William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

Aplicar las leyes de Wien y Stefan para analizar la radiación emitida por un cuerpo negro
Explicar la hipótesis de los cuantos de energía de Planck

Todos los cuerpos emiten radiaciones electromagnéticas en un rango de longitudes de onda. En un capítulo anterior, aprendimos que un cuerpo más frío radia menos energía que un cuerpo más caliente. También sabemos por observación que cuando un cuerpo se calienta y su temperatura aumenta, la longitud de onda percibida de su radiación emitida cambia de infrarrojo a rojo, y luego de rojo a naranja, y así sucesivamente. A medida que aumenta su temperatura, el cuerpo brilla con los colores correspondientes a longitudes de onda cada vez más pequeñas del espectro electromagnético. Este es el principio subyacente de la bombilla incandescente: Un filamento metálico caliente brilla de color rojo y, cuando se sigue calentando, su resplandor acaba cubriendo toda la parte visible del espectro electromagnético. La temperatura (T) del objeto que emite la radiación, o del emisor, determina la longitud de onda a la que la energía radiada llega al máximo. Por ejemplo, el Sol, cuya temperatura superficial está en el rango entre 5000 K y 6000 K, radia con mayor intensidad en un rango de longitudes de onda de unos 560 nm en la parte visible del espectro electromagnético. El cuerpo, cuando está a su temperatura normal de unos 300 K, radia con mayor intensidad en la parte infrarroja del espectro.

La radiación que incide sobre un objeto es parcialmente absorbida y parcialmente reflejada. En equilibrio termodinámico, la velocidad con la que un objeto absorbe la radiación es la misma que la velocidad con la que la emite. Por lo tanto, un buen absorbente de radiación (cualquier objeto que absorba radiación) es también un buen emisor. Un absorbente perfecto absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él; tal objeto se denomina cuerpo negro.

Aunque el cuerpo negro es una idealización, ya que ningún objeto físico absorbe el 100 % de la radiación incidente, podemos construir una realización cercana de un cuerpo negro en forma de un pequeño agujero en la pared de un recinto sellado conocido como radiador de cavidad, como se muestra en la Figura 6.2. Las paredes interiores de un radiador de cavidad son ásperas y están ennegrecidas, de modo que cualquier radiación que entre a través de un pequeño agujero en la pared de la cavidad queda atrapada dentro de ésta. En equilibrio termodinámico (a la temperatura T), las paredes de la cavidad absorben exactamente la misma radiación que emiten. Además, en el interior de la cavidad, la radiación que entra en el agujero se equilibra con la que sale de él. El espectro de emisión de un cuerpo negro puede obtenerse analizando la luz que radia el agujero. Las ondas electromagnéticas emitidas por un cuerpo negro se denominan radiación de cuerpo negro.

La imagen muestra la realización física de un cuerpo negro. Una onda electromagnética entra en una cavidad a través de un pequeño orificio en la pared y se refleja numerosas veces en ella.

Figura 6.2 Un cuerpo negro se realiza físicamente mediante un pequeño agujero en la pared de un radiador de cavidad.

La intensidad $I (λ, T)$ de la radiación de cuerpo negro depende de la longitud de onda $λ$ de la radiación emitida y en la temperatura T de cuerpo negro (Figura 6.3). La función $I (λ, T)$ es la intensidad de potencia que se radia por unidad de longitud de onda; en otras palabras, es la potencia que se irradia por unidad de superficie del orificio de un radiador de cavidad por unidad de longitud de onda. Según esta definición, $I (λ, T) d λ$ es la potencia por unidad de superficie que se emite en el intervalo de longitudes de onda de $λ$ a $λ + d λ .$ La distribución de la intensidad entre las longitudes de onda de la radiación emitida por las cavidades se estudió experimentalmente a finales del siglo XIX. Por lo general, la radiación emitida por los materiales solo sigue aproximadamente la curva de radiación de cuerpo negro (Figura 6.4); sin embargo, los espectros de las estrellas comunes sí siguen la curva de radiación de cuerpo negro muy de cerca.

