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Física Universitaria Volumen 3

8.5 Espectros atómicos y rayos X

Física Universitaria Volumen 38.5 Espectros atómicos y rayos X
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Describir la absorción y la emisión de radiación en términos de niveles de energía atómica y diferencias de energía.
  • Utilizar los números cuánticos para estimar la energía, la frecuencia y la longitud de onda de los fotones producidos por las transiciones atómicas en los átomos de varios electrones.
  • Explicar los conceptos de radiación en el contexto de la fluorescencia atómica y los rayos X.

El estudio de los espectros atómicos es la fuente de la mayor parte de nuestros conocimientos sobre los átomos. En la ciencia moderna, los espectros atómicos se utilizan para identificar especies de átomos en una serie de objetos, desde galaxias lejanas hasta muestras de sangre en la escena del crimen.

La base teórica de la espectroscopia atómica es la transición de los electrones entre los niveles de energía de los átomos. Por ejemplo, si un electrón de un átomo de hidrógeno hace una transición desde la capa n=3n=3 hasta la capa n=2n=2, el átomo emite un fotón con una longitud de onda

λ=cf=h·ch·f=hcΔE=hcE3E2,λ=cf=h·ch·f=hcΔE=hcE3E2,
8.36

donde ΔE=E3E2ΔE=E3E2 es la energía que se lleva el fotón y hc=1.940eV·nmhc=1.940eV·nm. Después de que esta radiación pasa por un espectrómetro, aparece como una línea espectral nítida en una pantalla. El modelo de Bohr de este proceso se muestra en la Figura 8.18. Si el electrón absorbe posteriormente un fotón con energía ΔEΔE, el electrón vuelve a la capa n=3n=3. (Ya examinamos el modelo de Bohr en Fotones y ondas de materia).

El átomo de hidrógeno se representa como un protón en el núcleo, una carga más e, y un electrón en una órbita circular alrededor del núcleo. Se muestran tres órbitas, marcadas como n =1, n = 2 y n = 3 en orden de radio creciente. Una flecha indica la transición de un electrón de la órbita exterior hacia la órbita central, y una onda etiquetada como delta E igual a h f se muestra cerca de la transición, abandonando al átomo.
Figura 8.18 Una transición de electrones desde n = 3 n = 3 hasta la capa n = 2 n = 2 de un átomo de hidrógeno.

Para entender las transiciones atómicas en los átomos de varios electrones, es necesario considerar muchos efectos, incluyendo la fuerza de repulsión de Coulomb entre los electrones y las interacciones magnéticas internas (acoplamientos de espín-órbita y espín-espín). Afortunadamente, muchas propiedades de estos sistemas pueden entenderse despreciando las interacciones entre los electrones y representando cada electrón por su propia función de onda de una sola partícula ψnlmψnlm.

Las transiciones atómicas deben obedecer las reglas de selección. Estas reglas se derivan de los principios de la mecánica cuántica y la simetría. Las reglas de selección clasifican las transiciones como permitidas o prohibidas. (Las transiciones prohibidas ocurren, pero la probabilidad de la típica transición prohibida es muy pequeña) En un átomo hidrogenoide, las transiciones atómicas que implican interacciones electromagnéticas (la emisión y absorción de fotones) obedecen a la siguiente regla de selección:

Δl=±1,Δl=±1,
8.37

donde l está asociado a la magnitud del momento angular orbital,

L=l(l+1).L=l(l+1).
8.38

En los átomos de varios electrones, se aplican reglas similares. Para ilustrar esta regla, considere las transiciones atómicas observadas en el hidrógeno (H), el sodio (Na) y el mercurio (Hg) (Figura 8.19). Las líneas horizontales de este diagrama corresponden a los niveles de energía atómica, y las transiciones permitidas por esta regla de selección se muestran mediante líneas trazadas entre estos niveles. Las energías de estos estados son del orden de unos pocos electronvoltios, y los fotones emitidos en las transiciones están en el rango visible. Técnicamente, las transiciones atómicas pueden violar la regla de selección, pero tales transiciones son poco comunes.

