6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno

Históricamente, el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno es el primer modelo de estructura atómica que explicaba correctamente los espectros de radiación del hidrógeno atómico. El modelo ocupa un lugar especial en la historia de la física porque introdujo una de las primeras teorías cuánticas, que aportó nuevos desarrollos al pensamiento científico y que más tarde culminó con el desarrollo de la mecánica cuántica. Para entender los detalles del modelo de Bohr, primero debemos repasar los descubrimientos del siglo XIX que impulsaron su formulación.

Cuando utilizamos un prisma para analizar la luz blanca procedente del sol, se observan varias líneas oscuras en el espectro solar (Figura 6.13). Las líneas de absorción solar se denominan líneas de Fraunhofer en honor a Joseph von Fraunhofer, quien midió con precisión sus longitudes de onda. En 1854-1861, Gustav Kirchhoff y Robert Bunsen descubrieron que para los distintos elementos químicos, la línea del espectro de emisión de un elemento coincide exactamente con su línea de espectro de absorción. La diferencia entre el espectro de absorción y el de emisión se explica en la Figura 6.14. Se observa un espectro de absorción cuando la luz atraviesa un gas. Este espectro aparece como líneas negras que se producen solo en determinadas longitudes de onda sobre el fondo del espectro continuo de la luz blanca (Figura 6.13). Las longitudes de onda que faltan nos indican qué longitudes de onda de la radiación son absorbidas por el gas. El espectro de emisión se observa cuando el gas emite la luz. Este espectro se ve como líneas de colores sobre el fondo negro (ver la Figura 6.15 y Figura 6.16). Las posiciones de las líneas de emisión nos indican qué longitudes de onda de la radiación son las que el gas emite. Cada elemento químico tiene su propio espectro de emisión característico. Para cada elemento, las posiciones de sus líneas de emisión son exactamente las mismas que las de sus líneas de absorción. Esto significa que los átomos de un elemento específico absorben la radiación solo en longitudes de onda específicas y la radiación que no tiene estas longitudes de onda no es absorbida en lo absoluto por el elemento. Esto también significa que la radiación emitida por los átomos de cada elemento tiene exactamente las mismas longitudes de onda que la radiación que absorben.

Figura 6.13 En el espectro de emisión solar en el rango visible de 380 nm a 710 nm, las líneas de Fraunhofer se observan como líneas negras verticales en posiciones espectrales específicas en el espectro continuo. Los instrumentos modernos de alta sensibilidad observan miles de estas líneas.

Figura 6.14 Observación de los espectros de líneas: (a) montaje para observar las líneas de absorción; (b) montaje para observar las líneas de emisión. (a) La luz blanca pasa a través de un gas frío que está contenido en un matraz de vidrio. Se utiliza un prisma para separar las longitudes de onda de la luz que pasa. En el espectro de la luz que pasa faltan algunas longitudes de onda, que se ven como líneas negras de absorción en el espectro continuo de la pantalla de visualización. (b) Un gas está contenido en un tubo de descarga de vidrio que tiene electrodos en sus extremos. A una diferencia de potencial elevada entre los electrodos, el gas se ilumina y la luz emitida por el gas pasa a través del prisma que separa sus longitudes de onda. En el espectro de la luz emitida, solo están presentes determinadas longitudes de onda, que se ven como líneas de emisión de colores en la pantalla.

Figura 6.15 El espectro de emisión del hidrógeno atómico: Las posiciones espectrales de las líneas de emisión son características de los átomos de hidrógeno (crédito: "Merikanto"/Wikimedia Commons)

Figura 6.16 El espectro de emisión del hierro atómico: Las posiciones espectrales de las líneas de emisión son características de los átomos de hierro.