Este gráfico muestra la variación de la intensidad de la radiación de cuerpo negro con las longitudes de onda expresadas en micrómetros. Se dibujan cinco curvas que corresponden a 2000 K, 3000 K, 4000 K y 5000 K. El máximo de la intensidad de la radiación se desplaza hacia el lado de la longitud de onda corta con el aumento de la temperatura. Está en el infrarrojo lejano para 2000 K, en el infrarrojo cercano para 3000 K, en la parte roja del espectro visible para 4000 K y en la parte verde del espectro visible para 5000 K.

Figura 6.3 La intensidad de la radiación de cuerpo negro frente a la longitud de onda de la radiación emitida. Cada curva corresponde a una temperatura de cuerpo negro diferente, empezando por una temperatura baja (la curva más baja) hasta una temperatura alta (la curva más alta).

El gráfico muestra la variación de la intensidad de la radiación con la longitud de onda para la radiación emitida desde una superficie de cuarzo y la radiación de cuerpo negro emitida a 600 K. Ambos espectros presentan un pico infrarrojo en torno a los 4 micrómetros. Sin embargo, mientras que la intensidad de la radiación de cuerpo negro disminuye gradualmente con la temperatura, la intensidad de la radiación emitida por la superficie de cuarzo disminuye mucho más rápido y luego muestra un segundo pico alrededor de 10 micrómetros.

Figura 6.4 El espectro de radiación emitido por una superficie de cuarzo (curva azul) y la curva de radiación de cuerpo negro (curva negra) a 600 K.

Dos importantes leyes resumen los hallazgos experimentales de la radiación de cuerpo negro: La ley de desplazamiento de Wien y la ley de Stefan. La ley de desplazamiento de Wien se ilustra en la Figura 6.3 mediante la curva que une los máximos de las curvas de intensidad. En estas curvas, vemos que cuanto más caliente está el cuerpo, más corta es la longitud de onda correspondiente al pico de emisión en la curva de radiación. Cuantitativamente, la ley de Wien dice

λ_{max} T = 2,898 \times 10^{−3} m \cdot K

6.1

donde $λ_{max}$ es la posición del máximo en la curva de radiación. En otras palabras, $λ_{max}$ es la longitud de onda a la que un cuerpo negro radia con mayor intensidad a una temperatura T. Observe que en la Ecuación 6.1, la temperatura está en kelvins. La ley de desplazamiento de Wien nos permite estimar las temperaturas de las estrellas lejanas midiendo la longitud de onda de la radiación que emiten.

Ejemplo 6.1

Temperaturas de las estrellas lejanas

En una noche clara durante los meses de invierno, si usted se encuentra en el hemisferio norte y mira al cielo, podrá ver la constelación de Orión (El Cazador). Una estrella de esta constelación, Rigel, titila en color azul y otra estrella, Betelgeuse, tiene un color rojizo, como se muestra en la Figura 6.5. ¿Cuál de estas dos estrellas es más fría, Betelgeuse o Rigel?

Estrategia

Consideremos cada estrella como un cuerpo negro. Entonces, según la ley de Wien, su temperatura es inversamente proporcional a la longitud de onda de su pico de intensidad. La longitud de onda

λ_{max}^{(azul)}

de la luz azul es más corta que la longitud de onda

λ_{max}^{(rojo)}

de luz roja. Aunque no conozcamos las longitudes de onda exactas, podemos establecer una proporción.

Solución

Escribiendo la ley de Wien para la estrella azul y para la estrella roja, tenemos

λ_{max}^{(rojo)} T_{(rojo)} = 2,898 \times 10^{−3} m \cdot K = λ_{max}^{(azul)} T_{(azul)}

6.2

Si se simplifica, la Ecuación 6.2 nos da

T_{(rojo)} = \frac{λ_{max}^{(azul)}}{λ_{max}^{(rojo)}} T_{(azul)} < T_{(azul)}

6.3

Por lo tanto, Betelgeuse es más fría que Rigel.