Los diagramas de niveles de energía para el hidrógeno, el sodio y el mercurio se muestran como líneas horizontales. Las líneas horizontales de este diagrama corresponden a los niveles de energía atómica, y las transiciones se muestran mediante flechas dibujadas entre estos niveles. Las líneas que pertenecen a la misma subcapa (s, p, d, etc.) se dibujan en una columna, y las diferentes subcapas se dibujan una al lado de la otra en columnas etiquetadas con la letra de la subcapa. La dirección vertical representa la energía en e V. La figura a es el espectro del hidrógeno. Se muestran las columnas de las subcapas s, p, d y f. El nivel n=1 tiene solo una subcapa, el estado 1 s, con energía de -13,6 e V. El nivel n=2 tiene estados en las subcapas s y p, con energía de -3,4 e V. El nivel n=3 tiene estados en las subcapas s, p y d, con energía de -1,5 e V. El nivel n=4 tiene estados en las subcapas s, p, d y f, con energía de -0,85 e V. Existe un número infinito de energía para todo n hasta el infinito, que se aproxima cada vez más. Se muestran varias transiciones de los estados s en el n más alto hasta los estados p en n=2, de los estados p en el n más alto hasta el estado 1 s, de los estados d en el n más alto hasta el estado 2 p, y de los estados f en el n más alto hasta el estado 2 d. La figura b es el espectro del sodio, con las energías de los estados de hidrógeno n=2 hasta n=6 mostradas a la izquierda como referencia. La escala de energía va de -5,0 a 0 e V. Se muestran las columnas de los estados s, p d y f. El espacio entre los niveles es más complejo que en el caso del hidrógeno: los niveles 3 s, 3 p y 3 d tienen energías diferentes: 3 s está un poco por debajo de -5 e V, 3 p en torno a -3 e V, y 3 d en torno a -1,5 e V. Otros estados en la misma subcapa están igualmente divididos. Las transiciones se muestran como en el caso del hidrógeno, pasando a un n inferior y cambiando de subcapa por uno, de f hasta d, de d hasta p, de s hasta p, etcétera. La figura c es el espectro del mercurio. La escala de energía es de -10,0 a 0 e V. Se muestran los estados s, p, d, f en los dos estados de espín neto de los 6 electrones s. Como en el caso del sodio, los estados con diferentes números cuánticos l (es decir, diferentes subcapas) pero con el mismo número cuántico n tienen energías diferentes. Además, vemos que los estados se dividen aún más. Uno de los estados 6 p (el llamado estado triplete) se divide en tres líneas que tienen energías cercanas pero claramente distinguibles, y el estado 7 p en este estado de espín neto también se divide en tres líneas.
Figura 8.19 Diagramas de nivel de energía en el (a) hidrógeno, (b) sodio y (c) mercurio. A efectos de comparación, los niveles de energía del hidrógeno se muestran en el diagrama del sodio.

El átomo de hidrógeno tiene el diagrama de niveles de energía más sencillo. Si ignoramos el espín del electrón, todos los estados con el mismo valor de n tienen la misma energía total. Sin embargo, el acoplamiento espín-órbita divide los estados n=2n=2 en dos estados de momento angular (s y p) de energías ligeramente diferentes. (Estos niveles no se encuentran desplazados verticalmente, porque el desdoblamiento de energía es demasiado pequeño para aparecer en este diagrama). Del mismo modo, el acoplamiento espín-órbita divide los estados n=3n=3 en tres estados de momento angular (s, p y d).

El diagrama de niveles de energía del hidrógeno es similar al del sodio, porque ambos átomos tienen un electrón en la capa externa. El electrón de valencia del sodio se mueve en el campo eléctrico de un núcleo resguardado por los electrones de las capas internas, por lo que no experimenta un simple potencial de Coulomb 1/r y su energía total depende tanto de n como de l. Curiosamente, el mercurio tiene dos diagramas de nivel de energía distintos; estos diagramas corresponden a dos estados de espín neto de sus electrones 6s (de valencia).

