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Física Universitaria Volumen 3

4.2 Intensidad en la difracción de una rendija

Física Universitaria Volumen 34.2 Intensidad en la difracción de una rendija
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Calcular la intensidad relativa al máximo central de los picos de difracción de una rendija
  • Calcular la intensidad relativa al máximo central de un punto arbitrario de la pantalla

Para calcular la intensidad del patrón de difracción, seguimos el método fasorial utilizado para los cálculos con circuitos de corriente alterna en la sección Circuitos de corriente alterna. Si consideramos que hay N fuentes de Huygens a través de la rendija mostrada en la Figura 4.4, con cada fuente separada por una distancia a/N de sus vecinas adyacentes, la diferencia de camino entre las ondas de las fuentes adyacentes que llegan al punto arbitrario P de la pantalla es (a/N)senθ.(a/N)senθ. Esta distancia equivale a una diferencia de fase de (2πa/λN)senθ.(2πa/λN)senθ. El diagrama fasorial de las ondas que llegan al punto cuya posición angular es θθ se muestra en la Figura 4.7. La amplitud del fasor para cada ondícula de Huygens es ΔE0,ΔE0, la amplitud del fasor resultante es E, y la diferencia de fase entre las ondas de la primera y la última fuente es

ϕ=(2πλ)asenθ.ϕ=(2πλ)asenθ.

Con NN, el diagrama fasorial se aproxima a un arco circular de longitud NΔE0NΔE0 y radio r. Como la longitud del arco es NΔE0NΔE0 para cualquier ϕϕ, el radio r del arco debe disminuir como ϕϕ aumenta (o lo que es lo mismo, a medida que los fasores forman espirales más cerradas).

La figura a muestra un arco con los fasores marcados como delta E subíndice 0. Esto subtiende un ángulo en el centro del círculo, a través de dos líneas marcadas como r. Este ángulo se divide en dos y cada mitad se identifica como phi por 2. Los puntos extremos del arco están conectados por una flecha marcada como E. La tangente en un punto extremo del arco es horizontal. La tangente en el otro extremo del arco forma un ángulo phi con la horizontal. La figura b muestra el arco y el ángulo phi subtendido por él. Una línea punteada se extiende desde un extremo del arco hasta la línea opuesta r. Es perpendicular a r. Hace un ángulo phi con el arco y un ángulo de 90 menos phi con la línea adyacente r.
Figura 4.7 (a) Diagrama fasorial correspondiente a la posición angular θ θ en el patrón de difracción por una rendija. La diferencia de fase entre las ondículas de la primera y la última fuente es ϕ = ( 2 π / λ ) a sen θ ϕ = ( 2 π / λ ) a sen θ . (b) La geometría del diagrama fasorial.

El diagrama fasorial de ϕ=0ϕ=0 (el centro del patrón de difracción) se muestra en la Figura 4.8(a) utilizando N=30N=30. En este caso, los fasores se colocan de extremo a extremo en una línea recta de longitud NΔE0,NΔE0, el radio r llega al infinito, y la resultante tiene su valor máximo E=NΔE0.E=NΔE0. La intensidad de la luz se puede obtener mediante la relación I=12cε0E2I=12cε0E2 de ondas electromagnéticas. La intensidad del máximo es entonces

I0=12cε0(NΔE0)2=12μ0c(NΔE0)2,I0=12cε0(NΔE0)2=12μ0c(NΔE0)2,

donde ε0=1/μ0c2ε0=1/μ0c2. Los diagramas fasoriales para los dos primeros ceros del patrón de difracción se muestran en las partes (b) y (d) de la figura. En ambos casos, los fasores se suman a cero, después de girar por ϕ=2πϕ=2π rad para m=1m=1 y 4π4π rad para m=2m=2.

La figura a muestra 30 fasores en una línea de longitud N delta E subíndice 0. La longitud de un fasor es delta E subíndice 0. La figura b muestra un círculo con fasores que apuntan en el sentido contrario a las agujas del reloj. Esto es marcado como m igual a 1, E igual a 0. La figura c muestra los fasores a lo largo de un círculo. Empiezan desde abajo y dan una vuelta y media al círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto final está marcada como E1. Forma un diámetro del círculo. La figura c está marcada como 3 por 2 pi E1 igual a N delta E0. La figura d muestra los fasores a lo largo de un círculo. Empiezan desde abajo y dan dos vueltas al círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. La figura está marcada como m igual a 2, E igual a 0. La figura e muestra los fasores a lo largo de un círculo. Empiezan desde abajo y dan dos vueltas y media al círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto final está marcada como E2. Forma un diámetro del círculo. La figura c está marcada como 5 por 2 pi E2 igual a N delta E0.
Figura 4.8 Diagramas fasoriales (con 30 fasores) para varios puntos del patrón de difracción por una rendija. Las rotaciones múltiples alrededor de un círculo determinado se han separado ligeramente para que puedan verse los fasores. (a) Máximo central, (b) primer mínimo, (c) primer máximo más allá del máximo central, (d) segundo mínimo y (e) segundo máximo más allá del máximo central.