Importancia

Observe que la ley de desplazamiento de Wien nos dice que mientras mayor es la temperatura de un cuerpo emisor, menor es la longitud de onda de la radiación que emite. El análisis cualitativo presentado en este ejemplo es generalmente válido para cualquier cuerpo emisor, ya sea un objeto grande como una estrella o un objeto pequeño como el filamento incandescente de una bombilla.

Compruebe Lo Aprendido 6.1

La llama de una vela con olor a melocotón tiene un color amarillento y la llama de un mechero Bunsen en un laboratorio de química tiene un color azulado. ¿Qué llama tiene una temperatura más alta?

La imagen de la izquierda es una fotografía de la constelación de Orión con la estrella roja en la esquina superior izquierda. La imagen de la derecha es un dibujo de la constelación de Orión representada como un antiguo guerrero.

Figura 6.5 En la constelación de Orión, la estrella roja Betelgeuse, que suele adquirir un tono amarillento, aparece como el hombro derecho de la figura (en la parte superior izquierda). La estrella azul gigante de la parte inferior derecha es Rigel, que aparece como el pie izquierdo del cazador (crédito en la izquierda: modificación del trabajo de Matthew Spinelli, Fotografía Astronómica Diaria [Astronomy Picture of the Day, APOD] de la NASA).

La segunda relación experimental es la ley de Stefan, que se refiere a la potencia total de la radiación de cuerpo negro emitida en todo el espectro de longitudes de onda a una temperatura determinada. En la Figura 6.3, esta potencia total está representada por el área bajo la curva de radiación de cuerpo negro para una T dada. A medida que la temperatura de un cuerpo negro aumenta, la potencia total emitida también aumenta. Cuantitativamente, la ley de Stefan expresa esta relación como

P (T) = σ A T^{4}

6.4

donde $A$ es la superficie de un cuerpo negro, T es su temperatura (en kelvins), y $σ$ es la constante de Stefan-Boltzmann, $σ = 5,670 \times 10^{−8} {W / (m}^{2} \cdot K^{4}) .$ La ley de Stefan nos permite estimar la cantidad de energía que radia una estrella midiendo a distancia su temperatura.

Ejemplo 6.2

La radiación de estelar de potencia

Una estrella como nuestro Sol acabará evolucionando hasta convertirse en una "gigante roja" y después en una "enana blanca". Una enana blanca típica tiene aproximadamente el tamaño de la Tierra, y su temperatura superficial es de aproximadamente

2,5 \times 10^{4} K .

Una gigante roja típica tiene una temperatura superficial de

3,0 \times 10^{3} K

y un radio ~100.000 veces mayor que el de una enana blanca. ¿Cuál es la potencia media radiada por unidad de superficie y la potencia total radiada por cada uno de estos tipos de estrellas? ¿Cómo se comparan?

Estrategia

Si tratamos la estrella como un cuerpo negro, entonces, según la ley de Stefan, la potencia total que radia la estrella es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura. Para encontrar la potencia radiada por unidad de superficie, no necesitamos hacer ninguna suposición sobre la forma de la estrella porque P/A solo depende de la temperatura. Sin embargo, para calcular la potencia total, debemos suponer que la energía se radia a través de una superficie esférica que rodea a la estrella, de modo que la superficie es

A = 4 π R^{2},

donde R es su radio.

