William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir el experimento de Compton.
Explicar el desplazamiento de la longitud de onda Compton.
Describir cómo los experimentos con rayos X confirman la naturaleza de partícula de la radiación.

Dos de las ideas más influyentes de Einstein introducidas en 1905 fueron la teoría de la relatividad especial y el concepto de cuanto de luz, que ahora llamamos fotón. Más allá de 1905, Einstein fue aún más lejos al sugerir que las ondas electromagnéticas que se propagan libremente están formadas por fotones que son partículas de luz en el mismo sentido que los electrones u otras partículas masivas son partículas de materia. Un haz de luz monocromática de longitud de longitud de onda $λ$ (o, lo que es lo mismo, de frecuencia f) puede verse como una onda clásica o como un conjunto de fotones que viajan en el vacío con una velocidad, c (la velocidad de la luz), y que llevan todos la misma energía, $E_{f} = h f .$ Esta idea resultó útil para explicar las interacciones de la luz con las partículas de la materia.

Momento de un fotón

A diferencia de una partícula de materia que se caracteriza por su masa en reposo $m_{0},$ un fotón no tiene masa. En el vacío, a diferencia de una partícula de materia que puede variar su velocidad pero no puede alcanzar la de la luz, un fotón viaja a una sola velocidad, que es exactamente la de la luz. Desde el punto de vista de la mecánica clásica newtoniana, estas dos características implican que un fotón no debería existir en absoluto. Por ejemplo, ¿cómo podemos encontrar el momento lineal o la energía cinética de un cuerpo cuya masa es cero? Esta aparente paradoja desaparece si describimos un fotón como una partícula relativista. Según la teoría de la relatividad especial, cualquier partícula de la naturaleza obedece a la ecuación de energía relativista

E^{2} = p^{2} c^{2} + m_{0}^{2} c^{4} .

6.17

Esta relación también puede aplicarse a un fotón. En la Ecuación 6.17, E es la energía total de una partícula, p es su momento lineal y $m_{0}$ es su masa en reposo. Para un fotón, simplemente establecemos $m_{0} = 0$ en esta ecuación. Esto nos lleva a la expresión del momento $p_{f}$ de un fotón

p_{f} = \frac{E_{f}}{c} .

6.18

Aquí la energía del fotón $E_{f}$ es la misma que la de un cuanto de luz de frecuencia f, que introdujimos para explicar el efecto fotoeléctrico:

E_{f} = h f = \frac{h c}{λ} .

6.19

La relación de onda que conecta la frecuencia f con la longitud de onda $λ$ y la velocidad c también es válida para los fotones:

λ f = c

6.20

Por lo tanto, un fotón puede caracterizarse de forma equivalente por su energía y su longitud de onda, o por su frecuencia y su momento. La Ecuación 6.19 y la Ecuación 6.20 pueden combinarse en la relación explícita entre el momento de un fotón y su longitud de onda:

p_{f} = \frac{h}{λ} .

6.21

Observe que esta ecuación solo nos da la magnitud del momento del fotón y no contiene información sobre la dirección en la que este se mueve. Para incluir la dirección, es habitual escribir el momento del fotón como un vector:

{\vec{p}}_{f} = ℏ \vec{k} .

6.22

En la Ecuación 6.22, $ℏ = h / 2 π$ es la constante de Planck reducida (se pronuncia "h con barra"), que no es más que la constante de Planck dividida por el factor $2 π .$ El vector $\vec{k}$ se llama "vector de onda" o vector de propagación (la dirección en la que se mueve un fotón). El vector de propagación muestra la dirección del vector de momento lineal del fotón. La magnitud del vector de onda es $k = | \vec{k} | = 2 π / λ$ y se denomina número de onda. Observe que esta ecuación no introduce ninguna física nueva. Podemos comprobar que la magnitud del vector en la Ecuación 6.22 es la misma que la dada por la Ecuación 6.18.

El efecto Compton

El efecto Compton es el término utilizado para un resultado inusual observado cuando los rayos X se dispersan en algunos materiales. Según la teoría clásica, cuando una onda electromagnética se dispersa de los átomos, se espera que la longitud de onda de la radiación dispersada sea la misma que la de la radiación incidente. En contra de esta predicción de la física clásica, las observaciones muestran que cuando los rayos X se dispersan en algunos materiales, como el grafito, los rayos X dispersados tienen longitudes de onda diferentes de las de los rayos X incidentes. Este fenómeno clásicamente inexplicable fue estudiado experimentalmente por Arthur H. Compton y sus colaboradores, y Compton dio su explicación en 1923.