Los dos siguientes máximos más allá del máximo central están representados por los diagramas fasoriales de las partes (c) y (e). En la parte (c), los fasores han girado por ϕ=3πϕ=3π rad y han formado un fasor resultante de magnitud E1E1. La longitud del arco formado por los fasores es NΔE0.NΔE0. Como esto corresponde a 1,5 rotaciones alrededor de un círculo de diámetro E1E1, tenemos

32πE1NΔE0,32πE1NΔE0,

así que

E1=2NΔE03πE1=2NΔE03π

y

I1=12μ0cE12=4(NΔE0)2(9π2)(2μ0c)0,045I0,I1=12μ0cE12=4(NΔE0)2(9π2)(2μ0c)0,045I0,

donde

I0=(NΔE0)22μ0c.I0=(NΔE0)22μ0c.

En la parte (e), los fasores han girado por ϕ=5πϕ=5π rad, que corresponde a 2,5 rotaciones alrededor de un círculo de diámetro E2E2 y la longitud del arco NΔE0.NΔE0. Esto da lugar a I20,016I0I20,016I0. La prueba se deja como ejercicio para el estudiante (Ejercicio 4.119).

Estos dos máximos corresponden en realidad a valores de ϕϕ un poco menos de 3π3π rad y 5π5π rad. Como la longitud total del arco del diagrama fasorial es siempre NΔE0,NΔE0, el radio del arco disminuye como ϕϕ aumenta. Como resultado, E1E1 y E2E2 resultan ser ligeramente más grandes para los arcos que no se han curvado del todo 3π3π rad y 5π5π rad, respectivamente. Los valores exactos de ϕϕ para los máximos se investigan en la Ejercicio 4.120. Al resolver ese problema, descubrirá que son menores que, pero muy cercanos a, ϕ=3π,5π,7π,rad.ϕ=3π,5π,7π,rad.

Para calcular la intensidad en un punto arbitrario P de la pantalla, volvemos al diagrama fasorial de la Figura 4.7. Como el arco subtiende un ángulo ϕϕ en el centro del círculo,

NΔE0=rϕNΔE0=rϕ

y

sen(ϕ2)=E2r.sen(ϕ2)=E2r.

donde E es la amplitud del campo resultante. Al resolver la segunda ecuación para E y luego sustituyendo r de la primera ecuación, hallamos

E=2rsenϕ2=2NΔEoϕsenϕ2.E=2rsenϕ2=2NΔEoϕsenϕ2.

Ahora al definir

β=ϕ2=πasenθλβ=ϕ2=πasenθλ
4.2

obtenemos

E=NΔE0senββE=NΔE0senββ
4.3

Esta ecuación relaciona la amplitud del campo resultante en cualquier punto del patrón de difracción con la amplitud NΔE0NΔE0 en el máximo central. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, por lo que

I=I0(senββ)2I=I0(senββ)2
4.4

donde I0=(NΔE0)2/2μ0cI0=(NΔE0)2/2μ0c es la intensidad en el centro del patrón.

Para el máximo central, ϕ=0ϕ=0, ββ también es cero y vemos por la regla de l'Hôpital que limβ0(senβ/β)=1,limβ0(senβ/β)=1, para que limϕ0I=I0.limϕ0I=I0. Para el siguiente máximo, ϕ=3πϕ=3π rad, tenemos β=3π/2β=3π/2 rad y cuando se sustituye en la Ecuación 4.4, se obtiene

I1=I0(sen3π/23π/2)20,045I0,I1=I0(sen3π/23π/2)20,045I0,

de acuerdo con lo que hemos encontrado antes en esta sección utilizando los diámetros y las circunferencias de los diagramas fasoriales. Al sustituir ϕ=5πϕ=5π rad en la Ecuación 4.4 se obtiene un resultado similar para I2I2.

En la Figura 4.9 se muestra un gráfico de la Ecuación 4.4 y justo debajo hay una fotografía de un patrón de difracción real. Tome en cuenta que el pico central es mucho más brillante que los demás, y que los ceros del patrón se sitúan en aquellos puntos en los que senβ=0,senβ=0, que se produce cuando β=mπβ=mπ rad. Esto corresponde a

πasenθλ=mπ,πasenθλ=mπ,

o

asenθ=mλ,asenθ=mλ,

que es la Ecuación 4.1.