Los espectros de emisión de los elementos tienen estructuras complejas; se vuelven aún más complejos para los elementos con números atómicos más altos. El espectro más sencillo, mostrado en la Figura 6.15, pertenece al átomo de hidrógeno. Sólo cuatro líneas son visibles para el ojo humano. Según se lee de derecha a izquierda en la Figura 6.15, estas líneas son: roja (656 nm), llamada línea H-$\text{α}$; agua (486 nm), azul (434 nm) y violeta (410 nm). Las líneas con longitudes de onda inferiores a 400 nm aparecen en la parte ultravioleta del espectro (Figura 6.15, extremo izquierdo) y son invisibles para el ojo humano. Hay infinitas líneas espectrales invisibles en la serie del hidrógeno.

Una fórmula empírica para describir las posiciones (longitudes de onda) $\lambda$ de las líneas de emisión del hidrógeno en esta serie fue descubierta en 1885 por Johann Balmer, y se conoce como la fórmula de Balmer:

La constante $R_{\text{H}}=\mathrm{1,09737}\times {10}^7{\text{m}}^{\mathrm{-1}}$ se llama la constante de Rydberg para el hidrógeno. En la Ecuación 6.31, el entero positivo n toma valores $n=3,4,5,6$ para las cuatro líneas visibles de esta serie. La serie de líneas de emisión dada por la fórmula de Balmer se denomina serie de Balmer para el hidrógeno. Otras líneas de emisión del hidrógeno descubiertas en el siglo XX se describen mediante la fórmula de Rydberg, que resume todos los datos experimentales:

Cuando $n_f=1,$ la serie de líneas espectrales se denomina serie de Lyman. Cuando $n_f=2,$ la serie se llama serie de Balmer, y en este caso, la fórmula de Rydberg coincide con la fórmula de Balmer. Cuando $n_f=3,$ la serie se denomina serie de Paschen. Cuando $n_f=4,$ la serie se llama serie de Brackett. Cuando $n_f=5,$ la serie se denomina serie de Pfund. Cuando $n_f=6,$ tenemos la serie de Humphreys. Como puede adivinar, hay infinitas bandas espectrales de este tipo en el espectro del hidrógeno porque $n_f$ puede ser cualquier número entero positivo.

La fórmula de Rydberg para el hidrógeno da las posiciones exactas de las líneas espectrales tal y como se observan en un laboratorio; sin embargo, a principios del siglo XX, nadie podía explicar por qué funcionaba tan bien. La fórmula de Rydberg permaneció sin explicación hasta que se propuso el primer modelo exitoso del átomo de hidrógeno en 1913.

La clave para desvelar el misterio de los espectros atómicos está en comprender la estructura atómica. Los científicos saben desde hace tiempo que la materia está formada por átomos. Según la ciencia del siglo XIX, los átomos son las cantidades más pequeñas e indivisibles de la materia. Esta creencia científica se hizo añicos gracias a una serie de experimentos pioneros que demostraron la existencia de partículas subatómicas, como los electrones, protones y neutrones.

El electrón fue descubierto e identificado como la cantidad más pequeña de carga eléctrica por J.J. Thomson en 1897 gracias a sus experimentos de rayos catódicos, también conocidos como experimentos de rayos β: Un rayo β es un haz de electrones. En 1904, Thomson propuso el primer modelo de la estructura atómica, conocido como el modelo del "pudín de pasas", en el que un átomo consistía en una materia desconocida cargada positivamente con electrones negativos incrustados en ella como las ciruelas en un pudín. Alrededor de 1900, E. Rutherford, e independientemente, Paul Ulrich Villard, clasificaron toda la radiación conocida en ese momento como $\alpha$-α, rayos-β, and rayos--γ (un rayo-γ es un rayo de fotones altamente energéticos). En 1907, Rutherford y Thomas Royds utilizaron métodos de espectroscopia para demostrar que las partículas de carga positiva de $\alpha$α (llamada $\alpha$-α) son de hecho átomos de helio doblemente ionizados. En 1909, Rutherford, Ernest Marsden y Hans Geiger utilizaron $\alpha$-α en su famoso experimento de dispersión que refutó el modelo de Thomson (véase Momento lineal y Colisiones).

