William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Calcular la intensidad relativa al máximo central de los picos de difracción de una rendija
Calcular la intensidad relativa al máximo central de un punto arbitrario de la pantalla

Para calcular la intensidad del patrón de difracción, seguimos el método fasorial utilizado para los cálculos con circuitos de corriente alterna en la sección Circuitos de corriente alterna. Si consideramos que hay N fuentes de Huygens a través de la rendija mostrada en la Figura 4.4, con cada fuente separada por una distancia a/N de sus vecinas adyacentes, la diferencia de camino entre las ondas de las fuentes adyacentes que llegan al punto arbitrario P de la pantalla es $(a / N) sen θ .$ Esta distancia equivale a una diferencia de fase de $(2 π a / λ N) sen θ .$ El diagrama fasorial de las ondas que llegan al punto cuya posición angular es $θ$ se muestra en la Figura 4.7. La amplitud del fasor para cada ondícula de Huygens es $Δ E_{0},$ la amplitud del fasor resultante es E, y la diferencia de fase entre las ondas de la primera y la última fuente es

ϕ = (\frac{2 π}{λ}) a sen θ .

Con $N \to \infty$ , el diagrama fasorial se aproxima a un arco circular de longitud $N Δ E_{0}$ y radio r. Como la longitud del arco es $N Δ E_{0}$ para cualquier $ϕ$ , el radio r del arco debe disminuir como $ϕ$ aumenta (o lo que es lo mismo, a medida que los fasores forman espirales más cerradas).

La figura a muestra un arco con los fasores marcados como delta E subíndice 0. Esto subtiende un ángulo en el centro del círculo, a través de dos líneas marcadas como r. Este ángulo se divide en dos y cada mitad se identifica como phi por 2. Los puntos extremos del arco están conectados por una flecha marcada como E. La tangente en un punto extremo del arco es horizontal. La tangente en el otro extremo del arco forma un ángulo phi con la horizontal. La figura b muestra el arco y el ángulo phi subtendido por él. Una línea punteada se extiende desde un extremo del arco hasta la línea opuesta r. Es perpendicular a r. Hace un ángulo phi con el arco y un ángulo de 90 menos phi con la línea adyacente r.

Figura 4.7 (a) Diagrama fasorial correspondiente a la posición angular

θ

en el patrón de difracción por una rendija. La diferencia de fase entre las ondículas de la primera y la última fuente es

ϕ = (2 π / λ) a sen θ

. (b) La geometría del diagrama fasorial.

El diagrama fasorial de $ϕ = 0$ (el centro del patrón de difracción) se muestra en la Figura 4.8(a) utilizando $N = 30$ . En este caso, los fasores se colocan de extremo a extremo en una línea recta de longitud $N Δ E_{0},$ el radio r llega al infinito, y la resultante tiene su valor máximo $E = N Δ E_{0} .$ La intensidad de la luz se puede obtener mediante la relación $I = \frac{1}{2} c ε_{0} E^{2}$ de ondas electromagnéticas. La intensidad del máximo es entonces

I_{0} = \frac{1}{2} c ε_{0} {(N Δ E_{0})}^{2} = \frac{1}{2 μ_{0} c} {(N Δ E_{0})}^{2},

donde $ε_{0} = 1 / μ_{0} c^{2}$ . Los diagramas fasoriales para los dos primeros ceros del patrón de difracción se muestran en las partes (b) y (d) de la figura. En ambos casos, los fasores se suman a cero, después de girar por $ϕ = 2 π$ rad para $m = 1$ y $4 π$ rad para $m = 2$ .

La figura a muestra 30 fasores en una línea de longitud N delta E subíndice 0. La longitud de un fasor es delta E subíndice 0. La figura b muestra un círculo con fasores que apuntan en el sentido contrario a las agujas del reloj. Esto es marcado como m igual a 1, E igual a 0. La figura c muestra los fasores a lo largo de un círculo. Empiezan desde abajo y dan una vuelta y media al círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto final está marcada como E1. Forma un diámetro del círculo. La figura c está marcada como 3 por 2 pi E1 igual a N delta E0. La figura d muestra los fasores a lo largo de un círculo. Empiezan desde abajo y dan dos vueltas al círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. La figura está marcada como m igual a 2, E igual a 0. La figura e muestra los fasores a lo largo de un círculo. Empiezan desde abajo y dan dos vueltas y media al círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto final está marcada como E2. Forma un diámetro del círculo. La figura c está marcada como 5 por 2 pi E2 igual a N delta E0.

Figura 4.8 Diagramas fasoriales (con 30 fasores) para varios puntos del patrón de difracción por una rendija. Las rotaciones múltiples alrededor de un círculo determinado se han separado ligeramente para que puedan verse los fasores. (a) Máximo central, (b) primer mínimo, (c) primer máximo más allá del máximo central, (d) segundo mínimo y (e) segundo máximo más allá del máximo central.

