2.8 Microscopios y telescopios

Microscopios

Aunque el ojo es maravilloso en su capacidad de ver objetos grandes y pequeños, obviamente está limitado en los detalles más pequeños que puede detectar. El deseo de ver más allá de lo que es posible a simple vista condujo al uso de instrumentos ópticos. Hemos visto que una simple lente convexa puede crear una imagen ampliada, pero es difícil conseguir grandes aumentos con una lente de este tipo. Un aumento superior a $5\times$ es difícil sin distorsionar la imagen. Para obtener un mayor aumento, podemos combinar la lupa simple con una o varias lentes adicionales. En esta sección, examinamos los microscopios que amplían los detalles que no podemos ver a simple vista.

Los microscopios fueron desarrollados por primera vez a principios de los años 1600 por los fabricantes de anteojos de los Países Bajos y Dinamarca. El microscopio compuesto más sencillo se construye a partir de dos lentes convexas (Figura 2.38). La lente objetivo es una lente convexa de corta distancia focal (es decir, de alta potencia) con un aumento típico de $5\times$ a $100\times$. El ocular, también conocido como lente ocular, es una lente convexa de mayor distancia focal.

La finalidad de un microscopio es crear imágenes ampliadas de objetos pequeños, y ambas lentes contribuyen al aumento final. Además, la imagen final ampliada se produce lo suficientemente lejos del observador como para que se pueda ver fácilmente, ya que el ojo no puede enfocar objetos o imágenes que están demasiado cerca (es decir, más cerca que el punto cercano del ojo).

Figura 2.38 Un microscopio compuesto está formado por dos lentes: un objetivo y un ocular. El objetivo forma la primera imagen, que es más grande que el objeto. Esta primera imagen está dentro de la distancia focal del ocular y sirve como objeto para el ocular. El ocular forma la imagen final que se amplía aún más.

Para ver cómo el microscopio en la Figura 2.38 forma una imagen, tenga en cuenta sus dos lentes en sucesión. El objeto está más allá de la distancia focal $f^{\text{obj}}$ de la lente objetivo, produciendo una imagen real e invertida más grande que el objeto. Esta primera imagen sirve de objeto para la segunda lente o el ocular. El ocular se coloca de forma que la primera imagen se encuentre dentro de su distancia focal $f^{\text{ojo}}$, para poder ampliar aún más la imagen. En cierto sentido, actúa como una lupa que amplía la imagen intermedia producida por el objetivo. La imagen producida por el ocular es una imagen virtual ampliada. La imagen final permanece invertida, pero está más lejos del observador que el objeto, lo que facilita su visualización.

El ojo ve la imagen virtual creada por el ocular, que sirve de objeto para el cristalino. La imagen virtual formada por el ocular está muy lejos de la distancia focal del ojo, por lo que el ojo forma una imagen real en la retina.

El aumento del microscopio es el producto del aumento lineal $m^{\text{obj}}$ por parte del objetivo y el aumento angular $M^{\text{ojo}}$ por parte del ocular. Estas vienen dadas por

Aquí, $f^{\text{obj}}$ y $f^{\text{ojo}}$ son las distancias focales del objetivo y del ocular, respectivamente. Suponemos que la imagen final se forma en el punto cercano del ojo, proporcionando el mayor aumento. Tome en cuenta que el aumento angular del ocular es el mismo que el obtenido anteriormente para la lupa simple. Esto no debería sorprender, porque el ocular es esencialmente una lupa y aquí se aplica la misma física. El aumento neto $M_{\mathrm{neto}}$ del microscopio compuesto es el producto del aumento lineal del objetivo y el aumento angular del ocular:

Figura 2.39 Un microscopio compuesto con la imagen creada en el infinito.

