William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir la formación de imágenes por una sola superficie refractante
Determinar la ubicación de una imagen y calcular sus propiedades mediante un diagrama de rayos
Determinar la ubicación de una imagen y calcular sus propiedades utilizando la ecuación para una única superficie refractante

Cuando los rayos de luz se propagan de un medio a otro, estos sufren refracción, que es cuando las ondas de luz se doblan en la interfase entre dos medios. La superficie refractante puede formar una imagen de forma similar a la de una superficie reflectante, salvo que la ley de refracción (ley de Snell) está en el centro del proceso en lugar de la ley de reflexión.

Refracción en una interfase plana: profundidad aparente

Si se observa una varilla recta parcialmente sumergida en el agua, parece que se dobla en la superficie (Figura 2.13). La razón de este curioso efecto es que la imagen de la varilla dentro del agua se forma un poco más cerca de la superficie que la posición real de la varilla, por lo que no se alinea con la parte de la varilla que está por encima del agua. El mismo fenómeno explica por qué un pez en el agua parece estar más cerca de la superficie de lo que realmente está.

La figura muestra la vista lateral de una varilla sumergida en agua. La imagen de una varilla marcada con una línea más clara se muestra de tal manera que parece que la varilla está doblada en la unión del aire y el agua. El punto P está en la varilla y el punto Q está en la imagen de la varilla. Se muestra una línea de puntos PQ perpendicular a la superficie del agua. Dos rayos se originan en P, viajan hacia arriba hasta la superficie del agua, se doblan en ángulo y llegan al ojo del observador. Las extensiones posteriores de los rayos doblados parecen originarse en el punto Q.

Figura 2.13 Flexión de una varilla en una interfase agua-aire. El punto P de la varilla parece estar en el punto Q, que es donde se forma la imagen del punto P debido a la refracción en la interfase aire-agua.

Para estudiar la formación de imágenes como resultado de la refracción, considere las siguientes preguntas:

¿Qué ocurre con los rayos de luz cuando entran o atraviesan un medio diferente?
¿Los rayos refractados que parten de un mismo punto se juntan en algún punto o divergen entre sí?

Para concretar, consideramos un sistema sencillo formado por dos medios separados por una interfase plana (Figura 2.14). El objeto está en un medio y el observador en el otro. Por ejemplo, cuando mira un pez desde la superficie del agua, el pez está en el medio 1 (el agua) con un índice de refracción de 1,33, y su ojo está en el medio 2 (el aire) con un índice de refracción de 1,00, y la superficie del agua es la interfase. La profundidad que se “ve” es la altura de la imagen $h_{i}$ y se denomina profundidad aparente. La profundidad real del pez es la altura del objeto $h_{o}$ .

La figura muestra la vista lateral de una cantidad de agua. El punto P se encuentra dentro de esta. Dos rayos parten del punto P, se doblan en la superficie del agua y llegan al ojo del observador. Las prolongaciones posteriores de estos rayos refractados se cruzan en el punto Q. PQ es perpendicular a la superficie del agua y la cruza en el punto O. La distancia OP se marca con el subíndice h o y la distancia OQ con el subíndice h i. El ángulo que el rayo refractado con una línea perpendicular a la superficie del agua se denomina theta.

Figura 2.14 Profundidad aparente debida a la refracción. El objeto real en el punto P crea una imagen en el punto Q. La imagen no está a la misma profundidad que el objeto, por lo que el observador ve la imagen a una "profundidad aparente"

La profundidad aparente $h_{i}$ depende del ángulo en el que se vea la imagen. Para una vista desde arriba (la llamada vista “normal”), podemos aproximar el ángulo de refracción $θ$ para que sea pequeño, y sustituir sen $θ$ en la ley de Snell por tan $θ$ . Con esta aproximación, puede utilizar los triángulos $Δ O P R$ y $Δ O Q R$ para demostrar que la profundidad aparente viene dada por

h_{i} = (\frac{n_{2}}{n_{1}}) h_{o} .

2.10

La derivación de este resultado se deja como ejercicio. Así, un pez aparece a 3/4 de la profundidad real cuando se ve desde arriba.

Refracción en una interfase esférica

Las formas esféricas desempeñan un papel importante en la óptica, principalmente porque las formas esféricas de alta calidad son mucho más fáciles de fabricar que otras superficies curvas. Para estudiar la refracción en una única superficie esférica, suponemos que el medio con la superficie esférica en un extremo continúa indefinidamente (un medio “semiinfinito”).

Refracción en una superficie convexa

Considere una fuente de luz puntual en el punto P frente a una superficie convexa de vidrio (consulte la Figura 2.15). Supongamos que R es el radio de curvatura, $n_{1}$ es el índice de refracción del medio en el que se encuentra el punto P, y $n_{2}$ es el índice de refracción del medio con la superficie esférica. Queremos saber qué ocurre como resultado de la refracción en esta interfase.

