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Física Universitaria Volumen 3

2.2 Espejos esféricos

Física Universitaria Volumen 32.2 Espejos esféricos
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir la formación de imágenes mediante espejos esféricos.
  • Utilizar los diagramas de rayos y la ecuación del espejo para calcular las propiedades de una imagen en un espejo esférico.

La imagen en un espejo plano tiene el mismo tamaño que el objeto, está en posición vertical y se encuentra a la misma distancia detrás del espejo que el objeto frente a él. Un espejo curvo, por el contrario, puede formar imágenes que pueden ser más grandes o más pequeñas que el objeto y pueden formarse delante o detrás del espejo. En general, cualquier superficie curva formará una imagen, aunque algunas imágenes pueden estar tan distorsionadas que no se pueden reconocer (piense en los espejos de las casas de diversión).

Dado que los espejos curvos pueden crear una gran variedad de imágenes, se utilizan en muchos dispositivos ópticos que tienen muchos usos. Nos centraremos principalmente en los espejos esféricos, ya que son más fáciles de fabricar que los espejos parabólicos y, por tanto, son más comunes.

Espejos curvos

Podemos definir dos tipos generales de espejos esféricos. Si la superficie reflectante es la cara exterior de la esfera, el espejo se llama espejo convexo. Si la superficie interior es la superficie reflectante, se denomina espejo cóncavo.

La simetría es una de las principales características de muchos dispositivos ópticos, como los espejos y las lentes. El eje de simetría de estos elementos ópticos suele denominarse eje principal o eje óptico. Para un espejo esférico, el eje óptico pasa por el centro de curvatura del espejo y el vértice del mismo, como se muestra en la Figura 2.5.

La figura a muestra un círculo, dividido por dos líneas paralelas, que forman dos arcos, uno naranja y el otro azul. Una línea marcada como eje óptico pasa por el centro del círculo, intersectándolo en los puntos medios de ambos arcos. Cada punto medio está marcado como vértice. En la figura b se muestra el arco naranja, marcado como espejo cóncavo, con la superficie reflectante mostrada en el interior. En la figura c se muestra el arco azul, marcado como espejo convexo, con la superficie reflectante mostrada en el exterior.
Figura 2.5 Un espejo esférico se forma cortando un trozo de esfera y plateando la superficie interior o exterior. Un espejo cóncavo tiene un plateado en la superficie interior (piense en una "cueva"), y un espejo convexo tiene un plateado en la superficie exterior.

Considere los rayos paralelos al eje óptico de un espejo parabólico, como se muestra en la parte (a) de la Figura 2.6. Siguiendo la ley de reflexión, estos rayos se reflejan de manera que convergen en un punto, llamado punto focal. La parte (b) de esta figura muestra un espejo esférico que es grande en comparación con su radio de curvatura. En este espejo, los rayos reflejados no se cruzan en el mismo punto, por lo que el espejo no tiene un punto focal bien definido. Esto se llama aberración esférica y da lugar a una imagen borrosa de un objeto extendido. La parte (c) muestra un espejo esférico que es pequeño en comparación con su radio de curvatura. Este espejo es una buena aproximación a un espejo parabólico, por lo que los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan en un punto focal bien definido. La distancia a lo largo del eje óptico desde el espejo hasta el punto focal se denomina distancia focal del espejo.

La figura a muestra la sección transversal de un espejo parabólico. Los rayos paralelos se reflejan en él y convergen en un punto denominado F dentro de la parábola. La figura b muestra los rayos paralelos reflejados en un arco. Se reflejan hacia varios puntos diferentes cercanos entre sí. La figura c muestra un arco cuyo radio de curvatura es mucho mayor que el del arco de la figura b. Los rayos paralelos se reflejan en él y convergen en un punto denominado F. La distancia del punto F al espejo se denomina f.
Figura 2.6 (a) Los rayos paralelos reflejados en un espejo parabólico se cruzan en un único punto llamado punto focal F. (b) Los rayos paralelos reflejados en un espejo esférico grande no se cruzan en un punto común. (c) Si un espejo esférico es pequeño comparado con su radio de curvatura, se aproxima mejor a la parte central de un espejo parabólico, por lo que los rayos paralelos se cruzan esencialmente en un punto común. La distancia a lo largo del eje óptico desde el espejo hasta el punto focal es la distancia focal f del espejo.