A continuación, calculamos la potencia de aumento de un microscopio cuando la imagen está en el infinito, como se muestra en la Figura 2.39, ya que así se consigue una visión más relajada. La potencia de aumento del microscopio es el producto del aumento lineal $m^{\text{obj}}$ del objetivo y el aumento angular $M^{\text{ojo}}$ del ocular. Sabemos que $m^{\text{obj}}=\text{−}{d}_{\text{i}}^{\text{obj}}\text{/}{d}_{\text{o}}^{\text{obj}}$ y de la ecuación de lentes delgadas obtenemos

Si la imagen final está en el infinito, entonces la imagen creada por el objetivo debe estar situada en el punto focal del ocular. Esto puede verse considerando la ecuación de lentes delgadas con $d_{\text{i}}=\text{∞}$ o recordando que los rayos que pasan por el punto focal salen de la lente paralelos entre sí, lo que equivale a enfocar al infinito. En muchos microscopios, la distancia entre el punto focal del lado de la imagen del objetivo y el punto focal del lado del objeto del ocular está normalizada en $L=16\text{cm}$. Esta distancia se denomina longitud del tubo del microscopio. En la Figura 2.39, vemos que $L=f^{\text{obj}}-d_{\text{i}}^{\text{obj}}$. Al insertar esto en la Ecuación 2.35 se obtiene

Ahora tenemos que calcular el aumento angular del ocular con la imagen en el infinito. Para ello, tomamos la relación del ángulo ${\theta }_{\text{imagen}}$ subtendido por la imagen al ángulo ${\theta }_{\text{objeto}}$ subtendido por el objeto en el punto cercano del ojo (esto es lo más cerca que el ojo puede ver el objeto a simple vista y, por lo tanto, esta es la posición donde el objeto formará la imagen más grande en la retina del ojo a simple vista). Al utilizar la Figura 2.39 y trabajar en la aproximación para ángulos pequeños, tenemos ${\theta }_{\text{imagen}}\approx h_{\text{i}}^{\text{obj}}\text{/}{f}^{\text{ojo}}$ y ${\theta }_{\text{objeto}}\approx h_{\text{i}}^{\text{obj}}\text{/}25\text{cm}$, donde $h_{\text{i}}^{\text{obj}}$ es la altura de la imagen formada por el objetivo, que es el objeto del ocular. Así, el aumento angular del ocular es

Por lo tanto, la potencia neta de aumento del microscopio compuesto con la imagen en el infinito es

Las distancias focales deben estar en centímetros. El signo menos indica que la imagen final está invertida. Tenga en cuenta que las únicas variables de la ecuación son las distancias focales del ocular y del objetivo, lo que hace que esta ecuación sea especialmente útil.

Telescopios

Los telescopios están pensados para ver objetos lejanos y producen una imagen mayor que la que se produce a simple vista. Los telescopios recogen mucha más luz que el ojo, lo que permite observar los objetos tenues con mayor aumento y mejor resolución. Los telescopios se inventaron en torno al año 1600, y Galileo fue el primero en utilizarlos para estudiar los cielos, con consecuencias monumentales. Observó las lunas de Júpiter, los cráteres y montañas de la Luna, los detalles de las manchas solares y el hecho de que la Vía Láctea está compuesta por un gran número de estrellas individuales.

Figura 2.40 (a) Galileo fabricó telescopios con un objetivo convexo y un ocular cóncavo. Estos producen una imagen vertical y se utilizan en los catalejos. (b) La mayoría de los telescopios refractores simples tienen dos lentes convexas. El objetivo forma una imagen real e invertida en el plano focal del ocular (o justo dentro de él). Esta imagen sirve de objeto para el ocular. El ocular forma una imagen virtual e invertida que se amplía.

La parte (a) de la Figura 2.40 muestra un telescopio refractor formado por dos lentes. La primera lente, llamada objetivo, forma una imagen real dentro de la distancia focal de la segunda lente, que se llama ocular. La imagen de la lente objetivo sirve de objeto para el ocular, que forma una imagen virtual ampliada que es observada por el ojo. Este diseño es el que utilizó Galileo para observar los cielos.

Aunque la disposición de las lentes en un telescopio refractor es similar a la de un microscopio, existen importantes diferencias. En un telescopio, el objeto real está lejos y la imagen intermedia es más pequeña que el objeto. En un microscopio, el objeto real está muy cerca y la imagen intermedia es más grande que el objeto. Tanto en el telescopio como en el microscopio, el ocular amplía la imagen intermedia; en el telescopio, sin embargo, este es el único aumento.