Para explicar el desplazamiento de las longitudes de onda medido en el experimento, Compton utilizó la idea de Einstein de la luz como partícula. El efecto Compton ocupa un lugar muy importante en la historia de la física porque demuestra que la radiación electromagnética no puede explicarse como un fenómeno puramente ondulatorio. La explicación del efecto Compton proporcionó un argumento convincente a la comunidad física de que las ondas electromagnéticas pueden comportarse en efecto como una corriente de fotones, lo que situó el concepto de fotón en una base sólida.

El esquema del montaje experimental de Compton se muestra en la Figura 6.11. La idea del experimento es sencilla: rayos X monocromáticos con longitud de onda $λ$ inciden sobre una muestra de grafito (el "objetivo"), donde interactúan con los átomos del interior de la muestra; posteriormente, emergen como rayos X dispersos con longitud de onda $λ' .$ Un detector colocado detrás del objetivo puede medir la intensidad de la radiación que se dispersa en cualquier dirección $θ$ con respecto a la dirección del haz de rayos X incidente. Este ángulo de dispersión, $θ,$ es el ángulo entre la dirección del rayo disperso y la dirección del rayo incidente. En este experimento, conocemos la intensidad y la longitud de onda $λ$ del haz entrante (incidente); y para un ángulo de dispersión determinado $θ,$ medimos la intensidad y la longitud de onda $λ'$ del haz saliente (disperso). Los resultados típicos de estas mediciones se muestran en la Figura 6.12, donde el eje de la xes la longitud de onda de los rayos X dispersos y el eje de la y es la intensidad de los rayos X dispersos, medidos para diferentes ángulos de dispersión (indicados en los gráficos). Para todos los ángulos de dispersión (excepto para $θ = 0 °),$ medimos dos picos de intensidad. Un pico se encuentra en la longitud de onda $λ,$ que es la longitud de onda del rayo incidente. El otro pico se encuentra en otra longitud de onda, $λ' .$ Los dos picos están separados por $Δ λ,$ que depende del ángulo de dispersión $θ$ del haz saliente (en la dirección de observación). La separación $Δ λ$ se denomina dispersión de Compton.

La figura muestra un esquema del montaje experimental para estudiar la dispersión Compton. Los rayos X salen de una fuente, pasan por las rendijas de colimación e inciden en una muestra de grafito. El detector percibe los rayos X dispersados por el objetivo.

Figura 6.11 Montaje experimental para estudiar la dispersión Compton.

Tres gráficos muestran la variación de la intensidad del haz disperso con la longitud de onda. El gráfico de la izquierda corresponde a los datos recogidos en el ángulo theta igual a cero. Aparece un pico agudo en la longitud de onda gamma. El gráfico central corresponde a los datos recogidos en el ángulo theta de 45 grados. Se observan dos picos superpuestos de intensidad similar con una separación de 0,0006 nanómetros. También hay una cola hacia el lado de la longitud de onda larga del espectro. El gráfico de la derecha corresponde a los datos recogidos en el ángulo theta de 90 grados. Se observan dos picos superpuestos con una separación de 0,0022 nanómetros. Los picos son más amplios y el pico de mayor longitud de onda es mucho más intenso. También hay una cola hacia el lado de la longitud de onda larga del espectro.

Figura 6.12 Los datos experimentales muestran el efecto Compton para la dispersión de los rayos X en el grafito en varios ángulos: La intensidad del rayo disperso tiene dos picos. Un pico aparece en la longitud de onda

λ

de la radiación incidente y el segundo pico aparece en la longitud de onda

λ' .

La separación

Δ λ

entre los picos depende del ángulo de dispersión

θ,

que es la posición angular del detector en la Figura 6.11. Los datos experimentales de esta figura están representados en unidades arbitrarias, de modo que la altura del perfil refleja la intensidad del haz dispersado por encima del ruido de fondo.

Dispersión de Compton

Según Compton, la explicación de la dispersión de Compton es que en el material objetivo, el grafito, los electrones de valencia están poco unidos en los átomos y se comportan como electrones libres. Compton asumió que la radiación de rayos X incidente es una corriente de fotones. Un fotón entrante en esta corriente colisiona con un electrón de valencia en el objetivo de grafito. En el transcurso de esta colisión, el fotón entrante transfiere parte de su energía y momento al electrón objetivo y abandona la escena como fotón disperso. Este modelo explica en términos cualitativos por qué la radiación dispersa tiene una longitud de onda mayor que la radiación incidente. En pocas palabras, un fotón que ha perdido parte de su energía emerge como un fotón con una frecuencia más baja, o lo que es lo mismo, con una longitud de onda más larga. Para demostrar que su modelo era correcto, Compton lo utilizó para derivar la expresión de la dispersión de Compton. En su derivación, asumió que tanto el fotón como el electrón son partículas relativistas y que la colisión obedece a dos principios de sentido común: (1) la conservación del momento lineal y (2) la conservación de la energía relativista total.