Un espejo esférico convexo también tiene un punto focal, como se muestra en la Figura 2.7. Los rayos incidentes paralelos al eje óptico se reflejan en el espejo y parecen originarse en el punto F a la distancia focal f detrás del espejo. Por lo tanto, el punto focal es virtual porque ningún rayo real lo atraviesa realmente; solo parece que se origina en él.

La figura a muestra la sección transversal de un espejo convexo. Los rayos paralelos se reflejan en él y divergen en diferentes direcciones. Los rayos reflejados se prolongan en la parte posterior mediante líneas de puntos y parecen originarse en un único punto detrás del espejo. Este punto se denomina F. La distancia de este punto al espejo se denomina f. La figura b muestra la fotografía de un espejo convexo que refleja la imagen de un edificio. La imagen está curvada y distorsionada.
Figura 2.7 (a) Rayos reflejados por un espejo esférico convexo: Los rayos de luz incidentes paralelos al eje óptico se reflejan en un espejo esférico convexo y parecen proceder de un punto focal bien definido a la distancia focal f en el lado opuesto del espejo. El punto focal es virtual porque ningún rayo real lo atraviesa. (b) Fotografía de una imagen virtual formada por un espejo convexo. (crédito b: modificación del trabajo de Jenny Downing)

¿Cómo se relaciona la distancia focal de un espejo con el radio de curvatura del mismo? La Figura 2.8 muestra un único rayo que se refleja en un espejo esférico cóncavo. El rayo incidente es paralelo al eje óptico. El punto en el que el rayo reflejado cruza el eje óptico es el punto focal. Obsérvese que todos los rayos incidentes que son paralelos al eje óptico se reflejan a través del punto focal; solo mostramos un rayo para simplificar. Queremos encontrar la relación entre la distancia focal FP (señalada con una f) y el radio de curvatura del espejo, R, cuya longitud es R=CF+FPR=CF+FP. La ley de reflexión nos dice que los ángulos OXC y CXF son iguales, y como el rayo incidente es paralelo al eje óptico, los ángulos OXC y XCP también son iguales. Así, el triángulo CXF es un triángulo isósceles con CF=FXCF=FX. Si el ángulo θθ es pequeño (por lo que senθθsenθθ; esto se denomina «aproximación para ángulos pequeños"), entonces FXFPFXFP o CFFPCFFP. Al insertar esto en la ecuación del radio R, obtenemos

R=CF+FP=FP+FP=2FP=2fR=CF+FP=FP+FP=2FP=2f
La figura muestra el diagrama de un espejo cóncavo. Un rayo incidente que parte del punto O incide en el espejo en el punto X. El rayo reflejado pasa por el punto F. Una recta CX biseca el ángulo formado por los rayos incidente y reflejado. Esta línea se denomina R. Una línea paralela al rayo incidente pasa por los puntos C y F y choca con el espejo en el punto P. La distancia entre los puntos F y P se denomina f. El ángulo OXC, el ángulo CXF y el ángulo XCF están marcados como theta.
Figura 2.8 Reflexión en un espejo cóncavo. En la aproximación para ángulos pequeños, un rayo paralelo al eje óptico CP se refleja a través del punto focal F del espejo.

En otras palabras, en la aproximación para ángulos pequeños, la distancia focal f de un espejo esférico cóncavo es la mitad de su radio de curvatura, R:

f=R2.f=R2.
2.2

En este capítulo, asumimos que la aproximación para ángulos pequeños (también llamada aproximación paraxial) es siempre válida. En esta aproximación, todos los rayos son paraxiales, lo que significa que forman un pequeño ángulo con el eje óptico y están a una distancia mucho menor que el radio de curvatura del eje óptico. En este caso, sus ángulos θθ de reflexión son ángulos pequeños, por lo que senθtanθθsenθtanθθ.