El telescopio de dos lentes más común se muestra en la parte (b) de la figura. El objeto está tan lejos del telescopio que se encuentra esencialmente en el infinito en comparación con las distancias focales de los objetivos $(d_{\text{o}}^{\text{obj}}\approx \text{∞})$, por lo que los rayos entrantes son esencialmente paralelos y se enfocan en el plano focal. Así, la primera imagen se produce en $d_{\text{i}}^{\text{obj}}=f^{\text{obj}}$, como se muestra en la figura, y no es grande en comparación con lo que se podría ver mirando directamente al objeto. Sin embargo, el ocular del telescopio (al igual que el del microscopio) le permite que esta primera imagen parezca más cerca que su punto cercano y así la amplía (al estar cerca de ella, subtiende un ángulo mayor desde el ojo y así forma una imagen mayor en su retina). Como en el caso de una lupa simple, el aumento angular de un telescopio es la relación del ángulo subtendido por la imagen [${\theta }_{\text{imagen}}$ en la parte (b)] al ángulo subtendido por el objeto real [${\theta }_{\text{objeto}}$ en la parte (b)]:

Para obtener una expresión para el aumento que implique únicamente los parámetros de la lente, hay que tener en cuenta que el plano focal de la lente objetivo está muy cerca del plano focal del ocular. Si asumimos que estos planos están superpuestos, tenemos la situación que se muestra en la Figura 2.41.

Figura 2.41 El plano focal del objetivo de un telescopio está muy cerca del plano focal del ocular. El ángulo ${\theta }_{\text{imagen}}$ subtendido por la imagen vista a través del ocular es mayor que el ángulo ${\theta }_{\text{objeto}}$ subtendido por el objeto cuando se ve a simple vista.

Además, suponemos que los ángulos ${\theta }_{\text{objeto}}$ y ${\theta }_{\text{imagen}}$ son pequeños, por lo que la aproximación para ángulos pequeños se mantiene ($\text{tan}\theta \approx \theta$). Si la imagen formada en el plano focal tiene una altura h, entonces

donde el signo menos se introduce porque la altura es negativa si medimos ambos ángulos en el sentido contrario a las agujas del reloj. Al insertar estas expresiones en la Ecuación 2.39 se obtiene

Así, para obtener el mayor aumento angular, lo mejor es tener un objetivo con una distancia focal larga y un ocular con una distancia focal corta. Cuanto mayor sea el aumento angular M, más grande parecerá un objeto cuando se vea a través de un telescopio, lo que hace que más detalles sean visibles. Los límites de los detalles observables vienen impuestos por muchos factores, como la calidad de las lentes y las perturbaciones atmosféricas. Los oculares típicos tienen distancias focales de 2,5 cm o 1,25 cm. Si el objetivo del telescopio tiene una distancia focal de 1 metro, estos oculares dan lugar a aumentos de $40\times$ y $80\times$, respectivamente. Así, los aumentos angulares hacen que la imagen parezca 40 u 80 veces más cercana que el objeto real.

El signo menos en el aumento indica que la imagen está invertida, lo que no tiene importancia para la observación de las estrellas, pero es un verdadero problema para otras aplicaciones, como los telescopios de los barcos o las miras telescópicas. Si se necesita una imagen vertical, se puede utilizar la disposición de Galileo en la parte (a) de la Figura 2.40. Pero una disposición más común es utilizar una tercera lente convexa como ocular, aumentando la distancia entre las dos primeras e invirtiendo la imagen una vez más, como se ve en la Figura 2.42.

Figura 2.42 Esta disposición de tres lentes en un telescopio produce una imagen final vertical. Las dos primeras lentes están lo suficientemente separadas como para que la segunda invierta la imagen de la primera. La tercera lente actúa como lupa y mantiene la imagen en posición vertical y en un lugar fácil de observar.

El mayor telescopio refractor del mundo es el telescopio Yerkes, de 40 pulgadas (o 101 cm) de diámetro, situado en el lago Geneva, Wisconsin (Figura 2.43), y dirigido por la Universidad de Chicago.