Ejemplo 8.6

El doblete de sodio

El espectro del sodio se analiza con un espectrómetro. Se observan dos líneas estrechamente espaciadas con longitudes de onda de 589,00 nm y 589,59 nm. (a) Si el doblete corresponde al electrón excitado (de valencia) que hace la transición desde algún estado excitado hasta el estado 3s, ¿cuál era el momento angular original del electrón? (b) ¿Cuál es la diferencia de energía entre estos dos estados excitados?

Estrategia

El sodio y el hidrógeno pertenecen a la misma columna o grupo químico de la tabla periódica, por lo que el sodio es "hidrogenoide". El electrón más externo del sodio está en la subcapa 3s (l=0l=0) y puede ser excitado a niveles de energía más altos. Como en el caso del hidrógeno, las transiciones posteriores a niveles de energía más bajos deben obedecer la regla de selección:
Δl=±1.Δl=±1.

Primero debemos determinar el número cuántico del estado inicial que satisface la regla de selección. Entonces, podemos utilizar este número para determinar la magnitud del momento angular orbital del estado inicial.

Solución

  1. Las transiciones permitidas deben obedecer la regla de selección. Si el número cuántico del estado inicial es l=0l=0, la transición está prohibida porque Δl=0Δl=0. Si el número cuántico del estado inicial es l=2,3,4l=2,3,4,...la transición está prohibida porque Δl>1.Δl>1. Por lo tanto, el cuanto del estado inicial debe ser l=1l=1. El momento angular orbital del estado inicial es
    L=l(l+1)=1,41.L=l(l+1)=1,41.
  2. Como el estado final de ambas transiciones es el mismo (3s), la diferencia de energías de los fotones es igual a la diferencia de energías de los dos estados excitados. Utilizando la ecuación
    ΔE=hf=h(cλ),ΔE=hf=h(cλ),
    tenemos
    ΔE=hc(1λ11λ2)=(4,14×10−15eVs)(3,00×108m/s)×(1589,00×10−9m1589,59×10−9m)=2,11×10−3eV.ΔE=hc(1λ11λ2)=(4,14×10−15eVs)(3,00×108m/s)×(1589,00×10−9m1589,59×10−9m)=2,11×10−3eV.

Importancia

Para entender la dificultad de medir esta diferencia de energía, comparamos esta diferencia con la energía promedio de los dos fotones emitidos en la transición. Dada una longitud de onda promedio de 589,30 nm, la energía promedio de los fotones es
E=hcλ=(4,14×10−15eVs)(3,00×108m/s)589,30×10−9m=2,11eV.E=hcλ=(4,14×10−15eVs)(3,00×108m/s)589,30×10−9m=2,11eV.

La diferencia de energía ΔEΔE es aproximadamente el 0,1 % (1 parte en 1000) de esta energía promedio. Sin embargo, un espectrómetro sensible puede medir la diferencia.

Fluorescencia atómica

La fluorescencia se produce cuando un electrón de un átomo se excita varios pasos por encima del estado fundamental mediante la absorción de un fotón ultravioleta (UV) de alta energía. Una vez excitado, el electrón deja el estado excitado de dos maneras. El electrón puede volver a caer en el estado fundamental, emitiendo un fotón de la misma energía que lo excitó, o puede caer en una serie de pasos más pequeños, emitiendo varios fotones de baja energía. Algunos de estos fotones pueden estar en el rango visible. Los tintes fluorescentes en la ropa pueden hacer que los colores parezcan más brillantes a la luz del sol al convertir la radiación UV en luz visible. Las luces fluorescentes son más eficientes a la hora de convertir la energía eléctrica en luz visible que los filamentos incandescentes (aproximadamente cuatro veces más eficientes). La Figura 8.20 muestra un escorpión iluminado por una lámpara UV. Las proteínas cercanas a la superficie de la piel emiten una luz azul característica.

La imagen muestra un escorpión escondido en las grietas de las rocas, iluminado por una lámpara U V. La piel del escorpión brilla de color azul cuando es iluminada por una luz ultravioleta en contraste con las rocas, que brillan en color violeta.
Figura 8.20 Un escorpión brilla en azul bajo una lámpara UV (crédito: Ken Bosma).

