico de la intensidad de difracción de una rendija que muestra que el máximo central es más amplio y mucho más intenso que los de los lados. De hecho, el máximo central es seis veces mayor que el mostrado aquí.

Ejemplo 4.1

Cálculo de la difracción de una rendija

La luz visible de longitud de onda 550 nm incide en una rendija y produce su segundo mínimo de difracción con un ángulo de 45,0°45,0° respecto a la dirección de incidencia de la luz, como en la Figura 4.6. (a) ¿Cuál es el ancho de la rendija? (b) ¿A qué ángulo se produce el primer mínimo?
La figura muestra una línea vertical a la izquierda. La misma tiene una rendija en el centro, de longitud a. Un rayo marcado como lambda pasa horizontalmente por la rendija. Se divide en 5 líneas punteadas que inciden en una pantalla. La pantalla se muestra como una línea vertical. De las cinco líneas punteadas, dos forman ángulos theta 1 y theta 2 con la horizontal. Theta 2 es de 45 grados. Theta 1 es más pequeño que theta 2 y es desconocido. La intensidad en la pantalla se muestra como una onda vertical. La cresta en el centro, donde una línea punteada horizontal desde el centro de la rendija incide en la pantalla, es la más grande. La onda se atenúa en la parte superior e inferior. Las cuatro líneas punteadas restantes corresponden a los valles de la onda.
Figura 4.6 En este ejemplo, analizamos un gráfico del patrón de difracción por una rendija.

Estrategia

A partir de la información dada, y suponiendo que la pantalla está lejos de la rendija, podemos utilizar la ecuación asenθ=mλasenθ=mλ primero para encontrar D, y de nuevo para encontrar el ángulo para el primer mínimo θ1.θ1.

Solución

  1. Dado que λ=550nmλ=550nm, m=2m=2, y θ2=45,0°θ2=45,0°. Al resolver la ecuación asenθ=mλasenθ=mλ para a y al sustituir los valores conocidos se obtiene
    a=mλsenθ2=2(550nm)sen45,0°=1.100×10−9m0,707=1,56×10−6m.a=mλsenθ2=2(550nm)sen45,0°=1.100×10−9m0,707=1,56×10−6m.
  2. Al resolver la ecuación asenθ=mλasenθ=mλ para senθ1senθ1 y al sustituir los valores conocidos se obtiene
    senθ1=mλa=1(550×10−9m)1,56×10−6m.senθ1=mλa=1(550×10−9m)1,56×10−6m.

    Así, el ángulo θ1θ1 es
    θ1=sen−10,354=20,7°.θ1=sen−10,354=20,7°.

Importancia

Vemos que la rendija es estrecha (es solo unas pocas veces mayor que la longitud de onda de la luz). Esto es coherente con el hecho de que la luz debe interactuar con un objeto de tamaño comparable a su longitud de onda para mostrar efectos de onda significativos como este patrón de difracción por una rendija. También vemos que el máximo central se extiende 20,7°20,7° a cada lado del haz original, para un ancho de aproximadamente 41°41°. El ángulo entre el primer y el segundo mínimo es solo de aproximadamente 24°24°(45,0°20,7°)(45,0°20,7°). Así, el segundo máximo es solo la mitad de ancho que el máximo central.

Compruebe Lo Aprendido 4.1

Supongamos que el ancho de la rendija en el Ejemplo 4.1 se aumenta a 1,8×10−6m.1,8×10−6m. ¿Cuáles son las nuevas posiciones angulares del primer, segundo y tercer mínimo? ¿Existe un cuarto mínimo?

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