Uso del trazado de rayos para localizar imágenes

Para encontrar la ubicación de una imagen formada por un espejo esférico, primero utilizamos el trazado de rayos, que es la técnica de dibujar rayos y utilizar la ley de reflexión para determinar los rayos reflejados (posteriormente, para las lentes, utilizamos la ley de refracción para determinar los rayos refractados). Combinado con algo de geometría básica, podemos utilizar el trazado de rayos para encontrar el punto focal, la ubicación de la imagen y otra información sobre cómo un espejo manipula la luz. Anteriormente utilizamos el trazado de rayos para localizar el punto focal de los espejos esféricos o la distancia de imagen de los espejos planos. Para localizar la imagen de un objeto, hay que localizar al menos dos puntos de la imagen. La localización de cada punto requiere dibujar al menos dos rayos desde un punto del objeto y construir sus rayos reflejados. El punto en el que se cruzan los rayos reflejados, ya sea en el espacio real o en el virtual, es donde se encuentra el punto correspondiente de la imagen. Para facilitar el trazado de rayos, nos concentramos en cuatro rayos "principales" cuyas reflexiones son fáciles de construir.

La Figura 2.9 muestra un espejo cóncavo y otro convexo, cada uno con un objeto en forma de flecha adelante. Estos son los objetos cuyas imágenes queremos localizar mediante el trazado de rayos. Para ello, trazamos rayos desde el punto Q que está en el objeto pero no en el eje óptico. Elegimos dibujar nuestro rayo desde la punta del objeto. El rayo principal 1 parte del punto Q y viaja paralelo al eje óptico. La reflexión de este rayo debe pasar por el punto focal, como se ha comentado anteriormente. Así, para el espejo cóncavo, la reflexión del rayo principal 1 pasa por el punto focal F, como se muestra en la parte (b) de la figura. Para el espejo convexo, la prolongación hacia atrás de la reflexión del rayo principal 1 pasa por el punto focal (es decir, un foco virtual). El rayo principal 2 recorre primero la línea que pasa por el punto focal y luego se refleja a lo largo de una línea paralela al eje óptico. El rayo principal 3 se desplaza hacia el centro de curvatura del espejo, por lo que incide en el espejo con incidencia normal y se refleja a lo largo de la línea de la que procede. Por último, el rayo principal 4 incide en el vértice del espejo y se refleja simétricamente alrededor del eje óptico.

La figura a muestra la sección transversal de un espejo cóncavo. Una flecha hacia arriba, marcada como objeto, con base P y punta Q, está delante del espejo. Una línea une los puntos P, C, F y V, que está en el espejo. Una flecha hacia abajo con base P prima y punta Q prima se marca como imagen. Es más pequeña que el objeto. La P prima se encuentra en el eje óptico entre los puntos C y F. Cuatro rayos incidentes, marcados del 1 al 4 se originan en el punto Q. Los cuatro rayos reflejados se cruzan en el punto Q prima. La figura b muestra la sección transversal de un espejo convexo. Una flecha hacia arriba, marcada como objeto con base P y punta Q, está delante del espejo. Una línea desde el punto P pasa por el punto V del espejo y el punto F detrás del espejo antes de conectarse con el punto C. Detrás del espejo se muestra una flecha más pequeña, hacia arriba, marcada como imagen, con base P prima y punta Q prima. P prima se encuentra en el eje óptico entre los puntos V y F. Cuatro rayos incidentes se originan en el punto Q. Los rayos reflejados se extienden en la parte posterior con líneas punteadas y todos parecen originarse en el punto Q prima.
Figura 2.9 Se muestran los cuatro rayos principales para (a) un espejo cóncavo y para (b) en un espejo convexo. La imagen se forma donde se cruzan los rayos (para imágenes reales) o donde se cruzan sus prolongaciones hacia atrás (para imágenes virtuales).

Los cuatro rayos principales se cruzan en el punto QQ, que es donde se encuentra la imagen del punto Q. Para localizar el punto QQ, basta con dibujar dos de estos rayos principales. Por lo tanto, somos libres de elegir cualquiera de los rayos principales que deseemos para ubicar la imagen. Dibujar más de dos rayos principales a veces es útil para verificar que el trazado de rayos es correcto.

