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Física Universitaria Volumen 3

6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno

Física Universitaria Volumen 36.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar la diferencia entre el espectro de absorción y el espectro de emisión de la radiación emitida por los átomos.
  • Describir el experimento de la lámina de oro de Rutherford y el descubrimiento del núcleo atómico.
  • Explicar la estructura atómica del hidrógeno.
  • Describir los postulados de la primera teoría cuántica para el átomo de hidrógeno.
  • Resumir cómo el modelo cuántico del átomo de hidrógeno de Bohr explica el espectro de radiación del hidrógeno atómico.

Históricamente, el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno es el primer modelo de estructura atómica que explicaba correctamente los espectros de radiación del hidrógeno atómico. El modelo ocupa un lugar especial en la historia de la física porque introdujo una de las primeras teorías cuánticas, que aportó nuevos desarrollos al pensamiento científico y que más tarde culminó con el desarrollo de la mecánica cuántica. Para entender los detalles del modelo de Bohr, primero debemos repasar los descubrimientos del siglo XIX que impulsaron su formulación.

Cuando utilizamos un prisma para analizar la luz blanca procedente del sol, se observan varias líneas oscuras en el espectro solar (Figura 6.13). Las líneas de absorción solar se denominan líneas de Fraunhofer en honor a Joseph von Fraunhofer, quien midió con precisión sus longitudes de onda. En 1854-1861, Gustav Kirchhoff y Robert Bunsen descubrieron que para los distintos elementos químicos, la línea del espectro de emisión de un elemento coincide exactamente con su línea de espectro de absorción. La diferencia entre el espectro de absorción y el de emisión se explica en la Figura 6.14. Se observa un espectro de absorción cuando la luz atraviesa un gas. Este espectro aparece como líneas negras que se producen solo en determinadas longitudes de onda sobre el fondo del espectro continuo de la luz blanca (Figura 6.13). Las longitudes de onda que faltan nos indican qué longitudes de onda de la radiación son absorbidas por el gas. El espectro de emisión se observa cuando el gas emite la luz. Este espectro se ve como líneas de colores sobre el fondo negro (ver la Figura 6.15 y Figura 6.16). Las posiciones de las líneas de emisión nos indican qué longitudes de onda de la radiación son las que el gas emite. Cada elemento químico tiene su propio espectro de emisión característico. Para cada elemento, las posiciones de sus líneas de emisión son exactamente las mismas que las de sus líneas de absorción. Esto significa que los átomos de un elemento específico absorben la radiación solo en longitudes de onda específicas y la radiación que no tiene estas longitudes de onda no es absorbida en lo absoluto por el elemento. Esto también significa que la radiación emitida por los átomos de cada elemento tiene exactamente las mismas longitudes de onda que la radiación que absorben.

La figura representa el espectro de emisión solar en el rango visible, desde el extremo azul profundo del espectro, medido a 380 nm, hasta la parte roja profunda del espectro, medida a 710 nm. Las líneas de Fraunhofer se observan como líneas negras verticales en posiciones espectrales específicas en el espectro continuo.
Figura 6.13 En el espectro de emisión solar en el rango visible de 380 nm a 710 nm, las líneas de Fraunhofer se observan como líneas negras verticales en posiciones espectrales específicas en el espectro continuo. Los instrumentos modernos de alta sensibilidad observan miles de estas líneas.
Las figuras A y B muestran el esquema de un montaje experimental para observar las líneas de absorción. En la figura A, la luz blanca pasa a través del prisma y se separa en las longitudes de onda. En el espectro de la luz que pasa faltan algunas longitudes de onda, que se ven como líneas negras de absorción en el espectro continuo en la pantalla de visualización. En la figura B, la luz emitida por el gas en el tubo de descarga pasa a través del prisma y se separa en longitudes de onda. En el espectro de la luz que pasa, solo hay longitudes de onda específicas, que se ven como líneas de emisión de colores en la pantalla.
Figura 6.14 Observación de los espectros de líneas: (a) montaje para observar las líneas de absorción; (b) montaje para observar las líneas de emisión. (a) La luz blanca pasa a través de un gas frío que está contenido en un matraz de vidrio. Se utiliza un prisma para separar las longitudes de onda de la luz que pasa. En el espectro de la luz que pasa faltan algunas longitudes de onda, que se ven como líneas negras de absorción en el espectro continuo de la pantalla de visualización. (b) Un gas está contenido en un tubo de descarga de vidrio que tiene electrodos en sus extremos. A una diferencia de potencial elevada entre los electrodos, el gas se ilumina y la luz emitida por el gas pasa a través del prisma que separa sus longitudes de onda. En el espectro de la luz emitida, solo están presentes determinadas longitudes de onda, que se ven como líneas de emisión de colores en la pantalla.
La figura muestra el espectro de emisión del hidrógeno. Sólo hay cuatro líneas de emisión, tres en la línea azul y una en la roja del espectro.
Figura 6.15 El espectro de emisión del hidrógeno atómico: Las posiciones espectrales de las líneas de emisión son características de los átomos de hidrógeno (crédito: "Merikanto"/Wikimedia Commons)
La figura muestra el espectro de emisión del hierro. En la parte visible del espectro hay numerosas líneas de emisión superpuestas.
Figura 6.16 El espectro de emisión del hierro atómico: Las posiciones espectrales de las líneas de emisión son características de los átomos de hierro.