En la siguiente derivación de la dispersión de Compton, $E_{f}$ y ${\vec{p}}_{f}$ denotan la energía y el momento, respectivamente, de un fotón incidente con frecuencia f. El fotón colisiona con un electrón relativista en reposo, lo que significa que inmediatamente antes de la colisión, la energía del electrón es totalmente su energía de masa en reposo, $m_{0} c^{2} .$ Inmediatamente después de la colisión, el electrón tiene energía E y momento $\vec{p},$ y ambos satisfacen la Ecuación 6.19. Inmediatamente después de la colisión, el fotón saliente tiene energía ${\tilde{E}}_{f},$ un momento ${\vec{\tilde{p}}}_{f},$ y frecuencia $f^{'} .$ La dirección del fotón incidente es horizontal de izquierda a derecha, y la dirección del fotón saliente es el ángulo $θ,$ como se ilustra en la Figura 6.11. El ángulo de dispersión $θ$ es el ángulo entre los vectores del momento ${\vec{p}}_{f}$ y ${\vec{\tilde{p}}}_{f},$ y podemos escribir su producto escalar:

{\vec{p}}_{f} \cdot {\vec{\tilde{p}}}_{f} = p_{f} {\tilde{p}}_{f} cos θ .

6.23

Siguiendo el argumento de Compton, suponemos que el fotón y el electrón que colisionan forman un sistema aislado. Esta suposición es válida para los electrones ligados débilmente que, con una buena aproximación, pueden ser tratados como partículas libres. Nuestra primera ecuación es la conservación de la energía para el sistema fotón-electrón:

E_{f} + m_{0} c^{2} = {\tilde{E}}_{f} + E .

6.24

El lado izquierdo de esta ecuación es la energía del sistema en el instante inmediatamente anterior a la colisión, y el lado derecho de la ecuación es la energía del sistema en el instante inmediatamente posterior a la colisión. Nuestra segunda ecuación es la conservación del momento lineal para el sistema fotón-electrón en el que el electrón está en reposo en el instante inmediatamente anterior a la colisión:

{\vec{p}}_{f} = {\vec{\tilde{p}}}_{f} + \vec{p} .

6.25

El lado izquierdo de esta ecuación es el momento del sistema justo antes de la colisión, y el lado derecho de la ecuación es el momento del sistema justo después de la colisión. Toda la física de la dispersión de Compton está contenida en estas tres ecuaciones anteriores; el resto es álgebra. Llegados a este punto, podríamos pasar a la fórmula concluyente de la dispersión de Compton, pero es útil destacar los principales pasos algebraicos que conducen a la fórmula de Compton, que damos a continuación.

Empezamos reordenando los términos en la Ecuación 6.24 y elevando al cuadrado:

{[(E_{f} - {\tilde{E}}_{f}) + m_{0} c^{2}]}^{2} = E^{2} .

En el siguiente paso, sustituimos la Ecuación 6.19 por $E^{2},$ simplificamos, y dividimos ambos lados por $c^{2}$ para obtener

{(E_{f} / c - {\tilde{E}}_{f} / c)}^{2} + 2 m_{0} c (E_{f} / c - {\tilde{E}}_{f} / c) = p^{2} .

Ahora podemos utilizar la Ecuación 6.21 para expresar esta forma de la ecuación de la energía en términos de momentos. El resultado es

{(p_{f} - {\tilde{p}}_{f})}^{2} + 2 m_{0} c (p_{f} - {\tilde{p}}_{f}) = p^{2} .

6.26

Para eliminar $p^{2},$ pasamos a la ecuación de momento (Ecuación 6.25), reordenamos sus términos y la elevamos al cuadrado para obtener

{({\vec{p}}_{f} - {\vec{\tilde{p}}}_{f})}^{2} = p^{2} y {({\vec{p}}_{f} - {\vec{\tilde{p}}}_{f})}^{2} = p_{f}^{2} + {\tilde{p}}_{f}^{2} - 2 {\vec{p}}_{f} \cdot {\vec{\tilde{p}}}_{f} .