Para localizar completamente la imagen extendida, necesitamos localizar un segundo punto en la imagen, para saber cómo está orientada la imagen. Para hacerlo, trazamos los rayos principales desde la base del objeto. En este caso, los cuatro rayos principales recorren el eje óptico, se reflejan en el espejo y vuelven a recorrer el eje óptico. La dificultad radica en que, como estos rayos son colineales, no podemos determinar un punto único en el que se cruzan. Solo sabemos que la base de la imagen está en el eje óptico. Sin embargo, como el espejo es simétrico de arriba a abajo, no cambia la orientación vertical del objeto. Así, como el objeto es vertical, la imagen debe ser vertical. Por lo tanto, la imagen de la base del objeto está en el eje óptico directamente por encima de la imagen de la punta, como se dibuja en la figura.

Para el espejo cóncavo, la imagen extendida se forma en este caso entre el punto focal y el centro de curvatura del espejo. Está invertida con respecto al objeto, es una imagen real y es más pequeña que el objeto. Si acercáramos o alejáramos el objeto al espejo, las características de la imagen cambiarían. Por ejemplo, mostramos, como ejercicio posterior, que un objeto colocado entre un espejo cóncavo y su punto focal conduce a una imagen virtual que está en posición vertical y es más grande que el objeto. En el caso del espejo convexo, la imagen extendida se forma entre el punto focal y el espejo. Está en posición vertical con respecto al objeto, es una imagen virtual y es más pequeña que el objeto.

Resumen de las reglas de trazado de rayos

El trazado de rayos es muy útil para los espejos. Las reglas para el trazado de rayos se resumen aquí como referencia:

  • Un rayo que viaja paralelo al eje óptico de un espejo esférico se refleja a lo largo de una línea que pasa por el punto focal del espejo (rayo 1 en la Figura 2.9).
  • Un rayo que viaja a lo largo de una línea que pasa por el punto focal de un espejo esférico se refleja a lo largo de una línea paralela al eje óptico del espejo (rayo 2 en la Figura 2.9).
  • Un rayo que viaja a lo largo de una línea que pasa por el centro de curvatura de un espejo esférico se refleja a lo largo de la misma línea (rayo 3 en la Figura 2.9).
  • Un rayo que incide en el vértice de un espejo esférico se refleja simétricamente alrededor del eje óptico del espejo (rayo 4 en la Figura 2.9).

Utilizamos el trazado de rayos para ilustrar cómo se forman las imágenes en los espejos y para obtener información numérica sobre las propiedades ópticas del espejo. Si suponemos que un espejo es pequeño en comparación con su radio de curvatura, también podemos utilizar el álgebra y la geometría para derivar una ecuación del espejo, lo que haremos en la siguiente sección. La combinación del trazado de rayos con la ecuación del espejo es una buena manera de analizar los sistemas de espejos.

Formación de imágenes por reflexión: la ecuación del espejo

Para un espejo plano, demostramos que la imagen que se forma tiene la misma altura y orientación que el objeto, y se encuentra a la misma distancia detrás del espejo que el objeto frente a él. Aunque la situación es un poco más complicada en el caso de los espejos curvos, el uso de la geometría conduce a fórmulas sencillas que relacionan las distancias del objeto y de la imagen con las distancias focales de los espejos cóncavos y convexos.

Considere el objeto OP mostrado en la Figura 2.10. El centro de curvatura del espejo se denomina C y está a una distancia R del vértice del espejo, como se marca en la figura. Las distancias del objeto y de la imagen se marcan como dodo y didi, y las alturas del objeto y de la imagen se marcan como hoho y hihi, respectivamente. Ya que los ángulos ϕϕ y ϕϕ son ángulos interiores alternos, sabemos que tienen la misma magnitud. Sin embargo, deben diferir en el signo si medimos los ángulos desde el eje óptico, por lo que ϕ=ϕϕ=ϕ. Una situación análoga se da para los ángulos θθ y θθ. La ley de reflexión nos dice que tienen la misma magnitud, pero sus signos deben diferir si medimos los ángulos desde el eje óptico. Así, θ=θθ=θ. Al tomar la tangente de los ángulos θθ y θθ, y al utilizar la propiedad de que la tan(θ)=-tanθtan(θ)=-tanθ, obtenemos