Los espectros de emisión de los elementos tienen estructuras complejas; se vuelven aún más complejos para los elementos con números atómicos más altos. El espectro más sencillo, mostrado en la Figura 6.15, pertenece al átomo de hidrógeno. Sólo cuatro líneas son visibles para el ojo humano. Según se lee de derecha a izquierda en la Figura 6.15, estas líneas son: roja (656 nm), llamada línea H-αα; agua (486 nm), azul (434 nm) y violeta (410 nm). Las líneas con longitudes de onda inferiores a 400 nm aparecen en la parte ultravioleta del espectro (Figura 6.15, extremo izquierdo) y son invisibles para el ojo humano. Hay infinitas líneas espectrales invisibles en la serie del hidrógeno.

Una fórmula empírica para describir las posiciones (longitudes de onda) λλ de las líneas de emisión del hidrógeno en esta serie fue descubierta en 1885 por Johann Balmer, y se conoce como la fórmula de Balmer:

1λ=RH(1221n2).1λ=RH(1221n2).
6.31

La constante RH=1,09737×107m−1RH=1,09737×107m−1 se llama la constante de Rydberg para el hidrógeno. En la Ecuación 6.31, el entero positivo n toma valores n=3,4,5,6n=3,4,5,6 para las cuatro líneas visibles de esta serie. La serie de líneas de emisión dada por la fórmula de Balmer se denomina serie de Balmer para el hidrógeno. Otras líneas de emisión del hidrógeno descubiertas en el siglo XX se describen mediante la fórmula de Rydberg, que resume todos los datos experimentales:

1λ=RH(1nf21ni2),dondeni=nf+1,nf+2,nf+3,...1λ=RH(1nf21ni2),dondeni=nf+1,nf+2,nf+3,...
6.32

Cuando nf=1,nf=1, la serie de líneas espectrales se denomina serie de Lyman. Cuando nf=2,nf=2, la serie se llama serie de Balmer, y en este caso, la fórmula de Rydberg coincide con la fórmula de Balmer. Cuando nf=3,nf=3, la serie se denomina serie de Paschen. Cuando nf=4,nf=4, la serie se llama serie de Brackett. Cuando nf=5,nf=5, la serie se denomina serie de Pfund. Cuando nf=6,nf=6, tenemos la serie de Humphreys. Como puede adivinar, hay infinitas bandas espectrales de este tipo en el espectro del hidrógeno porque nfnf puede ser cualquier número entero positivo.

La fórmula de Rydberg para el hidrógeno da las posiciones exactas de las líneas espectrales tal y como se observan en un laboratorio; sin embargo, a principios del siglo XX, nadie podía explicar por qué funcionaba tan bien. La fórmula de Rydberg permaneció sin explicación hasta que se propuso el primer modelo exitoso del átomo de hidrógeno en 1913.

Ejemplo 6.9

Límites de la serie Balmer

Calcule las longitudes de onda más largas y más cortas de la serie de Balmer.