En el experimento de la lámina de oro de Rutherford (también conocido como el experimento Geiger-Marsden), $\alpha$-α incidieron en una fina lámina de oro y los átomos de oro del interior de la lámina las dispersaron (véase Tipos de colisiones). Las partículas salientes fueron detectadas por una pantalla de centelleo de $360\text{°}$ que rodea el objetivo de oro (para una descripción detallada del montaje experimental, véase Momento lineal y colisiones). Cuando una partícula dispersa golpea la pantalla, se observa un pequeño destello de luz (centelleo) en ese lugar. Contando los centelleos observados en varios ángulos con respecto a la dirección del haz incidente, los científicos pudieron determinar qué fracción de las partículas incidentes se dispersaron y qué fracción no se desvió en absoluto. Si el modelo del pudín de pasas fuera correcto, no habría $\alpha$-α retrodispersas. Sin embargo, los resultados del experimento de Rutherford mostraron que, aunque una fracción considerable de $\alpha$-α salieron de la lámina sin dispersarse en absoluto como si la lámina no estuviera en su camino, una fracción significativa de $\alpha$-α se retrodispersaron hacia la fuente. Este tipo de resultado solo fue posible cuando la mayor parte de la masa y toda la carga positiva del átomo de oro se concentraron en un espacio diminuto dentro del átomo.

En 1911, Rutherford propuso un modelo atómico nuclear. En el modelo de Rutherford, un átomo contenía un núcleo cargado positivamente de tamaño insignificante, casi como un punto, pero que incluía casi toda la masa del átomo. El átomo también contenía electrones negativos que se encontraban dentro del átomo pero relativamente alejados del núcleo. Diez años más tarde, Rutherford acuñó el nombre de protón para el núcleo del hidrógeno y el nombre de neutrón para una partícula hipotética eléctricamente neutra que mediaría la unión de los protones positivos en el núcleo (el neutrón fue descubierto en 1932 por James Chadwick). A Rutherford se le atribuye el descubrimiento del núcleo atómico; sin embargo, el modelo de Rutherford de la estructura atómica no explica la fórmula de Rydberg para las líneas de emisión del hidrógeno.

Elmodelo de Bohr del átomo de hidrógeno, propuesto por Niels Bohr en 1913, fue el primer modelo cuántico que explicaba correctamente el espectro de emisión del hidrógeno. El modelo de Bohr combina la mecánica clásica del movimiento planetario con el concepto cuántico de los fotones. Una vez que Rutherford estableció la existencia del núcleo atómico, la intuición de Bohr de que el electrón negativo del átomo de hidrógeno debe girar alrededor del núcleo positivo se convirtió en una consecuencia lógica de la ley de la distancia inversa al cuadrado de la atracción electrostática. Recordemos que la ley de Coulomb que describe la atracción entre dos cargas opuestas tiene una forma similar a la ley universal de gravitación de Newton en el sentido de que la fuerza gravitacional y la fuerza electrostática son decrecientes como $1\text{/}{r}^2,$ donde r es la distancia de separación entre los cuerpos. De la misma manera que la Tierra gira alrededor del sol, el electrón negativo del átomo de hidrógeno puede girar alrededor del núcleo positivo. Sin embargo, una carga que se acelera irradia su energía. Clásicamente, si el electrón se moviera alrededor del núcleo de forma planetaria, estaría sufriendo una aceleración centrípeta y, por tanto, estaría irradiando energía que le haría descender en espiral hacia el núcleo. Tal átomo de hidrógeno planetario no sería estable, lo que es contrario a lo que sabemos sobre los átomos de hidrógeno ordinarios que no se desintegran. Además, el movimiento clásico del electrón no es capaz de explicar el discreto espectro de emisión del hidrógeno.