Solución

Una simple proporción basada en la ley de Stefan da

\frac{P_{enana} / A_{enana}}{P_{gigante} / A_{gigante}} = \frac{σ T_{enana}^{4}}{σ T_{gigante}^{4}} = {(\frac{T_{enana}}{T_{gigante}})}^{4} = {(\frac{2,5 \times 10^{4}}{3,0 \times 10^{3}})}^{4} = 4.820

6.5

La potencia emitida por unidad de superficie por una enana blanca es unas 5000 veces superior a la emitida por una gigante roja. Esta relación se denota por $a = 4,8 \times 10^{3},$ La Ecuación 6.5 nos da

\frac{P_{enana}}{P_{gigante}} = a \frac{A_{enana}}{A_{gigante}} = a \frac{4 π R_{enana}^{2}}{4 π R_{gigante}^{2}} = a {(\frac{R_{enana}}{R_{gigante}})}^{2} = 4,8 \times 10^{3} {(\frac{R_{enana}}{10^{5} R_{enana}})}^{2} = 4,8 \times 10^{−7}

6.6

Vemos que la potencia total emitida por una enana blanca es una pequeña fracción de la potencia total emitida por una gigante roja. A pesar de su temperatura relativamente más baja, la potencia total radiada por una gigante roja supera con creces la de la enana blanca porque la gigante roja tiene una superficie mucho mayor. Para estimar el valor absoluto de la potencia emitida por unidad de superficie, volvemos a utilizar la ley de Stefan. Para la enana blanca, obtenemos

\frac{P_{enana}}{A_{enana}} = σ T_{enana}^{4} = 5,670 \times 10^{−8} \frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} {(2,5 \times 10^{4} K)}^{4} = 2,2 \times 10^{10} {W/m}^{2}

6.7

El resultado análogo para la gigante roja se obtiene escalando el resultado para una enana blanca:

\frac{P_{gigante}}{A_{gigante}} = \frac{2,2 \times 10^{10}}{4,82 \times 10^{3}} \frac{W}{m^{2}} = 4,56 \times 10^{6} \frac{W}{m^{2}} ≅ 4,6 \times 10^{6} \frac{W}{m^{2}}

6.8

Importancia

Para estimar la potencia total emitida por una enana blanca, en principio, podríamos utilizar la Ecuación 6.7. Sin embargo, para encontrar su superficie, necesitamos conocer el radio medio, que no se proporciona en este ejemplo. Por lo tanto, hasta aquí llega la solución. Lo mismo ocurre con la estrella gigante roja.

Compruebe Lo Aprendido 6.2

Se calienta un atizador de hierro. A medida que aumenta su temperatura, el atizador empieza a brillar, primero con un rojo apagado, luego con un rojo brillante, después naranja y finalmente amarillo. Utilice la curva de radiación de cuerpo negro o la ley de Wien para explicar estos cambios en el color del resplandor.

Compruebe Lo Aprendido 6.3

Supongamos que dos estrellas, $α$ y $β,$ radian exactamente la misma potencia total. Si el radio de la estrella $α$ es tres veces mayor que la de la estrella $β,$ ¿cuál es la relación entre las temperaturas superficiales de estas estrellas? ¿Cuál es más caliente?

El término "cuerpo negro" fue acuñado por Gustav R. Kirchhoff en 1862. La curva de radiación de cuerpo negro se conocía experimentalmente, pero su forma no encontró explicación física hasta el año 1900. El modelo físico de un cuerpo negro a temperatura T es el de las ondas electromagnéticas encerradas en una cavidad (vea la Figura 6.2) y en equilibrio termodinámico con las paredes de la cavidad. Las ondas pueden intercambiar energía con las paredes. Nuestro objetivo es encontrar la distribución de la densidad de energía entre varios modos de vibración en varias longitudes de onda (o frecuencias). En otras palabras, queremos saber cuánta energía transporta una sola longitud de onda o una banda de longitudes de onda. Una vez que conozcamos la distribución de energía, podemos utilizar métodos estadísticos estándar (similares a los estudiados en un capítulo anterior) para obtener la curva de radiación de cuerpo negro, la ley de Stefan y la ley de desplazamiento de Wien. Cuando el modelo físico es correcto, las predicciones teóricas deberían coincidir con las curvas experimentales.