Estrategia

Podemos utilizar la fórmula de Balmer o la fórmula de Rydberg. La mayor longitud de onda se obtiene cuando 1/ni1/ni es mayor, que es cuando ni=nf+1=3,ni=nf+1=3, porque nf=2nf=2 para la serie de Balmer. La menor longitud de onda se obtiene cuando 1/ni1/ni es el más pequeño, que es 1/ni01/ni0 cuando ni.ni.

Solución

El límite de la onda larga:
1λ=RH(122132)=(1,09737×107)1m(1419)λ=656,3nm1λ=RH(122132)=(1,09737×107)1m(1419)λ=656,3nm

El límite de la onda corta:

1λ=RH(1220)=(1,09737×107)1m(14)λ=364,6nm1λ=RH(1220)=(1,09737×107)1m(14)λ=364,6nm

Importancia

Nótese que hay infinitas líneas espectrales que se encuentran entre estos dos límites.

Compruebe Lo Aprendido 6.9

¿Cuáles son los límites de la serie de Lyman? ¿Puede ver estas líneas espectrales?

La clave para desvelar el misterio de los espectros atómicos está en comprender la estructura atómica. Los científicos saben desde hace tiempo que la materia está formada por átomos. Según la ciencia del siglo XIX, los átomos son las cantidades más pequeñas e indivisibles de la materia. Esta creencia científica se hizo añicos gracias a una serie de experimentos pioneros que demostraron la existencia de partículas subatómicas, como los electrones, protones y neutrones.

El electrón fue descubierto e identificado como la cantidad más pequeña de carga eléctrica por J.J. Thomson en 1897 gracias a sus experimentos de rayos catódicos, también conocidos como experimentos de rayos β: Un rayo β es un haz de electrones. En 1904, Thomson propuso el primer modelo de la estructura atómica, conocido como el modelo del "pudín de pasas", en el que un átomo consistía en una materia desconocida cargada positivamente con electrones negativos incrustados en ella como las ciruelas en un pudín. Alrededor de 1900, E. Rutherford, e independientemente, Paul Ulrich Villard, clasificaron toda la radiación conocida en ese momento como αα, rayos-β, and rayos- (un rayo-γ es un rayo de fotones altamente energéticos). En 1907, Rutherford y Thomas Royds utilizaron métodos de espectroscopia para demostrar que las partículas de carga positiva de ααα (llamada αα) son de hecho átomos de helio doblemente ionizados. En 1909, Rutherford, Ernest Marsden y Hans Geiger utilizaron αα-α en su famoso experimento de dispersión que refutó el modelo de Thomson (véase Momento lineal y Colisiones).

En el experimento de la lámina de oro de Rutherford (también conocido como el experimento Geiger-Marsden), αα-α incidieron en una fina lámina de oro y los átomos de oro del interior de la lámina las dispersaron (véase Tipos de colisiones). Las partículas salientes fueron detectadas por una pantalla de centelleo de 360°360° que rodea el objetivo de oro (para una descripción detallada del montaje experimental, véase Momento lineal y colisiones). Cuando una partícula dispersa golpea la pantalla, se observa un pequeño destello de luz (centelleo) en ese lugar. Contando los centelleos observados en varios ángulos con respecto a la dirección del haz incidente, los científicos pudieron determinar qué fracción de las partículas incidentes se dispersaron y qué fracción no se desvió en absoluto. Si el modelo del pudín de pasas fuera correcto, no habría αα-α retrodispersas. Sin embargo, los resultados del experimento de Rutherford mostraron que, aunque una fracción considerable de αα-α salieron de la lámina sin dispersarse en absoluto como si la lámina no estuviera en su camino, una fracción significativa de αα-α se retrodispersaron hacia la fuente. Este tipo de resultado solo fue posible cuando la mayor parte de la masa y toda la carga positiva del átomo de oro se concentraron en un espacio diminuto dentro del átomo.