La figura a muestra un gráfico de I por I0 frente a beta. Hay una cresta en el centro de la gráfica en beta igual a 0. El valor y de esto es 1. El gráfico tiene ondulaciones a ambos lados que se reducen a medida que se avanza. La gráfica tiene ceros en menos 3 pi, menos 2 pi, menos pi, pi, 2 pi, 3 pi. La figura b muestra una franja en la que se alternan regiones claras y oscuras. La parte central es la más brillante.
Figura 4.9 (a) La distribución de intensidad calculada de un patrón de difracción por una rendija. (b) El patrón de difracción real.

Ejemplo 4.2

Intensidad en la difracción de una rendija

La luz de longitud de onda 550 nm pasa a través de una rendija con un ancho de 2,00μm2,00μm y produce un patrón de difracción similar al que se muestra en la Figura 4.9. (a) Halle las ubicaciones de los dos primeros mínimos en términos del ángulo desde el máximo central y (b) determine la intensidad relativa al máximo central en un punto a medio camino entre estos dos mínimos.

Estrategia

Los mínimos vienen dados por la Ecuación 4.1, asenθ=mλasenθ=mλ. Los dos primeros mínimos son para m=1m=1 y m=2.m=2. La Ecuación 4.4 y la Ecuación 4.2 pueden utilizarse para determinar la intensidad una vez que se ha calculado el ángulo.

Solución

  1. Resolver la Ecuación 4.1 para θθ nos da θm=sen−1(mλ/a),θm=sen−1(mλ/a), para que la
    θ1=sen−1((+1)(550×10−9m)2,00×10−6m)=+16,0°θ1=sen−1((+1)(550×10−9m)2,00×10−6m)=+16,0°

    y
    θ2=sen−1((+2)(550×10−9m)2,00×10−6m)=+33,4°.θ2=sen−1((+2)(550×10−9m)2,00×10−6m)=+33,4°.
  2. El punto medio entre θ1θ1 y θ2θ2 es
    θ=(θ1+θ2)/2=(16,0°+33,4°)/2=24,7°.θ=(θ1+θ2)/2=(16,0°+33,4°)/2=24,7°.

Ecuación 4.2 obtenemos

β=πasenθλ=π(2,00×10−6m)sen(24,7°)(550×10−9m)=1,52πo4,77rad.β=πasenθλ=π(2,00×10−6m)sen(24,7°)(550×10−9m)=1,52πo4,77rad.

A partir de la Ecuación 4.4, podemos calcular

IIo=(senββ)2=(sen(4,77)4,77)2=(-0,99854,77)2=0,044.IIo=(senββ)2=(sen(4,77)4,77)2=(-0,99854,77)2=0,044.

Importancia

Esta posición, a medio camino entre dos mínimos, está muy cerca de la ubicación del máximo, previsto cerca de β=3π/2,o1,5πβ=3π/2,o1,5π.

Compruebe Lo Aprendido 4.2

Para el experimento del Ejemplo 4.2, ¿a qué ángulo del centro se encuentra el tercer máximo y cuál es su intensidad con respecto al máximo central?

Si se varía el ancho de la rendija D, la distribución de la intensidad cambia, como se ilustra en la Figura 4.10. El pico central se distribuye en la región de senθ=λ/asenθ=λ/a a senθ=+λ/asenθ=+λ/a. Para los pequeños θθ, esto corresponde a un ancho angular Δθ2λ/a.Δθ2λ/a. Por lo tanto, un aumento del ancho de la hendidura provoca una disminución del ancho del pico central. Para una hendidura con aλ,aλ, el pico central es muy agudo, mientras que si aλaλ, se convierte en algo muy amplio.

Las figuras, desde la a hasta la, c, muestran gráficos de I por I0 frente a theta en grados. Cada una tiene una cresta de onda con valor y 1 en x=0. La figura a, marcada como a igual a lambda, tiene un arco amplio. La figura b, marcada como a igual a 5 lambda, tiene una cresta más estrecha. Tiene ceros aproximadamente entre 10 y 15 y entre menos 10 y menos 15. La figura c, marcada como a igual a 10 lambda, tiene una cresta estrecha. Tiene ceros en más y menos 5, aproximadamente entre 10 y 15 y entre menos 10 y menos 15.
Figura 4.10 Patrones de difracción por una rendija para varios anchos de rendija. A medida que el ancho de la rendija a aumenta de a = λ a 5 λ a = λ a 5 λ y luego a 10λ 10λ , el ancho del pico central disminuye a medida que disminuyen los ángulos de los primeros mínimos, tal como predice la Ecuación 4.1.

Interactivo

Un experimento de difracción en óptica puede requerir mucha preparación, pero esta simulación de Andrew Duffy ofrece no solo una rápida preparación, sino también la posibilidad de cambiar el ancho de la rendija al instante. Ejecute la simulación y seleccione “Single slit” (una rendija). Puede ajustar el ancho de la rendija y ver el efecto sobre el patrón de difracción en una pantalla y en forma de gráfico.

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