En una aproximación clásica al problema de la radiación de cuerpo negro, en la que la radiación se trata como ondas (como se ha estudiado en capítulos anteriores), los modos de las ondas electromagnéticas atrapadas en la cavidad están en equilibrio e intercambian continuamente sus energías con las paredes de la cavidad. No hay ninguna razón física para que una onda haga lo contrario: Se puede intercambiar cualquier cantidad de energía, ya sea que la onda la transfiera al material de la pared o que este se la transfiera a la onda. Esta imagen clásica es la base del modelo desarrollado por Lord Rayleigh e, independientemente, por Sir James Jeans. El resultado de este modelo clásico para las curvas de radiación de cuerpo negro se conoce como la ley de Rayleigh-Jeans. Sin embargo, como se muestra en la Figura 6.6, la ley de Rayleigh-Jeans no reproduce correctamente los resultados experimentales. En el límite de las longitudes de onda cortas, la ley de Rayleigh-Jeans predice una intensidad de radiación infinita, lo que no concuerda con los resultados experimentales en los que la intensidad de radiación tiene valores finitos en la región ultravioleta del espectro. Esta divergencia entre los resultados de la teoría clásica y los experimentos, que llegó a denominarse la catástrofe ultravioleta muestra cómo la física clásica no puede explicar el mecanismo de la radiación de cuerpo negro.

El gráfico muestra la variación de la intensidad de la radiación con la longitud de onda. Los datos experimentales representados como puntos rojos se disparan hacia arriba a una longitud de onda de algo menos de 1 micrómetro, subiendo a una intensidad máxima de alrededor de 2 - 3 micrómetros, para luego declinar en una curva hasta casi alcanzar una línea de base en 10. La línea de Rayleigh-Jeans se muestra junto a la línea de datos experimentales, y se representa primero entrando en el gráfico a una longitud de onda de 5 y curvándose hacia abajo hasta casi encontrarse con la línea experimental alrededor de 10.

Figura 6.6 La catástrofe ultravioleta: La ley de Rayleigh-Jeans no explica el espectro de emisión de cuerpo negro observado.

El problema de la radiación de cuerpo negro fue resuelto en 1900 por Max Planck. Planck utilizó la misma idea que el modelo de Rayleigh-Jeans en el sentido de que trató las ondas electromagnéticas entre las paredes del interior de la cavidad de forma clásica, y asumió que la radiación está en equilibrio con las paredes de la cavidad. La idea innovadora que Planck introdujo en su modelo es la suposición de que la radiación de la cavidad se origina en las oscilaciones atómicas dentro de las paredes de la cavidad, y que estas oscilaciones solo pueden tener valores discretos de energía. Por lo tanto, la radiación atrapada en las paredes de la cavidad puede intercambiar energía con las paredes solo en cantidades discretas. La hipótesis de Planck de los valores discretos de energía, que él llamó cuantos, supone que los osciladores dentro de las paredes de la cavidad tienen energías cuantizadas. Esta era una idea totalmente nueva que iba más allá de la física clásica del siglo XIX porque, como se explicó en un capítulo anterior, en la imagen clásica la energía de un oscilador puede tomar cualquier valor continuo. Planck asumió que la energía de un oscilador ( $E_{n}$ ) solo puede tener valores discretos, o cuantizados:

E_{n} = n h f, donde n = 1, 2, 3, . . .

6.9

En la Ecuación 6.9, f es la frecuencia del oscilador de Planck. El número natural n que enumera estas energías discretas se llama número cuántico. La constante física h se denomina constante de Planck:

h = 6,626 \times 10^{−34} J \cdot s = 4,136 \times 10^{−15} eV \cdot s

6.10

Cada valor discreto de energía corresponde a un estado cuántico de un oscilador de Planck. Los estados cuánticos se enumeran mediante números cuánticos. Por ejemplo, cuando el oscilador de Planck está en su primer estado cuántico $n = 1$ , su energía es $E_{1} = h f;$ cuando está en el estado cuántico $n = 2$ , su energía es $E_{2} = 2 h f;$ cuando está en el estado cuántico $n = 3$ , $E_{3} = 3 h f;$ y así sucesivamente.