tanθ=hodotanθ=-tanθ=hidi}hodo=hidiohohi=dodi.tanθ=hodotanθ=-tanθ=hidi}hodo=hidiohohi=dodi.
2.3
La figura muestra un espejo cóncavo, un objeto, su imagen invertida y el eje óptico. La altura del objeto es h subíndice o y la de la imagen es h subíndice i. Las distancias del objeto y de la imagen al espejo son d subíndice o y d subíndice i respectivamente. Dos rayos se originan en la punta del objeto. El rayo 1 incide sobre el espejo en el eje óptico, formando un ángulo theta con el eje. El rayo reflejado forma un ángulo theta primo con el eje y pasa por la punta de la imagen. El rayo 2 intersecta el eje en el punto C, formando ángulos opuestos phi y phi prima. Pasa por la punta de la imagen antes de chocar con el espejo.
Figura 2.10 Imagen formada por un espejo cóncavo.

Del mismo modo, al tomar la tangente de ϕϕ y ϕϕ da como resultado

tanϕ=hodoRtanϕ=-tanϕ=hiRdi}hodoR=hiRdiohohi=doRRdi.tanϕ=hodoRtanϕ=-tanϕ=hiRdi}hodoR=hiRdiohohi=doRRdi.

Combinando estos dos resultados se obtiene

dodi=doRRdi.dodi=doRRdi.

Después de un poco de álgebra, esto se convierte en

1do+1di=2R.1do+1di=2R.
2.4

No se requiere ninguna aproximación para este resultado, por lo que es exacto. Sin embargo, como se ha comentado anteriormente, en la aproximación para ángulos pequeños, la distancia focal de un espejo esférico es la mitad del radio de curvatura del espejo o f=R/2f=R/2. Al insertar esto en la Ecuación 2.3 se obtiene la ecuación del espejo:

1do+1di=1f.1do+1di=1f.
2.5

La ecuación del espejo relaciona las distancias de la imagen y del objeto con la distancia focal y solo es válida en la aproximación para ángulo pequeño. Aunque se derivó para un espejo cóncavo, también es válida para espejos convexos (la demostración de esto se deja como ejercicio). Podemos extender la ecuación del espejo al caso de un espejo plano observando que un espejo plano tiene un radio de curvatura infinito. Esto significa que el punto focal está en el infinito, por lo que la ecuación del espejo se simplifica a

do=dido=di
2.6

que es la misma que la Ecuación 2.1 obtenida anteriormente.

Observe que hemos sido muy cuidadosos con los signos al derivar la ecuación del espejo. Para un espejo plano, la distancia de la imagen tiene el signo contrario a la distancia del objeto. Además, la imagen real formada por el espejo cóncavo en la Figura 2.10 está en el lado opuesto del eje óptico con respecto al objeto. En este caso, la altura de la imagen debe tener el signo contrario a la altura del objeto. Para tener en cuenta los signos de las distintas cantidades en la ecuación del espejo, introducimos ahora una convención de signos.

Convención de signos para espejos esféricos

El utilizar una convención de signos coherente es muy importante en la óptica geométrica. Asigna valores positivos o negativos a las magnitudes que caracterizan un sistema óptico. La comprensión de la convención de signos permite describir una imagen sin construir un diagrama de rayos. Este texto utiliza la siguiente convención de signos:

  1. La distancia focal f es positiva para los espejos cóncavos y negativa para los convexos.
  2. La distancia de imagen didi es positiva para las imágenes reales y negativa para las virtuales.

Observe que la regla 1 significa que el radio de curvatura de un espejo esférico puede ser positivo o negativo. ¿Qué significa que tenga un radio de curvatura negativo? Esto significa simplemente que el radio de curvatura de un espejo convexo se define como negativo.

Aumento de la imagen

Utilicemos la convención de signos para interpretar mejor la derivación de la ecuación del espejo. Al derivar esta ecuación, encontramos que las alturas del objeto y de la imagen están relacionadas por

hohi=dodi.hohi=dodi.
2.7

Consulte la Ecuación 2.3. El objeto y la imagen formada por el espejo en la Figura 2.10 son reales, por lo que las distancias del objeto y de la imagen son ambas positivas. El punto más alto del objeto está por encima del eje óptico, por lo que la altura del objeto es positiva. La imagen, sin embargo, está por debajo del eje óptico, por lo que la altura de la imagen es negativa. Por tanto, esta convención de signos es coherente con nuestra derivación de la ecuación del espejo.