En 1911, Rutherford propuso un modelo atómico nuclear. En el modelo de Rutherford, un átomo contenía un núcleo cargado positivamente de tamaño insignificante, casi como un punto, pero que incluía casi toda la masa del átomo. El átomo también contenía electrones negativos que se encontraban dentro del átomo pero relativamente alejados del núcleo. Diez años más tarde, Rutherford acuñó el nombre de protón para el núcleo del hidrógeno y el nombre de neutrón para una partícula hipotética eléctricamente neutra que mediaría la unión de los protones positivos en el núcleo (el neutrón fue descubierto en 1932 por James Chadwick). A Rutherford se le atribuye el descubrimiento del núcleo atómico; sin embargo, el modelo de Rutherford de la estructura atómica no explica la fórmula de Rydberg para las líneas de emisión del hidrógeno.

Elmodelo de Bohr del átomo de hidrógeno, propuesto por Niels Bohr en 1913, fue el primer modelo cuántico que explicaba correctamente el espectro de emisión del hidrógeno. El modelo de Bohr combina la mecánica clásica del movimiento planetario con el concepto cuántico de los fotones. Una vez que Rutherford estableció la existencia del núcleo atómico, la intuición de Bohr de que el electrón negativo del átomo de hidrógeno debe girar alrededor del núcleo positivo se convirtió en una consecuencia lógica de la ley de la distancia inversa al cuadrado de la atracción electrostática. Recordemos que la ley de Coulomb que describe la atracción entre dos cargas opuestas tiene una forma similar a la ley universal de gravitación de Newton en el sentido de que la fuerza gravitacional y la fuerza electrostática son decrecientes como 1/r2,1/r2, donde r es la distancia de separación entre los cuerpos. De la misma manera que la Tierra gira alrededor del sol, el electrón negativo del átomo de hidrógeno puede girar alrededor del núcleo positivo. Sin embargo, una carga que se acelera irradia su energía. Clásicamente, si el electrón se moviera alrededor del núcleo de forma planetaria, estaría sufriendo una aceleración centrípeta y, por tanto, estaría irradiando energía que le haría descender en espiral hacia el núcleo. Tal átomo de hidrógeno planetario no sería estable, lo que es contrario a lo que sabemos sobre los átomos de hidrógeno ordinarios que no se desintegran. Además, el movimiento clásico del electrón no es capaz de explicar el discreto espectro de emisión del hidrógeno.

Para sortear estas dos dificultades, Bohr propuso los siguientes tres postulados del modelo de Bohr:

  1. El electrón negativo se mueve alrededor del núcleo positivo (protón) en una órbita circular. Todas las órbitas de los electrones están centradas en el núcleo. No todas las órbitas clásicamente posibles están disponibles para un electrón unido al núcleo.
  2. Las órbitas de electrones permitidas satisfacen la primera condición de cuantización: En la enésimaórbita, el momento angular LnLn del electrón solo puede tomar valores discretos:
    Ln=n,donden=1,2,3,...Ln=n,donden=1,2,3,...
    6.33

    Este postulado dice que el momento angular del electrón está cuantizado. Denotado por rnrn y vn,vn, respectivamente, el radio de la enésimaórbita y la rapidez del electrón en ella, la primera condición de cuantización, puede expresarse explícitamente como
    mevnrn=n.mevnrn=n.
    6.34
  3. Un electrón puede hacer transiciones desde una órbita donde su energía es EnEn a otra órbita donde su energía es Em.Em. Cuando un átomo absorbe un fotón, el electrón hace una transición a una órbita de mayor energía. Cuando un átomo emite un fotón, el electrón pasa a una órbita de menor energía. Las transiciones de electrones con la absorción o emisión simultánea de fotones tienen lugar de forma instantánea. Las transiciones de electrones permitidas satisfacen la segunda condición de cuantización:
    hf=|EnEm|hf=|EnEm|
    6.35

    donde hfhf es la energía de un fotón emitido o absorbido con frecuencia f. La segunda condición de cuantización establece que el cambio de energía de un electrón en el átomo de hidrógeno está cuantizado.

Estos tres postulados de la primera teoría cuántica del átomo de hidrógeno nos permiten deducir no solo la fórmula de Rydberg, sino también el valor de la constante de Rydberg y otras propiedades importantes del átomo de hidrógeno, como sus niveles de energía, su energía de ionización y los tamaños de los orbitales de los electrones. Nótese que en el modelo de Bohr, junto con dos postulados de cuantización no clásicos, tenemos también la descripción clásica del electrón como una partícula que está sometida a la fuerza de Coulomb, y su movimiento debe obedecer las leyes de movimiento de Newton. El átomo de hidrógeno, como sistema aislado, debe obedecer las leyes de conservación de la energía y el momento de la forma que conocemos de la física clásica. Teniendo en cuenta este marco teórico, estamos preparados para proceder a nuestro análisis.