La figura muestra una sección de una esfera. El índice de refracción del aire es n subíndice 1 y el de la esfera es n subíndice 2. El centro de la esfera es C y el radio es R. Un rayo que parte del punto P en el eje óptico fuera de la esfera incide en la superficie convexa de la esfera y se refracta en ella. Se cruza con el eje en el punto P prima dentro de la esfera, al otro lado del centro. Una línea punteada marcada como normal a la interfase conecta el centro de la esfera con el punto de incidencia. Forma un ángulo phi con el eje óptico. Los rayos incidentes y refractados forman ángulos alfa y beta respectivamente con el eje óptico y ángulos theta 1 y theta 2 respectivamente con la normal de la interfase.

Figura 2.15 Refracción en una superficie convexa

(n_{2} > n_{1})

.

Debido a la simetría, basta con examinar los rayos en un solo plano. La figura muestra un rayo de luz que parte del punto P del objeto, se refracta en la interfase y pasa por el punto de la imagen $P^{'}$ . Derivamos una fórmula que relaciona la distancia del objeto $d_{o}$ , la distancia de imagen $d_{i}$ , y el radio de curvatura R.

Aplicando la ley de Snell al rayo que emana del punto P se obtiene $n_{1} sen θ_{1} = n_{2} sen θ_{2}$ . Trabajamos en la aproximación para ángulos pequeños, por lo que $sen θ \approx θ$ y la ley de Snell toma entonces la forma

n_{1} θ_{1} \approx n_{2} θ_{2} .

Por la geometría de la figura, vemos que

θ_{1} = α + ϕ, θ_{2} = ϕ - β .

Al insertar estas expresiones en la ley de Snell se obtiene

n_{1} (α + ϕ) \approx n_{2} (ϕ - β) .

Utilizando el diagrama, calculamos la tangente de los ángulos $α, β, y ϕ$ :

tan α \approx \frac{h}{d_{o}}, tan β \approx \frac{h}{d_{i}}, tan ϕ \approx \frac{h}{R} .

Utilizando de nuevo la aproximación para ángulos pequeños, encontramos que $tan θ \approx θ$ , por lo que las relaciones anteriores se convierten en

α \approx \frac{h}{d_{o}}, β \approx \frac{h}{d_{i}}, ϕ \approx \frac{h}{R} .

Poniendo estos ángulos en la ley de Snell se obtiene

n_{1} (\frac{h}{d_{o}} + \frac{h}{R}) = n_{2} (\frac{h}{R} - \frac{h}{d_{i}}) .

Podemos escribirlo más cómodamente como

\frac{n_{1}}{d_{o}} + \frac{n_{2}}{d_{i}} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R} .

2.11

Si el objeto se coloca en un punto especial llamado primer foco, o el objetivo focal $F_{1}$ , entonces la imagen se forma en el infinito, como se muestra en la parte (a) de la Figura 2.16.

En la figura a se muestra una sección de una esfera y un punto F1 fuera de ella, en el eje óptico. Los rayos procedentes de F1 inciden en la superficie convexa y se refractan dentro de la esfera en forma de rayos paralelos. La distancia de F1 a la superficie es f subíndice 1. La figura b muestra los rayos paralelos al eje óptico que inciden en la superficie convexa y se refractan. Convergen en el punto F2 dentro de la esfera. F2 se encuentra en el eje óptico entre la superficie y el centro de la esfera. La distancia de F2 a la superficie es f subíndice 2. En ambas figuras el índice de refracción del aire es n1 y el de la esfera es n2 mayor que n1.

Figura 2.16 (a) Primer foco (llamado “objetivo focal”) para la refracción en una superficie convexa. (b) Segundo foco (llamado “foco de imagen”) para la refracción en una superficie convexa.

Podemos encontrar la ubicación $f_{1}$ del primer foco $F_{1}$ si le asignamos a $d_{i} = ∞$ en la ecuación anterior.

\frac{n_{1}}{f_{1}} + \frac{n_{2}}{∞} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}

2.12

f_{1} = \frac{n_{1} R}{n_{2} - n_{1}}

2.13

Del mismo modo, podemos definir un segundo foco o foco de imagen $F_{2}$ donde se forma la imagen para un objeto que está lejos [parte (b)]. La ubicación del segundo foco $F_{2}$ se obtiene a partir de la Ecuación 2.11 si le asignamos a $d_{o} = ∞$ :

\frac{n_{1}}{∞} + \frac{n_{2}}{f_{2}} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}

f_{2} = \frac{n_{2} R}{n_{2} - n_{1}} .

Tenga en cuenta que el objetivo focal está a una distancia diferente del vértice que el foco de la imagen porque $n_{1} \neq n_{2}$ .

Convención de signos para superficies refractantes simples

Aunque derivamos esta ecuación para la refracción en una superficie convexa, la misma expresión es válida para una superficie cóncava, siempre que utilicemos la siguiente convención de signos:

$R > 0$ si la superficie es convexa hacia el objeto; en caso contrario, $R < 0 .$
$d_{i} > 0$ si la imagen es real y está en el lado opuesto del objeto; en caso contrario, $d_{i} < 0 .$

2.3 Imágenes formadas por refracción

Refracción en una interfase plana: profundidad aparente

Refracción en una interfase esférica

Refracción en una superficie convexa

Convención de signos para superficies refractantes simples