2.7 La lupa simple

El tamaño aparente de un objeto percibido por el ojo depende del ángulo que el objeto subtiende desde el ojo. Como se muestra en la Figura 2.36, el objeto en A subtiende un ángulo mayor desde el ojo que cuando está en posición en el punto B. Por lo tanto, el objeto en A forma una imagen mayor en la retina (consulte $O{A}^{\prime }$) que cuando se sitúa en B (vea $O{B}^{\prime }$). Así, los objetos que subyacen a grandes ángulos del ojo parecen más grandes porque forman imágenes más grandes en la retina.

Figura 2.36 El tamaño percibido por un ojo está determinado por el ángulo subtendido por el objeto. Una imagen formada en la retina por un objeto situado en A es mayor que una imagen formada en la retina por el mismo objeto situado en B (alturas de imagen comparadas $O{A}^{\prime }$ a $O{B}^{\prime }$).

Hemos visto que, cuando un objeto se coloca dentro de la distancia focal de una lente convexa, su imagen es virtual, vertical y más grande que el objeto (consulte la parte (b) de la Figura 2.26). Así, cuando una imagen producida por una lente convexa sirve de objeto para el ojo, como se muestra en la Figura 2.37, la imagen en la retina se amplía, porque la imagen producida por la lente subtiende un ángulo mayor en el ojo que el objeto. Una lente convexa utilizada con este fin se denomina lupa o lupa simple.

Figura 2.37 La lupa simple es una lente convexa utilizada para producir una imagen ampliada de un objeto en la retina. (a) Sin lente convexa, el objeto subtiende un ángulo ${\theta }_{\text{objeto}}$ del ojo. (b) Con la lente convexa colocada, la imagen producida por la lente convexa subtiende un ángulo ${\theta }_{\text{imagen}}$ del ojo, con ${\theta }_{\text{imagen}}>{\theta }_{\text{objeto}}$. Así, la imagen en la retina es mayor con la lente convexa colocada.

Para tener en cuenta el aumento de una lente de aumento, comparamos el ángulo subtendido por la imagen (creada por la lente) con el ángulo subtendido por el objeto (visto sin lente), como se muestra en la Figura 2.37. Suponemos que el objeto está situado en el punto cercano del ojo, porque ésta es la distancia del objeto a la que el ojo sin ayuda puede formar la mayor imagen en la retina. Compararemos las imágenes ampliadas creadas por una lente con este tamaño máximo de imagen para el ojo sin ayuda. El aumento de una imagen cuando es observada por el ojo es el aumento angular M, que se define por la relación del ángulo ${\theta }_{\text{imagen}}$ subtendido por la imagen al ángulo ${\theta }_{\text{objeto}}$ subtendido por el objeto:

Considere la situación que se muestra en la Figura 2.37. La lente de aumento se mantiene a una distancia $\mathcal{\ell }$ del ojo, y la imagen producida por la lupa se forma a una distancia L del ojo. Queremos calcular el aumento angular para cualquier L y $\mathcal{\ell }$. En la aproximación para ángulos pequeños, el tamaño angular ${\theta }_{\text{imagen}}$ de la imagen es $h_{\text{i}}\text{/}L$. El tamaño angular ${\theta }_{\text{objeto}}$ del objeto en el punto cercano es ${\theta }_{\text{objeto}}=h_{\text{o}}\text{/}25\text{cm}$. El aumento angular es entonces

Utilizando la Ecuación 2.8 para el aumento lineal

y la ecuación de lentes delgadas

en la Ecuación 2.27, llegamos a la siguiente expresión para el aumento angular de una lente de aumento:

En la parte (b) de la figura, vemos que el valor absoluto de la distancia de imagen es $\left|d_{\text{i}}\right|=L-\mathcal{\ell }$. Tenga en cuenta que $d_{\text{i}}<0$ porque la imagen es virtual, por lo que podemos prescindir del valor absoluto insertando explícitamente el signo menos $-d_{\text{i}}=L-\mathcal{\ell }$. Al insertar esto en la Ecuación 2.28 obtenemos la ecuación final para el aumento angular de una lente de aumento:

Tenga en cuenta que todas las cantidades de esta ecuación deben expresarse en centímetros. A menudo, queremos que la imagen esté a la distancia del punto cercano ($L=25\text{cm}$) para obtener el máximo aumento, y mantenemos la lente de aumento cerca del ojo ($\mathcal{\ell }=0$). En este caso, la Ecuación 2.29 resulta en

que muestra que el mayor aumento se produce para la lente con la menor distancia focal. Además, cuando la imagen está en la distancia de punto cercano y el objetivo se mantiene cerca del ojo $(\mathcal{\ell }=0)$, entonces $L=d_{\text{i}}=25\text{cm}$ y la Ecuación 2.27 se convierte en

donde m es el aumento lineal (Ecuación 2.32) derivado para espejos esféricos y lentes delgadas. Otra situación de utilidad es cuando la imagen está en el infinito $(L=\text{∞})$. La Ecuación 2.29 entonces toma la siguiente forma:

El aumento resultante es simplemente la relación entre la distancia al punto cercano y la distancia focal de la lente de aumento, por lo que una lente con una distancia focal más corta proporciona un aumento mayor. Aunque este aumento tiene un valor menor que 1 en comparación con el aumento obtenido con la imagen en el punto cercano, lo que permite obtener las condiciones de visión más cómodas, ya que el ojo está relajado al ver un objeto lejano.

Comparando la Ecuación 2.29 con la Ecuación 2.32, vemos que el rango de aumento angular de una lente convergente dada es