Órbitas de los electrones

Para obtener el tamaño rnrn de la enésimaórbita del electrón y la velocidad del electrón en ella, vnvn recurrimos a la mecánica de Newton. Como partícula cargada, el electrón experimenta una atracción electrostática hacia el núcleo cargado positivamente en el centro de su órbita circular. Esta atracción electrostática es la fuerza centrípeta que hace que el electrón se mueva en círculo alrededor del núcleo. Por lo tanto, la magnitud de la fuerza centrípeta se identifica con la magnitud de la fuerza electrostática:

mevn2rn=14πε0e2rn2.mevn2rn=14πε0e2rn2.
6.36

Aquí, ee denota el valor de la carga elemental. El electrón negativo y el protón positivo tienen el mismo valor de carga, |q|=e.|q|=e. Cuando se combina la Ecuación 6.36 con la primera condición de cuantización dada por la Ecuación 6.34, podemos resolver la velocidad, vn,vn, y para el radio, rn:rn:

vn=14πε0e21nvn=14πε0e21n
6.37
rn=4πε02mee2n2.rn=4πε02mee2n2.
6.38

Obsérvese que estos resultados nos dicen que la velocidad del electrón, así como el radio de su órbita, solo dependen del índice n que enumera la órbita, ya que todas las demás cantidades de las ecuaciones anteriores son constantes fundamentales. Vemos en la Ecuación 6.38 que el tamaño de la órbita crece como el cuadrado de n. Esto significa que la segunda órbita es cuatro veces más grande que la primera, y la tercera órbita es nueve veces más grande que la primera, y así sucesivamente. También vemos en la Ecuación 6.37 que la velocidad del electrón en la órbita disminuye a medida que aumenta el tamaño de la órbita. La velocidad del electrón es mayor en la primera órbita de Bohr, para n=1,n=1, que es la órbita más cercana al núcleo. El radio de la primera órbita de Bohr se denomina radio de Bohr del hidrógeno, denotado como a0.a0. Su valor se obtiene estableciendo n=1n=1 en Ecuación 6.38:

a0=4πε02mee2=5,29×10−11m=0,529Å.a0=4πε02mee2=5,29×10−11m=0,529Å.
6.39

Podemos sustituir a0a0 en la Ecuación 6.38 para expresar el radio de la enésimaórbita en términos de a0:a0:

rn=a0n2.rn=a0n2.
6.40

Este resultado significa que las órbitas de los electrones en el átomo de hidrógeno están cuantizadas porque el radio orbital solo toma valores específicos de a0,4a0,9a0,16a0,...a0,4a0,9a0,16a0,... dado por Ecuación 6.40, y no se permiten otros valores.

Energías de los electrones

La energía total EnEn de un electrón en la enésimaórbita es la suma de su energía cinética KnKn y su energía potencial electrostática Un.Un. Utilizando Ecuación 6.37, encontramos que

Kn=12mevn2=132π2ε02mee421n2.Kn=12mevn2=132π2ε02mee421n2.
6.41

Recordemos que la energía potencial electrostática de interacción entre dos cargas q1q1 y q2q2 que están separadas por una distancia r12r12 es (1/4πε0)q1q2/r12.(1/4πε0)q1q2/r12. Aquí, q1=+eq1=+e es la carga del núcleo del átomo de hidrógeno (la carga del protón), q2=eq2=e es la carga del electrón y r12=rnr12=rn es el radio de la enésimaórbita. Ahora utilizamos la Ecuación 6.38 para encontrar la energía potencial del electrón:

Un=14πε0e2rn=116π2ε02mee421n2.Un=14πε0e2rn=116π2ε02mee421n2.
6.42

La energía total del electrón es la suma de la Ecuación 6.41 y Ecuación 6.42:

En=Kn+Un=132π2ε02mee421n2.En=Kn+Un=132π2ε02mee421n2.
6.43

Observe que la energía solo depende del índice n porque el resto de los símbolos en la Ecuación 6.43 son constantes físicas. El valor del factor constante en la Ecuación 6.43 es

