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Física Universitaria Volumen 3

6.5 Las ondas de materia de De Broglie

Física Universitaria Volumen 36.5 Las ondas de materia de De Broglie
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir la hipótesis de De Broglie sobre las ondas de materia.
  • Explicar cómo la hipótesis de De Broglie justifica la cuantización del momento angular en la teoría cuántica del átomo de hidrógeno de Bohr.
  • Describir el experimento de Davisson-Germer.
  • Interpretar la idea de De Broglie sobre las ondas de materia y cómo explica los fenómenos de difracción de los electrones.

La fórmula de Compton estableció que una onda electromagnética puede comportarse como una partícula de luz al interactuar con la materia. En 1924, Louis de Broglie propuso una nueva hipótesis especulativa según la cual los electrones y otras partículas de materia pueden comportarse como ondas. Hoy en día, esta idea se conoce como la hipótesis de De Broglie sobre las ondas de materia. En 1926, la hipótesis de De Broglie, junto con la primera teoría cuántica de Bohr, condujo al desarrollo de una nueva teoría de la mecánica cuántica de ondas para describir la física de los átomos y las partículas subatómicas. La mecánica cuántica ha abierto el camino a nuevos inventos y tecnologías de ingeniería, como el láser y las imágenes de resonancia magnética (Magnetic Resonance Imaging, MRI). Estas nuevas tecnologías impulsan los descubrimientos en otras ciencias como la biología y la química.

Según la hipótesis de De Broglie, tanto los fotones sin masa como las partículas masivas deben satisfacer un conjunto común de relaciones que conectan la energía E con la frecuencia f, y el momento lineal p con la longitud de onda λ.λ. Hemos discutido estas relaciones de los fotones en el contexto del efecto Compton. Los recordamos ahora en un contexto más general. Cualquier partícula que tenga energía y momento es una onda de De Broglie de frecuencia f y longitud de onda λ:λ:

E=hfE=hf
6.53
λ=hp.λ=hp.
6.54

Aquí, E y p son, respectivamente, la energía relativista y el momento de una partícula. Las relaciones de De Broglie suelen expresarse en términos del vector de onda k,k, k=2π/λ,k=2π/λ, y la frecuencia de las ondas ω=2πf,ω=2πf, como solemos hacer para las ondas:

E=ωE=ω
6.55
p=k.p=k.
6.56

La teoría de las ondas nos dice que una onda transporta su energía con la velocidad de grupo. Para las ondas de materia, esta velocidad de grupo es la velocidad u de la partícula. La identificación la energía E y el momento p de una partícula con su energía relativista mc2mc2 y su momento relativista mu, respectivamente, se deduce de las relaciones de De Broglie que las ondas de materia satisfacen la siguiente relación:

λf=ωk=E/p/=Ep=mc2mu=c2u=cβλf=ωk=E/p/=Ep=mc2mu=c2u=cβ
6.57

donde β=u/c.β=u/c. Cuando una partícula no tiene masa tenemos u=cu=c y la Ecuación 6.57 se convierte en λf=c.λf=c.

Ejemplo 6.11

¿Cuánto duran las ondas de materia de De Broglie?

Calcule la longitud de onda de De Broglie de: (a) un balón de baloncesto de 0,65 kg lanzado a una velocidad de 10 m/s, (b) un electrón no relativista con una energía cinética de 1,0 eV, y (c) un electrón relativista con una energía cinética de 108keV.108keV.

Estrategia

Utilizamos la Ecuación 6.57 para encontrar la longitud de onda de De Broglie. Cuando el problema implica un objeto no relativista que se mueve con una velocidad no relativista u, como en (a) cuando β=u/c1,β=u/c1, utilizamos el momento no relativista p. Cuando no se puede utilizar la aproximación no relativista, como en (c), debemos utilizar el momento relativista p=mu=m0γu=E0γβ/c,p=mu=m0γu=E0γβ/c, donde la energía de la masa en reposo de una partícula es E0=mc2E0=mc2 y γγ es el factor de Lorentz γ=1/1β2.γ=1/1β2. La energía total E de una partícula viene dada por la Ecuación 6.53 y la energía cinética es K=EE0=(γ1)E0.K=EE0=(γ1)E0. Cuando se conoce la energía cinética, podemos invertir la Ecuación 6.18 para encontrar el momento p=(E2E02)/c2=K(K+2E0)/cp=(E2E02)/c2=K(K+2E0)/c y sustituir en la Ecuación 6.57 para obtener
λ=hp=hcK(K+2E0).λ=hp=hcK(K+2E0).
6.58