Rayos X

El estudio de las transiciones de energía atómica nos permite entender los rayos X y la tecnología de rayos X. Como toda la radiación electromagnética, los rayos X están formados por fotones. Los fotones de rayos X se producen cuando los electrones de las capas más externas de un átomo pasan a las capas internas. (Los átomos de hidrógeno no emiten rayos X, porque los niveles de energía de los electrones están demasiado espaciados para permitir la emisión de radiación de alta frecuencia) Las transiciones de este tipo suelen estar prohibidas porque los estados inferiores ya están llenos. Sin embargo, si una capa interna tiene una vacancia (falta un electrón interno, tal vez por haber sido golpeado por un electrón de alta velocidad), un electrón de una de las capas externas puede caer en energía para llenar la vacancia. La brecha energética para dicha transición es relativamente grande, por lo que la longitud de onda del fotón de rayos X radiado es relativamente corta.

Los rayos X también pueden producirse bombardeando un objetivo metálico con electrones de alta energía, como se muestra en la Figura 8.21. En la figura, los electrones se desprenden de un filamento y son acelerados por un campo eléctrico hacia un objetivo de tungsteno. Según la teoría clásica del electromagnetismo, toda partícula cargada que se acelera emite radiación. Por lo tanto, cuando el electrón choca con el objetivo de tungsteno, y se frena repentinamente, el electrón emite radiación de frenado. (La radiación de frenado se refiere a la radiación producida por cualquier partícula cargada que es frenada por un medio). En este caso, la radiación de frenado contiene una gama continua de frecuencias, porque los electrones chocarán con los átomos objetivo de formas ligeramente diferentes.

La radiación de frenado no es el único tipo de radiación que se produce en esta interacción. En algunos casos, un electrón colisiona con otro electrón de la capa interna de un átomo objetivo y lo expulsa del átomo, al estilo de una bola de billar. El estado vacío se llena cuando un electrón de una capa superior cae en el estado (caída del nivel de energía) y emite un fotón de rayos X.

Esquema de un tubo de rayos X. Un filamento calentado en un extremo actúa como cátodo que emite un haz de electrones. Los electrones se aceleran en una brecha hacia un objetivo de tungsteno montado en un ánodo. El objetivo emite rayos X.
Figura 8.21 Un boceto de un tubo de rayos X. El objetivo de tungsteno emite rayos X.

Históricamente, las líneas espectrales de rayos X se marcaban con letras (K, L, M, N, ...). Estas letras corresponden a las capas atómicas (n=1,2,3,4,n=1,2,3,4,). Los rayos X producidos por una transición de cualquier capa superior a la capa K (n=1n=1) se etiquetan como rayos X K. Los rayos X producidos en una transición desde la capa L (n=2n=2) se llaman rayos X KαKα; los rayos X producidos en una transición desde la capa M (n=3n=3) se llaman rayos X KβKβ; los rayos X producidos en una transición desde la capa N (n=4n=4) se llaman rayos X KγKγ; y así sucesivamente. Las transiciones de las capas superiores a las capas L y M se etiquetan de forma similar. Estas transiciones se representan mediante un diagrama de niveles de energía en la Figura 8.22.

Los diferentes niveles de energía se muestran en forma de líneas horizontales. La línea de la parte inferior está marcada como nivel de energía n igual a uno, o la capa K. Por encima de esta línea, otra línea horizontal está marcada como nivel de energía n igual o capa L. Del mismo modo, se muestran otras líneas en las capas M y N. A medida que nos movemos de abajo hacia arriba, la distancia entre las líneas disminuye. Las transiciones se muestran como flechas desde una línea hacia abajo a una línea inferior y están etiquetadas. Las transiciones de n=2, 3, 4 y 5 al nivel n=1 forman la serie K y son, por orden, las líneas K sub alfa, K sub beta, K sub gama y K sub delta. Las transiciones de n= 3, 4 y 5 al nivel n=2 forman la serie L y son, por orden, las líneas L sub alfa, L sub beta y L sub gama. Las transiciones de n= 4 y 5 al nivel n=3 forman la serie M y son, por orden, las líneas M sub alfa y L sub beta. La transición de n=5 al nivel n=4 también se muestra y se etiqueta como N sub alfa.
Figura 8.22 Transiciones de rayos X en un átomo.