Para sortear estas dos dificultades, Bohr propuso los siguientes tres postulados del modelo de Bohr:

1. El electrón negativo se mueve alrededor del núcleo positivo (protón) en una órbita circular. Todas las órbitas de los electrones están centradas en el núcleo. No todas las órbitas clásicamente posibles están disponibles para un electrón unido al núcleo.
2. Las órbitas de electrones permitidas satisfacen la primera condición de cuantización: En la enésimaórbita, el momento angular $L_n$ del electrón solo puede tomar valores discretos:
   
   $$L_n=n\hslash ,\text{donde}n=1,2,3,...$$

   6.33
   
   Este postulado dice que el momento angular del electrón está cuantizado. Denotado por $r_n$ y $v_n,$ respectivamente, el radio de la enésimaórbita y la rapidez del electrón en ella, la primera condición de cuantización, puede expresarse explícitamente como
   
   $$m_e{v}_n{r}_n=n\hslash .$$

   6.34
3. Un electrón puede hacer transiciones desde una órbita donde su energía es $E_n$ a otra órbita donde su energía es $E_m.$ Cuando un átomo absorbe un fotón, el electrón hace una transición a una órbita de mayor energía. Cuando un átomo emite un fotón, el electrón pasa a una órbita de menor energía. Las transiciones de electrones con la absorción o emisión simultánea de fotones tienen lugar de forma instantánea. Las transiciones de electrones permitidas satisfacen la segunda condición de cuantización:
   
   $$hf=|E_n-E_m|$$

   6.35
   
   donde $hf$ es la energía de un fotón emitido o absorbido con frecuencia f. La segunda condición de cuantización establece que el cambio de energía de un electrón en el átomo de hidrógeno está cuantizado.

Estos tres postulados de la primera teoría cuántica del átomo de hidrógeno nos permiten deducir no solo la fórmula de Rydberg, sino también el valor de la constante de Rydberg y otras propiedades importantes del átomo de hidrógeno, como sus niveles de energía, su energía de ionización y los tamaños de los orbitales de los electrones. Nótese que en el modelo de Bohr, junto con dos postulados de cuantización no clásicos, tenemos también la descripción clásica del electrón como una partícula que está sometida a la fuerza de Coulomb, y su movimiento debe obedecer las leyes de movimiento de Newton. El átomo de hidrógeno, como sistema aislado, debe obedecer las leyes de conservación de la energía y el momento de la forma que conocemos de la física clásica. Teniendo en cuenta este marco teórico, estamos preparados para proceder a nuestro análisis.

Energías de los electrones

La energía total $E_n$ de un electrón en la enésimaórbita es la suma de su energía cinética $K_n$ y su energía potencial electrostática $U_n.$ Utilizando Ecuación 6.37, encontramos que

$$K_n=\frac{1}{2}{m}_e{v}_n^2=\frac{1}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2}\frac{m_e{e}^4}{{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}.$$

6.41

Recordemos que la energía potencial electrostática de interacción entre dos cargas $q_1$ y $q_2$ que están separadas por una distancia $r_{12}$ es $(1\text{/}4\pi {\epsilon }_0)q_1{q}_2\text{/}{r}_{12}.$ Aquí, $q_1=+e$ es la carga del núcleo del átomo de hidrógeno (la carga del protón), $q_2=\text{−}e$ es la carga del electrón y $r_{12}=r_n$ es el radio de la enésimaórbita. Ahora utilizamos la Ecuación 6.38 para encontrar la energía potencial del electrón:

$$U_n=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_n}=-\frac{1}{16{\pi }^2{\epsilon }_0^2}\frac{m_e{e}^4}{{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}.$$

6.42

La energía total del electrón es la suma de la Ecuación 6.41 y Ecuación 6.42:

$$E_n=K_n+U_n=-\frac{1}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2}\frac{m_e{e}^4}{{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}.$$

6.43

Observe que la energía solo depende del índice n porque el resto de los símbolos en la Ecuación 6.43 son constantes físicas. El valor del factor constante en la Ecuación 6.43 es

$$E_0=\frac{1}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2}\frac{m_e{e}^4}{{\hslash }^2}=\frac{1}{8{\epsilon }_0^2}\frac{m_e{e}^4}{h^2}=\mathrm{2,17}\times {10}^{\mathrm{-18}}\text{J}=\mathrm{13,6}\text{eV}.$$