Observe que la Ecuación 6.9 muestra que hay infinitos estados cuánticos, que pueden representarse como una secuencia {hf, 2hf, 3hf,…, (n – 1)hf, nhf, (n + 1)hf,…}. Cada dos estados cuánticos consecutivos de esta secuencia están separados por un salto de energía, $Δ E = h f .$ Un oscilador en la pared puede recibir energía de la radiación en la cavidad (absorción), o puede ceder energía a la radiación en la cavidad (emisión). El proceso de absorción envía el oscilador a un estado cuántico superior, y el proceso de emisión envía el oscilador a un estado cuántico inferior. Sea cual sea el camino de este intercambio de energía, la menor cantidad de energía que se puede intercambiar es hf. No existe un límite superior para la cantidad de energía que se puede intercambiar, pero lo que se intercambie debe ser un múltiplo entero de hf. Si el paquete de energía no tiene esta cantidad exacta, no se absorbe ni se emite en la pared del cuerpo negro.

Hipótesis cuántica de Planck

La hipótesis de los cuantos de energía de Planck afirma que la cantidad de energía emitida por el oscilador es transportada por el cuanto de radiación, $Δ E :$

Δ E = h f

Recordemos que la frecuencia de la radiación electromagnética está relacionada con su longitud de onda y con la velocidad de la luz por la relación fundamental $f λ = c .$ Esto significa que podemos expresar la [link] de forma equivalente en términos de longitud de onda $λ .$ Cuando se incluye en el cálculo de la densidad de energía de un cuerpo negro, la hipótesis de Planck da la siguiente expresión teórica para la intensidad de potencia de la radiación emitida por unidad de longitud de onda:

I (λ, T) = \frac{2 π h c^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c / λ k_{B} T} - 1}

6.11

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y $k_{B}$ es la constante de Boltzmann, $k_{B} = 1,380 \times 10^{−23} J/K .$ La fórmula teórica expresada en la Ecuación 6.11 se denomina ley de radiación de cuerpo negro de Planck. Esta ley coincide con la curva experimental de radiación de cuerpo negro (vea la Figura 6.7). Además, la ley de desplazamiento de Wien y la ley de Stefan pueden derivarse de la Ecuación 6.11. Para derivar la ley de desplazamiento de Wien, utilizamos el cálculo diferencial para encontrar el máximo de la curva de intensidad de la radiación $I (λ, T) .$ Para derivar la ley de Stefan y encontrar el valor de la constante de Stefan-Boltzmann, utilizamos el cálculo integral e integramos $I (λ, T)$ para encontrar la potencia total radiada por un cuerpo negro a una temperatura en todo el espectro de longitudes de onda desde $λ = 0$ hasta $λ = \infty .$ Esta derivación se deja como ejercicio más adelante en este capítulo.

El gráfico muestra la variación de la intensidad de la radiación con la longitud de onda. Los datos experimentales, los puntos rojos, muestran el máximo alrededor de 2 - 3 micrómetros. El ajuste de Planck, la línea, coincide perfectamente con los datos experimentales.

Figura 6.7 El resultado teórico de Planck (curva continua) y la curva experimental de radiación de cuerpo negro (puntos).

Ejemplo 6.3

El oscilador cuántico de Planck

Un oscilador cuántico en la pared de la cavidad en la Figura 6.2 está vibrando a una frecuencia de

5,0 \times 10^{14} Hz .

Calcule el espacio entre sus niveles de energía.