La distribución de las longitudes de onda de los rayos X producidos al golpear el metal con un haz de electrones se muestra en la Figura 8.23. Las transiciones de rayos X en el metal objetivo aparecen como picos en la parte superior de la curva de radiación de frenado. Las frecuencias de fotones correspondientes a los picos de la distribución de rayos X se denominan frecuencias características, ya que pueden utilizarse para identificar el metal objetivo. La longitud de onda de corte aguda (justo por debajo del picoKγKγ) corresponde a un electrón que pierde toda su energía con un solo fotón. La radiación de longitudes de onda más cortas está prohibida por la conservación de la energía.

Se muestra un gráfico de la intensidad de los rayos X en función a la longitud de onda en nanómetros. La escala de longitudes de onda es logarítmica y su rango va de 0,01 nanómetros a poco más de 1,0 nanómetros. La curva parte de un punto a un poco más de la mitad entre 0,01 y 0,1 n m y va aumentando. Antes de que la frecuencia alcance su valor máximo, aproximadamente a 0,1 n m, se forman tres picos agudos, etiquetados como K sub alfa, K sub gama y K sub alfa, tras lo cual la intensidad de los rayos X disminuye gradualmente. Se observan dos picos agudos a un poco más de la mitad entre 0,1 y 1,0, etiquetados como L sub beta y L sub alfa. Otro pico, con una longitud de onda superior a 1,0 n m, se denomina M sub alfa.
Figura 8.23 Espectro de rayos X de un objetivo de plata. Los picos corresponden a las frecuencias características de los rayos X emitidos por la plata al ser golpeada por un haz de electrones.

Ejemplo 8.7

Rayos X del aluminio

Estime la energía y la frecuencia características de los rayos X KαKα para el aluminio (Z=13Z=13).

Estrategia

Los rayos X KαKα se producen por la transición de un electrón en la capa L (n=2n=2) a la capa K (n=1n=1). Un electrón en la capa L "ve" una carga Z=131=12,Z=131=12, porque un electrón de la capa K resguarda la carga nuclear. (Recordemos que no hay dos electrones en la capa K porque el otro estado del electrón está vacante). La frecuencia del fotón emitido puede estimarse a partir de la diferencia de energía entre las capas L y K.

Solución

La diferencia de energía entre las capas L y K de un átomo de hidrógeno es de 10,2 eV. Suponiendo que otros electrones en la capa L o en capas de mayor energía no protegen la carga nuclear, la diferencia de energía entre las capas L y K en un átomo con Z=13Z=13 es de aproximadamente
ΔELK(Z1)2(10,2 eV)=(131)2(10,2eV)=1,47×103eV.ΔELK(Z1)2(10,2 eV)=(131)2(10,2eV)=1,47×103eV.
8.39

Con base en la relación f=(ΔELK)/hf=(ΔELK)/h, la frecuencia de los rayos X es

f=1,47×103eV4,14×10−15eV·s=3,55×1017Hz.f=1,47×103eV4,14×10−15eV·s=3,55×1017Hz.

Importancia

La longitud de onda de los rayos X típicos es de 0,1-10 nm. En este caso, la longitud de onda es:
λ=cf=3,0×108m/s3,55×1017Hz=8,5×10−10=0,85nm.λ=cf=3,0×108m/s3,55×1017Hz=8,5×10−10=0,85nm.

Por lo tanto, la transición LK en el aluminio produce una radiación de rayos X.

La producción de rayos X constituye una importante prueba de la mecánica cuántica. Según el modelo de Bohr, la energía de un rayo X KαKα depende de la carga nuclear o número atómico, Z. Si Z es grande, las fuerzas de Coulomb en el átomo son grandes, las diferencias de energía (ΔEΔE) son grandes y, por tanto, la energía de los fotones radiados es grande. Para ilustrarlo, consideremos un solo electrón en un átomo de varios electrones. Despreciando las interacciones entre los electrones, los niveles de energía permitidos son

En=Z2(13,6eV)n2,En=Z2(13,6eV)n2,
8.40

donde n = 1, 2, ...y Z es el número atómico del núcleo. Sin embargo, un electrón en la capa L (n=2n=2) "ve" una carga Z1Z1, porque un electrón de la capa K resguarda la carga nuclear. (Recordemos que solo hay un electrón en la capa K porque el otro electrón fue "expulsado"). Por lo tanto, las energías aproximadas del electrón en las capas L y K son

EL(Z1)2(13,6eV)22 EK(Z1)2(13,6eV)12.EL(Z1)2(13,6eV)22 EK(Z1)2(13,6eV)12.