6.44

Es conveniente expresar la energía del electrón en la enésimaórbita en términos de esta energía, como

$$E_n=\text{−}{E}_0\frac{1}{n^2}.$$

6.45

Ahora podemos ver que las energías de los electrones en el átomo de hidrógeno están cuantizadas porque solo pueden tener valores discretos de $\text{−}{E}_0,\text{−}{E}_0\text{/}4,\text{−}{E}_0\text{/}9,\text{−}{E}_0\text{/}16,...$ dado por la Ecuación 6.45, y no se permiten otros valores de energía. Este conjunto de energías de electrones permitidas se denomina espectro energético del hidrógeno (Figura 6.17). El índice n que enumera los niveles de energía en el modelo de Bohr se llama número cuántico de energía. Identificamos la energía del electrón dentro del átomo de hidrógeno con la energía del átomo de hidrógeno. Note que el menor valor de energía se obtiene para $n=1,$ por lo que el átomo de hidrógeno no puede tener una energía menor que esa. Este valor mínimo de la energía de los electrones en el átomo de hidrógeno se denomina energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno y su valor es

$$E_1=\text{−}{E}_0=\mathrm{-13,6}\text{eV}.$$

6.46

El átomo de hidrógeno puede tener otras energías superiores a la del estado fundamental Estos estados de mayor energía se conocen como estados de energía excitada de un átomo de hidrógeno.

Sólo hay un estado fundamental, pero hay infinitos estados excitados porque hay infinitos valores de n en la Ecuación 6.45. Decimos que el electrón está en el "primer estado excitado" cuando su energía es $E_2$ (cuando $n=2$), el segundo estado excitado cuando su energía es $E_3$ (cuando $n=3$) y, en general, en el enésimoestado de salida cuando su energía es $E_{n+1}.$ No existe el estado excitado más alto de todos; sin embargo, hay un límite en la secuencia de estados excitados. Si seguimos aumentando n en la Ecuación 6.45, encontramos que el límite es $\text{−}\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{E}_0\text{/}{n}^2=0.$ En este límite, el electrón deja de estar ligado al núcleo y se convierte en un electrón libre. Un electrón permanece unido al átomo de hidrógeno mientras su energía sea negativa. Un electrón que orbita alrededor del núcleo en la primera órbita de Bohr, la más cercana al núcleo, se encuentra en el estado fundamental, donde su energía tiene el valor más pequeño. En el estado fundamental, el electrón está fuertemente unido al núcleo y su energía viene dada por la Ecuación 6.46. Si queremos sacar este electrón del átomo, debemos suministrarle suficiente energía, $E_{\infty },$ para, al menos, equilibrar su energía del estado fundamental $E_1:$

$$E_{\infty }+E_1=0\Rightarrow E_{\infty }=\text{−}{E}_1=\text{−}(\text{−}{E}_0)=E_0=\mathrm{13,6}\text{eV}.$$

6.47

La energía necesaria para extraer el electrón del átomo se denomina energía de ionización. La energía de ionización $E_{\infty }$ que se necesita para sacar el electrón de la primera órbita de Bohr se denomina límite de ionización del hidrógeno. El límite de ionización en la Ecuación 6.47 que obtenemos en el modelo de Bohr coincide con el valor experimental.

Figura 6.17 El espectro energético del átomo de hidrógeno. Los niveles de energía (líneas horizontales) representan los estados ligados de un electrón en el átomo. Sólo hay un estado fundamental, $n=1,$ y los infinitos estados excitados cuantizados. Los estados se enumeran por el número cuántico $n=1,2,3,4,....$ Las líneas verticales ilustran las transiciones de electrones permitidas entre los estados. Las flechas hacia abajo ilustran las transiciones con una emisión de un fotón con una longitud de onda en la banda espectral indicada.