E0=132π2ε02mee42=18ε02mee4h2=2,17×10−18J=13,6eV.E0=132π2ε02mee42=18ε02mee4h2=2,17×10−18J=13,6eV.
6.44

Es conveniente expresar la energía del electrón en la enésimaórbita en términos de esta energía, como

En=E01n2.En=E01n2.
6.45

Ahora podemos ver que las energías de los electrones en el átomo de hidrógeno están cuantizadas porque solo pueden tener valores discretos de E0,E0/4,E0/9,E0/16,...E0,E0/4,E0/9,E0/16,... dado por la Ecuación 6.45, y no se permiten otros valores de energía. Este conjunto de energías de electrones permitidas se denomina espectro energético del hidrógeno (Figura 6.17). El índice n que enumera los niveles de energía en el modelo de Bohr se llama número cuántico de energía. Identificamos la energía del electrón dentro del átomo de hidrógeno con la energía del átomo de hidrógeno. Note que el menor valor de energía se obtiene para n=1,n=1, por lo que el átomo de hidrógeno no puede tener una energía menor que esa. Este valor mínimo de la energía de los electrones en el átomo de hidrógeno se denomina energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno y su valor es

E1=E0=−13,6eV.E1=E0=−13,6eV.
6.46

El átomo de hidrógeno puede tener otras energías superiores a la del estado fundamental Estos estados de mayor energía se conocen como estados de energía excitada de un átomo de hidrógeno.

Sólo hay un estado fundamental, pero hay infinitos estados excitados porque hay infinitos valores de n en la Ecuación 6.45. Decimos que el electrón está en el "primer estado excitado" cuando su energía es E2E2 (cuando n=2n=2), el segundo estado excitado cuando su energía es E3E3 (cuando n=3n=3) y, en general, en el enésimoestado de salida cuando su energía es En+1.En+1. No existe el estado excitado más alto de todos; sin embargo, hay un límite en la secuencia de estados excitados. Si seguimos aumentando n en la Ecuación 6.45, encontramos que el límite es limnE0/n2=0.limnE0/n2=0. En este límite, el electrón deja de estar ligado al núcleo y se convierte en un electrón libre. Un electrón permanece unido al átomo de hidrógeno mientras su energía sea negativa. Un electrón que orbita alrededor del núcleo en la primera órbita de Bohr, la más cercana al núcleo, se encuentra en el estado fundamental, donde su energía tiene el valor más pequeño. En el estado fundamental, el electrón está fuertemente unido al núcleo y su energía viene dada por la Ecuación 6.46. Si queremos sacar este electrón del átomo, debemos suministrarle suficiente energía, E,E, para, al menos, equilibrar su energía del estado fundamental E1:E1:

E+E1=0E=E1=(E0)=E0=13,6eV.E+E1=0E=E1=(E0)=E0=13,6eV.
6.47

La energía necesaria para extraer el electrón del átomo se denomina energía de ionización. La energía de ionización EE que se necesita para sacar el electrón de la primera órbita de Bohr se denomina límite de ionización del hidrógeno. El límite de ionización en la Ecuación 6.47 que obtenemos en el modelo de Bohr coincide con el valor experimental.

La figura muestra el espectro energético del átomo de hidrógeno. El eje Y representa la energía expresada en eV. Las líneas horizontales representan los estados ligados de un electrón en el nivel. Sólo hay un estado fundamental, marcado como n = 1 a -13,6 eV y un número infinito de estados excitados cuantizados. Los estados se enumeran con los números cuánticos n = 1, 2, 3, 4 y su densidad aumenta al acercarse a 0 eV. La serie de Lyman hace la transición a n = 1, la serie de Balmer hace la transición a n = 2 a -3,4 eV, y la serie de Paschen hace la transición a n = -3 a -1,51 eV. Las series se indican con flechas hacia abajo.
Figura 6.17 El espectro energético del átomo de hidrógeno. Los niveles de energía (líneas horizontales) representan los estados ligados de un electrón en el átomo. Sólo hay un estado fundamental, n = 1 , n = 1 , y los infinitos estados excitados cuantizados. Los estados se enumeran por el número cuántico n = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . n = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . Las líneas verticales ilustran las transiciones de electrones permitidas entre los estados. Las flechas hacia abajo ilustran las transiciones con una emisión de un fotón con una longitud de onda en la banda espectral indicada.