El producto de los vectores de momento viene dado por la Ecuación 6.23. Si sustituimos este resultado por $p^{2}$ en la Ecuación 6.26, obtenemos la ecuación de energía que contiene el ángulo de dispersión $θ :$

{(p_{f} - {\tilde{p}}_{f})}^{2} + 2 m_{0} c (p_{f} - {\tilde{p}}_{f}) = p_{f}^{2} + {\tilde{p}}_{f}^{2} - 2 p_{f} {\tilde{p}}_{f} cos θ .

Con más álgebra, este resultado puede simplificarse a

\frac{1}{{\tilde{p}}_{f}} - \frac{1}{p_{f}} = \frac{1}{m_{0} c} (1 - cos θ) .

6.27

Ahora recordemos la Ecuación 6.21 y escribamos: $1 / {\tilde{p}}_{f} = λ^{'} / h$ y $1 / p_{f} = λ / h .$ Cuando estas relaciones se sustituyen en la Ecuación 6.27, obtenemos la relación para la dispersión de Compton:

λ' - λ = \frac{h}{m_{0} c} (1 - cos θ) .

6.28

El factor $h / m_{0} c$ se llama la longitud de onda Compton del electrón:

λ_{c} = \frac{h}{m_{0} c} = 0,00243 nm = 2,43 pm .

6.29

Denotando el desplazamiento como $Δ λ = λ' - λ,$ el resultado final puede reescribirse como

Δ λ = λ_{c} (1 - cos θ) .

6.30

Esta fórmula para la dispersión de Compton describe extraordinariamente bien los resultados experimentales mostrados en la Figura 6.12. Los datos de dispersión medidos para el molibdeno, el grafito, la calcita y muchos otros materiales objetivo concuerdan con este resultado teórico. El pico no desplazado que se muestra en la Figura 6.12 se debe a las colisiones de fotones con electrones internos fuertemente ligados en el material objetivo. Los fotones que colisionan con los electrones internos de los átomos objetivo colisionan de hecho con todo el átomo. En este caso extremo, la masa en reposo en la Ecuación 6.29 debe cambiarse por la masa en reposo del átomo. Este tipo de dispersión es cuatro órdenes de magnitud menor que el causado por las colisiones con los electrones y es tan pequeño que puede despreciarse.

La dispersión Compton es un ejemplo de esparcimiento inelástico, en la que la radiación dispersada tiene una longitud de onda mayor que la de la radiación incidente. En el uso actual, el término "dispersión Compton" se utiliza para el esparcimiento inelástico de fotones por partículas libres cargadas. En la dispersión Compton, el tratamiento de los fotones como partículas con momentos que pueden ser transferidos a partículas cargadas proporciona el trasfondo teórico para explicar los cambios de longitud de onda medidos en los experimentos; ésta es la prueba de que la radiación está formada por fotones.

Ejemplo 6.8

Dispersión Compton

Un rayo X de 71 pm incide sobre un objetivo de calcita. Encuentre la longitud de onda de los rayos X dispersados en un ángulo de

30 °

¿Cuál es la mayor dispersión que puede esperarse en este experimento?

Estrategia

Para encontrar la longitud de onda de los rayos X dispersados, primero debemos encontrar la dispersión de Compton para el ángulo de dispersión dado,

θ = 30 ° .

Utilizamos la Ecuación 6.30. Luego, añadimos esta dispersión a la longitud de onda incidente para obtener la longitud de onda dispersa. La mayor dispersión de Compton se produce en el ángulo

θ

cuando

1 - cos θ

tiene el mayor valor, que es para el ángulo

θ = 180 ° .

Solución

La dispersión en

θ = 30 °

es

Δ λ = λ_{c} (1 - cos 30 °) = 0,134 λ_{c} = (0,134) (2,43) pm = 0,325 pm .

Esto da la longitud de onda dispersa:

λ' = λ + Δ λ = (71 + 0,325) pm = 71,325 pm .

La mayor dispersión es

{(Δ λ)}_{max} = λ_{c} (1 - cos 180^{0}) = 2 (2,43 pm) = 4,86 pm .

Importancia

El mayor cambio en la longitud de onda se detecta en la radiación retrodispersada; sin embargo, la mayoría de los fotones del haz incidente pasan a través del objetivo y solo una pequeña fracción de fotones se retrodispersa (normalmente, menos del 5 %). Por lo tanto, estas mediciones requieren detectores muy sensibles.

Compruebe Lo Aprendido 6.8

Un rayo X de 71-pm inciden sobre un objetivo de calcita. Encuentre la longitud de onda de los rayos X dispersados en un ángulo de $60 °$ ¿Cuál es la menor dispersión que puede esperarse en este experimento?

6.3 El efecto Compton