La Ecuación 2.7 describe, de hecho, el aumento lineal (a menudo llamado simplemente "aumento") de la imagen en términos de las distancias del objeto y de la imagen. Por lo tanto, definimos el aumento adimensional m de la siguiente manera:

m=hiho.m=hiho.
2.8

Si m es positivo, la imagen está en posición vertical, y si m es negativo, la imagen está invertida. Si |m|>1|m|>1, la imagen es mayor que el objeto, y si |m|<1|m|<1, la imagen es más pequeña que el objeto. Con esta definición de aumento, obtenemos la siguiente relación entre las distancias vertical y horizontal del objeto y la imagen:

m=hiho=dido.m=hiho=dido.
2.9

Es una relación muy útil porque permite obtener el aumento de la imagen a partir de las distancias del objeto y de la imagen, que se pueden obtener a partir de la ecuación del espejo.

Ejemplo 2.1

Sistema de generación eléctrica solar

Una de las tecnologías solares utilizadas hoy en día para generar electricidad consiste en un dispositivo (llamado colector parabólico o de concentración) que concentra la luz solar en un tubo ennegrecido que contiene un fluido. Este fluido calentado se bombea a un intercambiador de calor, donde la energía térmica se transfiere a otro sistema que se utiliza para generar vapor y, finalmente, genera electricidad mediante un ciclo de vapor convencional. La Figura 2.11 muestra un sistema de este tipo en funcionamiento en el sur de California. El espejo real es un cilindro parabólico con su foco situado en el tubo; sin embargo, podemos aproximar el espejo como exactamente un cuarto de cilindro circular.
Fotografía de varios colectores cilindro-parabólicos colocados en fila en una zona abierta.
Figura 2.11 Los colectores cilindro-parabólicos se utilizan para generar electricidad en el sur de California (crédito: "kjkolb"/Wikimedia Commons)
  1. Si queremos que los rayos del Sol se enfoquen a 40,0 cm del espejo, ¿cuál es el radio del espejo?
  2. ¿Cuál es la cantidad de luz solar concentrada en la tubería, por metro de longitud de la misma, suponiendo que la insolación (radiación solar incidente) es de 900 W/m2W/m2?
  3. Si la tubería que transporta el fluido tiene un diámetro de 2,00 cm, ¿cuál es el aumento de temperatura del fluido por metro de tubería durante un período de 1 minuto? Supongamos que toda la radiación solar que incide en el reflector es absorbida por el tubo y que el fluido es aceite mineral.

Estrategia

Primero hay que identificar los principios físicos implicados. La parte (a) está relacionada con la óptica de los espejos esféricos. La parte (b) implica un poco de matemáticas, principalmente geometría. La parte (c) requiere una comprensión del calor y la densidad.

Solución

  1. El Sol es el objeto, por lo que la distancia del objeto es esencialmente infinita do=do=. La distancia de imagen deseada es di=40,0cmdi=40,0cm. Utilizamos la ecuación del espejo para encontrar la distancia focal del espejo:
    1do+1di=1ff=(1do+1di)−1=(1+140,0cm)−1=40,0cm1do+1di=1ff=(1do+1di)−1=(1+140,0cm)−1=40,0cm
    Por lo tanto, el radio del espejo es R=2f=80,0cmR=2f=80,0cm.
  2. La radiación es de 900 W/m2W/m2. Hay que encontrar el área de la sección transversal A del espejo cóncavo, dado que la potencia irradiada es de 900 W/m2×AW/m2×A. El espejo en este caso se estima como un cuarto de sección de un cilindro, por lo que el área para una longitud L del espejo es A=14(2πR)LA=14(2πR)L. El área para una longitud de 1,00 m es entonces
    A=π2R(1,00m)=(3,14)2(0,800m)(1,00m)=1,26m2.A=π2R(1,00m)=(3,14)2(0,800m)(1,00m)=1,26m2.
    La radiación en el tubo de 1,00 m de longitud es entonces
    (9,00×102Wm2)(1,26m2)=1130W.(9,00×102Wm2)(1,26m2)=1130W.
  3. El aumento de la temperatura viene dado por Q=mcΔTQ=mcΔT. La masa m del aceite mineral en la sección de un metro de tubería es
    m=ρV=ρπ(d2)2(1,00m)=(8,00×102kg/m3)(3,14)(0,0100m)2(1,00m)=0,251kgm=ρV=ρπ(d2)2(1,00m)=(8,00×102kg/m3)(3,14)(0,0100m)2(1,00m)=0,251kg
    Por lo tanto, el aumento de la temperatura en un minuto es
    ΔT=Q/mc=(1130W)(60,0s)(0,251kg)(1.670J·kg/°C)=162°CΔT=Q/mc=(1130W)(60,0s)(0,251kg)(1.670J·kg/°C)=162°C