Líneas de emisión espectral del hidrógeno

Para obtener las longitudes de onda de la radiación emitida cuando un electrón hace una transición de la órbita na la órbita m, utilizamos la segunda de las condiciones de cuantización de Bohr y la Ecuación 6.45 para las energías. La emisión de energía del átomo solo puede producirse cuando un electrón realiza una transición de un estado excitado a otro de menor energía. En el curso de dicha transición, el fotón emitido arrastra la diferencia de energías entre los estados implicados en la transición. La transición no puede ir en la otra dirección porque la energía de un fotón no puede ser negativa, lo que significa que para la emisión debemos tener En>EmEn>Em y n>m.n>m. Por lo tanto, el tercero de los postulados de Bohr da

hf=|EnEm|=EnEm=E01n2+E01m2=E0(1m21n2).hf=|EnEm|=EnEm=E01n2+E01m2=E0(1m21n2).
6.48

Ahora expresamos la energía del fotón en términos de su longitud de onda, hf=hc/λ,hf=hc/λ, y dividir ambos lados de la Ecuación 6.48 por hc.hc. El resultado es

1λ=E0hc(1m21n2).1λ=E0hc(1m21n2).
6.49

El valor de la constante en esta ecuación es

E0hc=13,6eV(4,136×10−15eV·s)(2,997×108m/s)=1,097×1071m.E0hc=13,6eV(4,136×10−15eV·s)(2,997×108m/s)=1,097×1071m.
6.50

Este valor es exactamente la constante de Rydberg RHRH en la fórmula heurística de Rydberg en la Ecuación 6.32. De hecho, Ecuación 6.49 es idéntica a la fórmula de Rydberg, porque para una m dada, tenemos n=m+1,m+2,....n=m+1,m+2,.... De este modo, el modelo cuántico de Bohr del átomo de hidrógeno nos permite deducir la constante experimental de Rydberg a partir de los principios básicos y expresarla en términos de constantes fundamentales. Las transiciones entre las órbitas electrónicas permitidas se ilustran en la Figura 6.17.

Podemos repetir los mismos pasos que nos llevaron a la Ecuación 6.49 para obtener la longitud de onda de la radiación absorbida; esto da de nuevo la Ecuación 6.49 pero esta vez para las posiciones de las líneas de absorción en el espectro de absorción del hidrógeno. La única diferencia es que para la absorción, el número cuántico m es el índice de la órbita ocupada por el electrón antes de la transición (orbital de menor energía) y el número cuántico n es el índice del orbital al que el electrón hace la transición (orbital de mayor energía). La diferencia entre las energías de los electrones en estas dos órbitas es la energía del fotón absorbido.

Ejemplo 6.10

Tamaño y energía de ionización del átomo de hidrógeno en estado excitado

Si un átomo de hidrógeno en estado fundamental absorbe un fotón de 93,7 nm, correspondiente a una línea de transición en la serie de Lyman, ¿cómo afecta esto a la energía y al tamaño del átomo? ¿Cuánta energía se necesita para ionizar el átomo cuando se encuentra en este estado excitado? Indique sus respuestas en unidades absolutas y en relación con el estado fundamental.

Estrategia

Antes de la absorción, el átomo se encuentra en su estado fundamental. Esto significa que la transición del electrón tiene lugar desde la órbita m=1m=1 a alguna órbita enésimasuperior. En primer lugar, debemos determinar nn de la longitud de onda absorbida λ=93,7nm.λ=93,7nm. Entonces, podemos usar la Ecuación 6.45 para encontrar la energía EnEn del estado excitado y su energía de ionización E,n,E,n, y utilizar la Ecuación 6.40 para encontrar el radio rnrn del átomo en estado excitado. Para estimar n, utilizamos Ecuación 6.49.