Los dos siguientes máximos más allá del máximo central están representados por los diagramas fasoriales de las partes (c) y (e). En la parte (c), los fasores han girado por $ϕ = 3 π$ rad y han formado un fasor resultante de magnitud $E_{1}$ . La longitud del arco formado por los fasores es $N Δ E_{0} .$ Como esto corresponde a 1,5 rotaciones alrededor de un círculo de diámetro $E_{1}$ , tenemos

\frac{3}{2} π E_{1} \approx N Δ E_{0},

así que

E_{1} = \frac{2 N Δ E_{0}}{3 π}

y

I_{1} = \frac{1}{2 μ_{0} c} E_{1}^{2} = \frac{4 {(N Δ E_{0})}^{2}}{(9 π^{2}) (2 μ_{0} c)} \approx 0,045 I_{0},

donde

I_{0} = \frac{{(N Δ E_{0})}^{2}}{2 μ_{0} c} .

En la parte (e), los fasores han girado por $ϕ = 5 π$ rad, que corresponde a 2,5 rotaciones alrededor de un círculo de diámetro $E_{2}$ y la longitud del arco $N Δ E_{0} .$ Esto da lugar a $I_{2} \approx 0,016 I_{0}$ . La prueba se deja como ejercicio para el estudiante (Ejercicio 4.119).

Estos dos máximos corresponden en realidad a valores de $ϕ$ un poco menos de $3 π$ rad y $5 π$ rad. Como la longitud total del arco del diagrama fasorial es siempre $N Δ E_{0},$ el radio del arco disminuye como $ϕ$ aumenta. Como resultado, $E_{1}$ y $E_{2}$ resultan ser ligeramente más grandes para los arcos que no se han curvado del todo $3 π$ rad y $5 π$ rad, respectivamente. Los valores exactos de $ϕ$ para los máximos se investigan en la Ejercicio 4.120. Al resolver ese problema, descubrirá que son menores que, pero muy cercanos a, $ϕ = 3 π, 5 π, 7 π, … rad .$

Para calcular la intensidad en un punto arbitrario P de la pantalla, volvemos al diagrama fasorial de la Figura 4.7. Como el arco subtiende un ángulo $ϕ$ en el centro del círculo,

N Δ E_{0} = r ϕ

y

sen (\frac{ϕ}{2}) = \frac{E}{2 r} .

donde E es la amplitud del campo resultante. Al resolver la segunda ecuación para E y luego sustituyendo r de la primera ecuación, hallamos

E = 2 r sen \frac{ϕ}{2} = 2 \frac{N Δ E_{o}}{ϕ} sen \frac{ϕ}{2} .

Ahora al definir

β = \frac{ϕ}{2} = \frac{π a sen θ}{λ}

4.2

obtenemos

E = N Δ E_{0} \frac{sen β}{β}

4.3

Esta ecuación relaciona la amplitud del campo resultante en cualquier punto del patrón de difracción con la amplitud $N Δ E_{0}$ en el máximo central. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, por lo que

I = I_{0} {(\frac{sen β}{β})}^{2}

4.4

donde $I_{0} = {(N Δ E_{0})}^{2} / 2 μ_{0} c$ es la intensidad en el centro del patrón.

Para el máximo central, $ϕ = 0$ , $β$ también es cero y vemos por la regla de l'Hôpital que ${lim}_{β \to 0} (sen β / β) = 1,$ para que ${lim}_{ϕ \to 0} I = I_{0} .$ Para el siguiente máximo, $ϕ = 3 π$ rad, tenemos $β = 3 π / 2$ rad y cuando se sustituye en la Ecuación 4.4, se obtiene

I_{1} = I_{0} {(\frac{sen 3 π / 2}{3 π / 2})}^{2} \approx 0,045 I_{0},

de acuerdo con lo que hemos encontrado antes en esta sección utilizando los diámetros y las circunferencias de los diagramas fasoriales. Al sustituir $ϕ = 5 π$ rad en la Ecuación 4.4 se obtiene un resultado similar para $I_{2}$ .

En la Figura 4.9 se muestra un gráfico de la Ecuación 4.4 y justo debajo hay una fotografía de un patrón de difracción real. Tome en cuenta que el pico central es mucho más brillante que los demás, y que los ceros del patrón se sitúan en aquellos puntos en los que $sen β = 0,$ que se produce cuando $β = m π$ rad. Esto corresponde a

\frac{π a sen θ}{λ} = m π,

o

a sen θ = m λ,

que es la Ecuación 4.1.