Importancia

Un conjunto de estos tubos en el desierto de California puede proporcionar una potencia térmica de 250 MW en un día soleado, con fluidos que alcanzan temperaturas de hasta 400°C400°C. Estamos considerando solo un metro de tubería y no tenemos en cuenta las pérdidas de calor a lo largo de la tubería.

Ejemplo 2.2

Imagen en un espejo convexo

Un queratómetro es un dispositivo que se utiliza para medir la curvatura de la córnea del ojo, especialmente para adaptar las lentes de contacto. La luz se refleja en la córnea, que actúa como un espejo convexo, y el queratómetro mide el aumento de la imagen. Cuanto menor sea el aumento, menor será el radio de curvatura de la córnea. Si la fuente de luz está a 12 cm de la córnea y el aumento de la imagen es de 0,032, ¿cuál es el radio de curvatura de la córnea?

Estrategia

Si encuentra la distancia focal del espejo convexo formado por la córnea, entonces conoce su radio de curvatura (es el doble de la distancia focal). La distancia del objeto es do=12cmdo=12cm y el aumento es m=0,032m=0,032. Primero hay que encontrar la distancia de imagen didi y luego resolver la distancia focal f.

Solución

Empiece con la ecuación del aumento, m=di/dom=di/do. Al resolver para didi e insertar los valores dados se obtiene
di=mdo=(0,032)(12cm)=−0,384cmdi=mdo=(0,032)(12cm)=−0,384cm

donde hemos retenido una cifra significativa adicional porque se trata de un paso intermedio en el cálculo. Resuelva la ecuación del espejo para la distancia focal f e inserte los valores conocidos para las distancias del objeto y la imagen. El resultado es

1do+1di=1ff=(1do+1di)−1=(112cm+1−0,384cm)−1=−0,40cm1do+1di=1ff=(1do+1di)−1=(112cm+1−0,384cm)−1=−0,40cm

El radio de curvatura es el doble de la distancia focal, por lo que

R=2f=-0,80cmR=2f=-0,80cm

Importancia

La distancia focal es negativa, por lo que el enfoque es virtual, como se espera para un espejo cóncavo y un objeto real. El radio de curvatura encontrado aquí es razonable para una córnea. La distancia de la córnea a la retina en un ojo adulto es de unos 2,0 cm. En la práctica, las córneas pueden no ser esféricas, lo que complica el trabajo de adaptación de las lentes de contacto. Tenga en cuenta que la distancia de la imagen aquí es negativa, lo que concuerda con el hecho de que la imagen está detrás del espejo. Por lo tanto, la imagen es virtual porque ningún rayo la atraviesa realmente. En los problemas y ejercicios, demostrará que, para una distancia del objeto fija, un menor radio de curvatura corresponde a un menor aumento.

Estrategia de Resolución De Problemas

Espejos esféricos

Paso 1. En primer lugar, asegúrese de que se trata de la formación de la imagen mediante un espejo esférico.

Paso 2. Determine si se requiere el trazado de rayos, la ecuación del espejo o ambos. Un boceto es muy útil, incluso si el problema no requiere específicamente el trazado de rayos. Escriba los símbolos y los valores conocidos en el boceto.

Paso 3. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identifique las incógnitas).

Paso 4. Haga una lista de lo que se conoce o puede deducirse del problema tal y como está planteado (identifique los conocidos).