Solución

Sustituir m=1m=1 y λ=93,7nmλ=93,7nm en la Ecuación 6.49 y resolver para n.n. No debe esperar una respuesta entera perfecta debido a los errores de redondeo, pero su respuesta será cercana a un entero, y puede estimar n tomando la parte integral de su respuesta:
1λ=RH(1121n2)n=111λRH=111(93,7×10−9m)(1,097×107m−1)=6,07n=6.1λ=RH(1121n2)n=111λRH=111(93,7×10−9m)(1,097×107m−1)=6,07n=6.

El radio de la órbita n=6n=6 es

rn=a0n2=a062=36a0=36(0,529×10−10m)=19,04×10−10m19,0Å.rn=a0n2=a062=36a0=36(0,529×10−10m)=19,04×10−10m19,0Å.

Por lo tanto, después de absorber el fotón de 93,7 nm, el tamaño del átomo de hidrógeno en el estado excitado n=6n=6 es 36 veces mayor que antes de la absorción, cuando el átomo se encontraba en el estado fundamental. La energía del quinto estado excitado (n=6n=6) es:

En=E0n2=E062=E036=13,6eV360,378eV.En=E0n2=E062=E036=13,6eV360,378eV.

Después de absorber el fotón de 93,7 nm, la energía del átomo de hidrógeno es mayor que antes de la absorción. Ionización del átomo cuando está en el quinto estado excitado (n=6n=6) requiere 36 veces menos energía que la que se necesita cuando el átomo está en el estado fundamental:

E,6=E6=(-0,378eV)=0,378eV.E,6=E6=(-0,378eV)=0,378eV.

Importancia

Podemos analizar cualquier línea espectral en el espectro del hidrógeno de la misma manera. Así, las mediciones experimentales de las líneas espectrales nos proporcionan información sobre la estructura atómica del átomo de hidrógeno.

Compruebe Lo Aprendido 6.10

Cuando un electrón de un átomo de hidrógeno se encuentra en el primer estado excitado, ¿qué predicción da el modelo de Bohr sobre su rapidez orbital y su energía cinética? ¿Cuál es la magnitud de su momento angular orbital?

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno también predice correctamente los espectros de algunos iones hidrogenoides. Losiones hidrogenoides son átomos de elementos con un número atómico Z mayor que uno (Z=1Z=1 para el hidrógeno) pero con todos los electrones eliminados excepto uno. Por ejemplo, un átomo de helio eléctricamente neutro tiene un número atómico Z=2.Z=2. Esto significa que tiene dos electrones orbitando el núcleo con una carga de q=+Ze.q=+Ze. Cuando se retira uno de los electrones que orbitan el átomo de helio (decimos, cuando el átomo de helio se ioniza individualmente), lo que queda es una estructura atómica parecida a la del hidrógeno en la que el electrón restante orbita alrededor del núcleo con una carga de q=+Ze.q=+Ze. El modelo de Bohr describe este tipo de situación. Suponiendo que la carga del núcleo no es +e+e pero +Ze,+Ze, podemos repetir todos los pasos, empezando por la Ecuación 6.36, para obtener los resultados de un ion hidrogenoide:

rn=a0Zn2rn=a0Zn2
6.51

donde a0a0 es la órbita de Bohr del hidrógeno, y

En=Z2E01n2En=Z2E01n2
6.52

donde E0E0 es el límite de ionización de un átomo de hidrógeno. Estas ecuaciones son buenas aproximaciones siempre que el número atómico Z no sea demasiado grande.

El modelo de Bohr es importante porque fue el primer modelo que postuló la cuantización de las órbitas de los electrones en los átomos. Por lo tanto, representa una teoría cuántica temprana que dio inicio al desarrollo de la teoría cuántica moderna. Introdujo el concepto de número cuántico para describir los estados atómicos. La limitación de la primera teoría cuántica es que no puede describir átomos en los que el número de electrones que orbitan alrededor del núcleo sea mayor que uno. El modelo de Bohr del hidrógeno es un modelo semiclásico porque combina el concepto clásico de las órbitas de los electrones con el nuevo concepto de cuantización. El notable éxito de este modelo impulsó a muchos físicos a buscar una explicación de por qué dicho modelo debía funcionar, y a buscar una comprensión de la física detrás de los postulados de la primera teoría cuántica. Esta búsqueda dio lugar a un concepto totalmente nuevo de "ondas de materia".

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