Por lo tanto, la energía transportada por un fotón en una transición de la capa L a la capa K es por lo tanto

ΔELK=(Z1)2(13,6eV)(112122)=(Z1)2(10,2eV),ΔELK=(Z1)2(13,6eV)(112122)=(Z1)2(10,2eV),

donde Z es el número atómico. En general, la energía del fotón de rayos X para una transición de una capa exterior a la capa K es

ΔELK=hf=constante×(Z1)2,ΔELK=hf=constante×(Z1)2,

o

(Z1)=constantef,(Z1)=constantef,
8.41

donde f es la frecuencia de los rayos X KαKα. Esta ecuación es la ley de Moseley. Para valores grandes de Z, tenemos aproximadamente

Zconstantef.Zconstantef.

Esta predicción puede comprobarse midiendo f en una variedad de objetivos metálicos. Este modelo se apoya si un gráfico de Z frente a los datos ff (llamado gráfica de Moseley) es lineal. La comparación de las predicciones del modelo y los resultados experimentales, tanto en la serie K como en la L, se muestra en la Figura 8.24. Los datos apoyan el modelo de que los rayos X se producen cuando un electrón de la capa exterior cae en energía para llenar una vacancia en la capa interior.

Compruebe Lo Aprendido 8.3

Los rayos X se producen al bombardear un objetivo metálico con electrones de alta energía. Si se sustituye el objetivo por otro con el doble de número atómico, ¿qué ocurre con la frecuencia de los rayos X?

El diagrama de Moseley de los rayos X característicos muestra un gráfico del número atómico como una función de la raíz cuadrada de las frecuencias en Hertz dividida por 10 a la 16. La escala vertical va de 0 a 80 y etiqueta los elementos cuyo número atómico es un múltiplo de 5: P, C a, M n, Z n, B r, Z r, R h, S n, C s, N d, T b, Y b y R e. La escala horizontal va de 0 a 24. Los datos caen a lo largo de varias líneas rectas, correspondientes a las series. La serie L, en azul, está por encima de la serie K, en rojo, y todas las líneas L son más pronunciadas que las líneas K. La serie L sub alfa tiene la pendiente más pronunciada de la serie L. Se muestran dos curvas de la serie K, con la pendiente K sub alfa ligeramente más pronunciada que la pendiente K sub beta.
Figura 8.24 Una gráfica de Moseley. Estos datos fueron adaptados de los datos originales de Moseley (H. G. J. Moseley, Philos. Mag. (6) 77:703, 1914).

Ejemplo 8.8

Energía característica de los rayos X

Calcule la energía aproximada de los rayos X KαKα de un ánodo de tungsteno en un tubo de rayos X.

Estrategia

Dos electrones ocupan una capa K llena. Una vacancia en esta capa dejaría un electrón, por lo que la carga efectiva de un electrón en la capa L sería Z - 1 en lugar de Z. Para el tungsteno, Z=74,Z=74, por lo que la carga efectiva es de 73. Este número puede utilizarse para calcular la diferencia del nivel de energía entre las capas L y K y, por tanto, la energía transportada por un fotón en la transición LK.LK.

Solución

La Z efectiva es 73, por lo que la energía de los rayos X KαKα está dada por
EKα=ΔE=EiEf=E2E1,EKα=ΔE=EiEf=E2E1,

donde

E1=Z212E0=7321(13,6eV)=−72,5keVE1=Z212E0=7321(13,6eV)=−72,5keV

y

E2=Z222E0=7324(13,6eV)=−18,1keV.E2=Z222E0=7324(13,6eV)=−18,1keV.