Dependiendo del problema en cuestión, en esta ecuación podemos utilizar los siguientes valores para hc: hc=(6,626×10−34J·s)(2,998×108m/s)=1,986×10−25J·m=1,241eV·μmhc=(6,626×10−34J·s)(2,998×108m/s)=1,986×10−25J·m=1,241eV·μm

Solución

  1. En el balón de baloncesto, la energía cinética es
    K=mu2/2=(0,65kg)(10m/s)2/2=32,5JK=mu2/2=(0,65kg)(10m/s)2/2=32,5J
    y la energía de la masa en reposo es
    E0=mc2=(0,65kg)(2,998×108m/s)2=5,84×1016J.E0=mc2=(0,65kg)(2,998×108m/s)2=5,84×1016J.
    Vemos que K/(K+E0)1K/(K+E0)1 y usamos p=mu=(0,65kg)(10m/s)=6,5J·s/m:p=mu=(0,65kg)(10m/s)=6,5J·s/m:
    λ=hp=6,626×10−34J·s6,5J·s/m=1,02×10−34m.λ=hp=6,626×10−34J·s6,5J·s/m=1,02×10−34m.
  2. Para el electrón no relativista,
    E0=mc2=(9,109×10−31kg)(2,998×108m/s)2=511keVE0=mc2=(9,109×10−31kg)(2,998×108m/s)2=511keV
    y cuando K=1,0eV,K=1,0eV, tenemos K/(K+E0)=(1/512)×10−31,K/(K+E0)=(1/512)×10−31, por lo que podemos utilizar la fórmula no relativista. Sin embargo, en este caso es más sencillo utilizar la Ecuación 6.58:
    λ=hp=hcK(K+2E0)=1,241eV·μm(1,0eV)[1,0eV+2(511keV)]=1,23nm.λ=hp=hcK(K+2E0)=1,241eV·μm(1,0eV)[1,0eV+2(511keV)]=1,23nm.
    Si utilizamos el momento no relativista, obtenemos el mismo resultado porque 1 eV es mucho menor que la masa en reposo del electrón.
  3. Para un electrón rápido con K=108keV,K=108keV, los efectos relativistas no pueden ser ignorados porque su energía total es E=K+E0=108keV+511keV=619keVE=K+E0=108keV+511keV=619keV y K/E=108/619K/E=108/619 no es insignificante:
    λ=hp=hcK(K+2E0)=1,241eV·μm108keV[108keV+2(511keV)]=3,55pm.λ=hp=hcK(K+2E0)=1,241eV·μm108keV[108keV+2(511keV)]=3,55pm.

Importancia

De estas estimaciones se desprende que las longitudes de onda de De Broglie de objetos macroscópicos como una pelota son inconmensurablemente pequeñas. Por tanto, aunque existan, no son detectables y no afectan al movimiento de los objetos macroscópicos.

Compruebe Lo Aprendido 6.11

¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un protón no relativista con una energía cinética de 1,0 eV?