Estrategia

Los estados energéticos de un oscilador cuántico vienen dados por la Ecuación 6.9. El espacio energético

Δ E

se obtiene hallando la diferencia de energía entre dos estados cuánticos adyacentes para los números cuánticos n + 1 y n.

Solución

Podemos sustituir la frecuencia dada y la constante de Planck directamente en la ecuación:

Δ E = E_{n + 1} - E_{n} = (n + 1) h f - n h f = h f = (6,626 \times 10^{−34} J \cdot s) (5,0 \times 10^{14} Hz) = 3,3 \times 10^{−19} J

Importancia

Observe que no se especifica qué tipo de material se ha utilizado para construir la cavidad. Aquí, un oscilador cuántico es un modelo teórico de un átomo o molécula de material en la pared.

Compruebe Lo Aprendido 6.4

Una molécula vibra a una frecuencia de $5,0 \times 10^{14} Hz .$ ¿Cuál es el menor espacio entre sus niveles de energía vibracional?

Ejemplo 6.4

Teoría cuántica aplicada a un oscilador clásico

Una masa de 1,0 kg oscila en el extremo de un resorte con una constante de resorte de 1000 N/m. La amplitud de estas oscilaciones es de 0,10 m. Utilice el concepto de cuantización para encontrar el espacio de energía de este oscilador clásico. ¿La cuantización de la energía es significativa en los sistemas macroscópicos, como en este oscilador?

Estrategia

Utilizamos la Ecuación 6.10 como si el sistema fuera un oscilador cuántico, pero con la frecuencia f de la masa vibrando sobre un resorte. Para evaluar si la cuantización tiene o no un efecto significativo, comparamos el espacio de energía cuántica con la energía total macroscópica de este oscilador clásico.

Solución

Para la constante del resorte,

k = 1,0 \times 10^{3} N/m,

la frecuencia f de la masa,

m = 1,0 kg,

es

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{1,0 \times 10^{3} N/m}{1,0 kg}} ≃ 5,0 Hz

El cuanto de energía que corresponde a esta frecuencia es

Δ E = h f = (6,626 \times 10^{−34} J \cdot s) (5,0 Hz) = 3,3 \times 10^{−33} J

Cuando las vibraciones tienen una amplitud $A = 0,10 m,$ la energía de las oscilaciones es

E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} (1.000 N/m) {(0,1 m)}^{2} = 5,0 J

Importancia

Así, para un oscilador clásico, tenemos

Δ E / E \approx 10^{−34} .

Vemos que la separación de los niveles de energía es inconmensurablemente pequeña. Por lo tanto, a efectos prácticos, la energía de un oscilador clásico adopta valores continuos. Por ello, los principios clásicos pueden aplicarse a los sistemas macroscópicos que se encuentran en la vida cotidiana sin perder exactitud.

Compruebe Lo Aprendido 6.5

¿El resultado en la Ejemplo 6.4 sería diferente si la masa no fuera de 1,0 kg sino una masa diminuta de 1,0 µg,y la amplitud de las vibraciones fuera de 0,10 µm?

Cuando Planck publicó por primera vez su resultado, la hipótesis de los cuantos de energía no fue tomada en serio por la comunidad física porque no se desprendía de ninguna teoría física establecida en aquel momento. Fue percibido, incluso por el propio Planck, como un útil truco matemático que conducía a un buen "ajuste" teórico a la curva experimental. Esta percepción cambió en 1905, cuando Einstein publicó su explicación del efecto fotoeléctrico, en la que dio al cuanto de energía de Planck un nuevo significado: el de partícula de luz.

6.1 Radiación de cuerpo negro

Temperaturas de las estrellas lejanas

Estrategia

Solución

Importancia

La radiación de estelar de potencia

Estrategia

Solución

Importancia

El oscilador cuántico de Planck

Estrategia

Solución

Importancia

Teoría cuántica aplicada a un oscilador clásico

Estrategia

Solución

Importancia