Por lo tanto,

EKα=−18,1keV(−72,5keV)=54,4keV.EKα=−18,1keV(−72,5keV)=54,4keV.

Importancia

Esta gran energía de los fotones es típica de los rayos X. Las energías de los rayos X son progresivamente mayores en los elementos más pesados porque su energía aumenta aproximadamente como Z2Z2. Se necesita un voltaje de aceleración de más de 50.000 voltios para "expulsar" un electrón interno de un átomo de tungsteno.

Tecnología de rayos X

Los rayos X tienen muchas aplicaciones, como el diagnóstico médico (Figura 8.25), la inspección de equipajes en los aeropuertos (Figura 8.26), e incluso la detección de grietas en componentes cruciales de los aviones. Las imágenes de rayos X más comunes se deben a las sombras. Como los fotones de los rayos X tienen una gran energía, penetran en materiales que son opacos a la luz visible. Cuanta más energía tiene un fotón de rayos X, más material penetra. La profundidad de penetración está relacionada con la densidad del material, así como con la energía del fotón. Cuanto más denso es el material, menos fotones de rayos X lo atraviesan y más oscura es la sombra. Los rayos X son eficaces para identificar fracturas óseas y tumores; sin embargo, la sobreexposición a los rayos X puede dañar las células de los organismos biológicos.

La figura (a) muestra una imagen radiográfica de la vista frontal de la mandíbula, especialmente de los dientes. La figura (b) muestra un dibujo de una máquina de rayos X dental.
Figura 8.25 (a) Una imagen de rayos X de los dientes de una persona. (b) Una máquina de rayos X típica en la consulta de un dentista produce una radiación de energía relativamente baja para minimizar la exposición del paciente (crédito: modificación de la obra de "Dmitry G"/Wikimedia Commons).
Una imagen a color de rayos X de una pieza de equipaje.
Figura 8.26 Una imagen de rayos X de un equipaje. Cuanto más denso sea el material, más oscura será la sombra. Los colores de los objetos se relacionan con la composición del material: los objetos metálicos aparecen en azul en esta imagen (crédito: "IDuke"/Wikimedia Commons).

Una imagen de rayos X estándar proporciona una vista bidimensional del objeto. Sin embargo, en las aplicaciones médicas, este punto de vista no suele proporcionar suficiente información para sacar conclusiones firmes. Por ejemplo, en una imagen bidimensional de rayos X del cuerpo, los huesos pueden ocultar fácilmente los tejidos blandos o los órganos. El escáner TAC (tomografía axial computarizada) aborda este problema recogiendo numerosas imágenes de rayos X en "cortes" por todo el cuerpo. El complejo procesamiento informático de la absorción relativa de los rayos X, en diferentes direcciones, puede producir una imagen tridimensional muy detallada del cuerpo.

Los rayos X también pueden utilizarse para sondear las estructuras de los átomos y las moléculas. Consideremos los rayos X que inciden en la superficie de un sólido cristalino. Algunos fotones de rayos X se reflejan en la superficie, y otros se reflejan en el "plano" de los átomos justo debajo de la superficie. La interferencia entre estos fotones, en diferentes ángulos de incidencia, produce una bella imagen en una pantalla (Figura 8.27). La interacción de los rayos X con un sólido se denomina difracción de rayos X. El ejemplo más famoso del uso de la difracción de rayos X es el descubrimiento de la estructura de doble hélice del ADN.

Imagen de difracción de rayos X de una proteína. La imagen muestra un conjunto de pequeños puntos negros, dispuestos en filas ligeramente curvadas, sobre un fondo blanco. Un brazo blanco se extiende desde la parte superior izquierda hasta el centro de la imagen, donde hay un pequeño disco blanco. Este disco blanco es la sombra del bloque de rayos, que bloquea la parte del haz de rayos X incidente que no fue difractado por el cristal.
Figura 8.27 La difracción de rayos X del cristal de una proteína (lisozima de huevo de gallina) produjo este patrón de interferencia. El análisis del patrón arroja información sobre la estructura de la proteína. (crédito: "Del45"/Wikimedia Commons).
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