Es muy difícil y caro construir grandes telescopios refractores. Se necesitan grandes lentes sin defectos, lo que en sí mismo es una tarea técnicamente exigente. Un telescopio refractor se parece básicamente a un tubo con una estructura de soporte para girarlo en diferentes direcciones. Los telescopios refractores tienen varios problemas. La aberración de las lentes hace que la imagen sea borrosa. Además, al aumentar el grosor de las lentes, se absorbe más luz, lo que dificulta la observación de las estrellas débiles. Las lentes grandes también son muy pesadas y se deforman por su propio peso. Algunos de estos problemas de los telescopios refractores se solucionan evitando la refracción para recoger la luz y utilizando en su lugar un espejo curvo, tal y como lo diseñó Isaac Newton. Estos telescopios se denominan telescopios reflectores.

Figura 2.43 En 1897, el Observatorio Yerkes de Wisconsin (EE.UU.) construyó un gran telescopio refractor con una lente objetivo de 40 pulgadas (o 101 cm) de diámetro y una longitud de tubo de 62 pies (o 18,89 metros). (crédito: Observatorio Yerkes, Universidad de Chicago)

Telescopios reflectores

Isaac Newton diseñó el primer telescopio reflector hacia 1670 para resolver el problema de la aberración cromática que se produce en todos los telescopios refractores. En la aberración cromática, la luz de diferentes colores se refracta en cantidades ligeramente diferentes en la lente. Como consecuencia, aparece un arcoíris alrededor de la imagen y la misma se ve borrosa. En el telescopio reflector, los rayos de luz procedentes de una fuente lejana inciden sobre la superficie de un espejo cóncavo fijado en el extremo inferior del tubo. El uso de un espejo en lugar de un objetivo elimina la aberración cromática. El espejo cóncavo enfoca los rayos en su plano focal. El problema de diseño es cómo observar la imagen enfocada. Newton utilizó un diseño en el que la luz enfocada del espejo cóncavo se reflejaba hacia un lado del tubo en un ocular [parte (a) de la Figura 2.44]. Esta disposición es común en muchos telescopios de aficionados y se denomina diseño newtoniano.

Algunos telescopios reflejan la luz hacia el centro del espejo cóncavo utilizando un espejo convexo. En esta disposición, el espejo cóncavo que recoge la luz tiene un agujero en el centro [parte (b) de la figura]. La luz incide entonces en una lente del ocular. Esta disposición del objetivo y del ocular se denomina diseño de Cassegrain. La mayoría de los grandes telescopios, incluido el telescopio espacial Hubble, tienen este diseño. También son posibles otras disposiciones. En algunos telescopios, se coloca un detector de luz justo en el punto donde la luz es enfocada por el espejo curvo.

Figura 2.44 Telescopios reflectores: (a) En el diseño newtoniano, el ocular está situado en el lateral del telescopio; (b) en el diseño de Cassegrain, el ocular está situado más allá de un agujero en el espejo primario.

La mayoría de los telescopios de investigación astronómica son ahora del tipo reflector. Uno de los primeros grandes telescopios de este tipo es el telescopio Hale, de 200 pulgadas (o 5 metros), construido en el monte Palomar, en el sur de California, que tiene un espejo de 200 pulgadas (o 5,08 metros) de diámetro. Uno de los mayores telescopios del mundo es el telescopio Keck, de 10 metros, situado en el Observatorio Keck, en la cima del volcán inactivo Mauna Kea, en Hawái. El Observatorio Keck opera dos telescopios de 10 metros. Ninguno de ellos es de un solo espejo, sino que están formados por 36 espejos hexagonales. Además, los dos telescopios del Keck pueden trabajar juntos, lo que aumenta su potencia hasta un espejo eficaz de 85 metros. El telescopio Hubble (Figura 2.45) es otro gran telescopio reflector con un espejo primario de 2,4 metros de diámetro. El Hubble fue puesto en órbita alrededor de la Tierra en 1990.

Figura 2.45 El telescopio espacial Hubble visto desde el transbordador espacial Discovery (crédito: modificación de un trabajo de la NASA)

El aumento angular M de un telescopio reflector también viene dado por la Ecuación 2.36. Para un espejo esférico, la distancia focal es la mitad del radio de curvatura, por lo que hacer un espejo objetivo grande no solo ayuda al telescopio a recoger más luz, sino que también incrementa el aumento de la imagen.