La figura a muestra un gráfico de I por I0 frente a beta. Hay una cresta en el centro de la gráfica en beta igual a 0. El valor y de esto es 1. El gráfico tiene ondulaciones a ambos lados que se reducen a medida que se avanza. La gráfica tiene ceros en menos 3 pi, menos 2 pi, menos pi, pi, 2 pi, 3 pi. La figura b muestra una franja en la que se alternan regiones claras y oscuras. La parte central es la más brillante.

Figura 4.9 (a) La distribución de intensidad calculada de un patrón de difracción por una rendija. (b) El patrón de difracción real.

Ejemplo 4.2

Intensidad en la difracción de una rendija

La luz de longitud de onda 550 nm pasa a través de una rendija con un ancho de

2,00 μ m

y produce un patrón de difracción similar al que se muestra en la Figura 4.9. (a) Halle las ubicaciones de los dos primeros mínimos en términos del ángulo desde el máximo central y (b) determine la intensidad relativa al máximo central en un punto a medio camino entre estos dos mínimos.

Estrategia

Los mínimos vienen dados por la Ecuación 4.1,

a sen θ = m λ

. Los dos primeros mínimos son para

m = 1

y

m = 2 .

La Ecuación 4.4 y la Ecuación 4.2 pueden utilizarse para determinar la intensidad una vez que se ha calculado el ángulo.

Solución

Resolver la Ecuación 4.1 para $θ$ nos da $θ_{m} = {sen}^{−1} (m λ / a),$ para que la

$θ_{1} = {sen}^{−1} (\frac{(+ 1) (550 \times 10^{−9} m)}{2,00 \times 10^{−6} m}) = + 16,0 °$

y

$θ_{2} = {sen}^{−1} (\frac{(+ 2) (550 \times 10^{−9} m)}{2,00 \times 10^{−6} m}) = + 33,4 ° .$
El punto medio entre $θ_{1}$ y $θ_{2}$ es
$θ = (θ_{1} + θ_{2}) / 2 = (16,0 ° + 33,4 °) / 2 = 24,7 ° .$

Ecuación 4.2 obtenemos

β = \frac{π a sen θ}{λ} = \frac{π (2,00 \times 10^{−6} m) sen (24,7 °)}{(550 \times 10^{−9} m)} = 1,52 π o 4,77 rad .

A partir de la Ecuación 4.4, podemos calcular

\frac{I}{I_{o}} = {(\frac{sen β}{β})}^{2} = {(\frac{sen (4,77)}{4,77})}^{2} = {(\frac{-0,9985}{4,77})}^{2} = 0,044 .

Importancia

Esta posición, a medio camino entre dos mínimos, está muy cerca de la ubicación del máximo, previsto cerca de

β = 3 π / 2, o 1,5 π

.

Compruebe Lo Aprendido 4.2

Para el experimento del Ejemplo 4.2, ¿a qué ángulo del centro se encuentra el tercer máximo y cuál es su intensidad con respecto al máximo central?

Si se varía el ancho de la rendija D, la distribución de la intensidad cambia, como se ilustra en la Figura 4.10. El pico central se distribuye en la región de $sen θ = − λ / a$ a $sen θ = + λ / a$ . Para los pequeños $θ$ , esto corresponde a un ancho angular $Δ θ \approx 2 λ / a .$ Por lo tanto, un aumento del ancho de la hendidura provoca una disminución del ancho del pico central. Para una hendidura con $a ≫ λ,$ el pico central es muy agudo, mientras que si $a \approx λ$ , se convierte en algo muy amplio.

Las figuras, desde la a hasta la, c, muestran gráficos de I por I0 frente a theta en grados. Cada una tiene una cresta de onda con valor y 1 en x=0. La figura a, marcada como a igual a lambda, tiene un arco amplio. La figura b, marcada como a igual a 5 lambda, tiene una cresta más estrecha. Tiene ceros aproximadamente entre 10 y 15 y entre menos 10 y menos 15. La figura c, marcada como a igual a 10 lambda, tiene una cresta estrecha. Tiene ceros en más y menos 5, aproximadamente entre 10 y 15 y entre menos 10 y menos 15.

Figura 4.10 Patrones de difracción por una rendija para varios anchos de rendija. A medida que el ancho de la rendija a aumenta de

a = λ a 5 λ

y luego a

10λ

, el ancho del pico central disminuye a medida que disminuyen los ángulos de los primeros mínimos, tal como predice la Ecuación 4.1.

Interactivo

Un experimento de difracción en óptica puede requerir mucha preparación, pero esta simulación de Andrew Duffy ofrece no solo una rápida preparación, sino también la posibilidad de cambiar el ancho de la rendija al instante. Ejecute la simulación y seleccione “Single slit” (una rendija). Puede ajustar el ancho de la rendija y ver el efecto sobre el patrón de difracción en una pantalla y en forma de gráfico.