Paso 5. Si el trazado de rayos es necesario, utilice las reglas de trazado de rayos que se indican al principio de esta sección.

Paso 6. La mayoría de los problemas cuantitativos requieren el uso de la ecuación del espejo. Utilice los ejemplos como guía para utilizar la ecuación del espejo.

Paso 7. Compruebe si la respuesta tiene sentido. ¿Los signos de la distancia del objeto, la distancia de imagen y la distancia focal se corresponden con lo que se espera del trazado de rayos? ¿Es correcto el signo del aumento? ¿Son razonables las distancias del objeto y de la imagen?

Desviación de la aproximación para ángulos pequeños

La aproximación para ángulos pequeños es la piedra angular de la discusión anterior sobre la formación de imágenes en un espejo esférico. Cuando se viola esta aproximación, la imagen que se crea en un espejo esférico se distorsiona. Esta distorsión se llama aberración. A continuación, se analizan brevemente dos tipos específicos de aberraciones: la aberración esférica y la coma.

Aberración esférica

Considere un haz ancho de rayos paralelos que inciden en un espejo esférico, como se muestra en la Figura 2.12.

La figura a muestra la sección transversal de un espejo cóncavo con varios rayos paralelos al eje óptico que inciden en él. Los rayos reflejados convergen en diferentes puntos del eje óptico. Los rayos reflejados desde los puntos más alejados del eje convergen más cerca del espejo. La figura b muestra la sección transversal de un espejo cóncavo con varios rayos que inciden en él. Estos rayos son paralelos entre sí, pero en ángulo con el eje. Una línea marcada como plano focal es perpendicular al eje óptico y a una ligera distancia por delante del espejo. Los rayos reflejados inciden en esta línea en diferentes puntos. La vista frontal del plano focal se muestra como un círculo, con la etiqueta de enfoque borrosa.
Figura 2.12 (a) Con la aberración esférica, los rayos que están más lejos del eje óptico y los rayos que están más cerca del eje óptico se enfocan en puntos diferentes. Observe que la aberración empeora para los rayos más alejados del eje óptico. (b) En el caso de la aberración comática, los rayos paralelos que no son paralelos al eje óptico se enfocan a diferentes alturas y a diferentes distancias focales, por lo que la imagen contiene una "cola" como la de un cometa (que es "coma" en latín). Tenga en cuenta que los rayos coloreados son solo para facilitar la visualización; los colores no indican el color de la luz.

Cuanto más lejos del eje óptico inciden los rayos, peor se aproxima el espejo esférico a un espejo parabólico. Por lo tanto, estos rayos no se enfocan en el mismo punto que los rayos que están cerca del eje óptico, como se muestra en la figura. Debido a la aberración esférica, la imagen de un objeto extendido en un espejo esférico será borrosa. Las aberraciones esféricas son características de los espejos y lentes que consideramos en la siguiente sección de este capítulo (se necesitan espejos y lentes más sofisticados para eliminar las aberraciones esféricas).

Coma o aberración comática

La coma es similar a la aberración esférica, pero surge cuando los rayos entrantes no son paralelos al eje óptico, como se muestra en la parte (b) de la Figura 2.12. Recordemos que la aproximación para ángulos pequeños es válida para los espejos esféricos que son pequeños en comparación con su radio. En este caso, los espejos esféricos son buenas aproximaciones a los espejos parabólicos. Los espejos parabólicos enfocan todos los rayos paralelos al eje óptico en el punto focal. Sin embargo, los rayos paralelos que no son paralelos al eje óptico se enfocan a diferentes alturas y a diferentes distancias focales, como se muestra en la parte (b) de la Figura 2.12. Dado que un espejo esférico es simétrico con respecto al eje óptico, los distintos rayos de color de esta figura crean círculos del color correspondiente en el plano focal.

Aunque en la parte (b) de la Figura 2.12 se muestra un espejo esférico, la aberración comática también se produce en los espejos parabólicos, y no es el resultado de un fallo en la aproximación para ángulos pequeños. Sin embargo, la aberración esférica solo se produce para los espejos esféricos y es el resultado de una ruptura de la aproximación para ángulos pequeños. Más adelante, en este mismo capítulo, hablaremos del coma y de la aberración esférica en relación con los telescopios.

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