Utilizando el concepto de onda de materia del electrón, De Broglie proporcionó una justificación para la cuantización del momento angular del electrón en el átomo de hidrógeno, que se postuló en la teoría cuántica de Bohr. La explicación física de la primera condición de cuantización de Bohr surge de forma natural cuando asumimos que un electrón en un átomo de hidrógeno no se comporta como una partícula sino como una onda. Para verlo con claridad, imagine una cuerda de guitarra estirada que se sujeta por ambos extremos y vibra de modo normal. Si la longitud de la cuerda es l (Figura 6.18), las longitudes de onda de estas vibraciones no pueden ser arbitrarias sino que deben ser tales que un número entero k de semilongitudes de onda λ/2λ/2 que encajan exactamente en la distancia l entre los extremos. Esta es la condición l=kλ/2l=kλ/2 para una onda estacionaria en una cuerda. Supongamos ahora que en lugar de tener la cuerda sujeta a las paredes, doblamos su longitud en un círculo y sujetamos sus extremos entre sí. Esto produce una cuerda circular que vibra de modo normal, satisfaciendo la misma condición de onda estacionaria, pero el número de medias longitudes de onda debe ser ahora un número par k,k=2n,k,k=2n, y la longitud l está ahora relacionada con el radio rnrn del círculo. Esto significa que los radios no son arbitrarios, sino que deben satisfacer la siguiente condición de onda estacionaria:

2πrn=2nλ2.2πrn=2nλ2.
6.59

Si un electrón en la enésima órbita de Bohr se mueve como una onda, según la Ecuación 6.59 su longitud de onda debe ser igual a λ=2πrn/n.λ=2πrn/n. Suponiendo que la Ecuación 6.58 es válida, la onda del electrón de esta longitud de onda corresponde al momento lineal del electrón, p=h/λ=nh/(2πrn)=n/rn.p=h/λ=nh/(2πrn)=n/rn. Por lo tanto, en una órbita circular, el momento angular del electrón debe ser

Ln=rnp=rnnrn=n.Ln=rnp=rnnrn=n.
6.60

Esta ecuación es la primera de las condiciones de cuantización de Bohr, dada por la Ecuación 6.36. Proporcionar una explicación física para la condición de cuantización de Bohr es un argumento teórico convincente para la existencia de las ondas de materia.

La figura A es el patrón de ondas estacionarias para una cuerda sujeta en la pared. La distancia entre cada nodo corresponde a la media gamma. La figura B es el patrón de onda estacionaria para una onda de electrón atrapada en la tercera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno. La onda tiene una forma circular con seis nodos. La distancia entre cada dos nodos corresponde a la gamma.
Figura 6.18 Patrón de onda estacionaria: (a) una cuerda estirada sujeta a las paredes; (b) una onda de electrón atrapada en la tercera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno.

Ejemplo 6.12

La onda de los electrones en el estado fundamental del hidrógeno.

Encuentre la longitud de onda de De Broglie de un electrón en el estado fundamental del hidrógeno.

Estrategia

Combinamos la primera condición de cuantización en la Ecuación 6.60 con la Ecuación 6.36 y utilizamos la Ecuación 6.38 para el primer radio de Bohr con n=1.n=1.

Solución

Cuando n=1n=1 y rn=a0=0,529Å,rn=a0=0,529Å, la condición de cuantización de Bohr da a0p=1·p=/a0.a0p=1·p=/a0. La longitud de onda del electrón es:
λ=h/p=h//a0=2πa0=2π(0,529Å)=3,324Å.λ=h/p=h//a0=2πa0=2π(0,529Å)=3,324Å.

Importancia

Obtenemos el mismo resultado si utilizamos directamente la Ecuación 6.58.

Compruebe Lo Aprendido 6.12

Encuentre la longitud de onda de De Broglie de un electrón en el tercer estado excitado del hidrógeno.

La confirmación experimental de las ondas de materia surgió en 1927, cuando C. Davisson y L. Germer realizaron una serie de experimentos de dispersión de electrones que demostraron claramente que los electrones se comportan como ondas. Davisson y Germer no establecieron su experimento para confirmar la hipótesis de De Broglie: La confirmación llegó como un subproducto de sus estudios experimentales rutinarios de superficies metálicas bajo bombardeo de electrones.

En el experimento particular que proporcionó la primera evidencia de las ondas de electrones (conocido hoy como el experimento Davisson-Germer), estudiaron una superficie de níquel. Su muestra de níquel se preparó especialmente en un horno de alta temperatura para cambiar su estructura policristalina habitual a una forma en la que grandes dominios monocristalinos ocupan el volumen. La Figura 6.19 muestra el montaje experimental. Los electrones térmicos se liberan de un elemento calentado (normalmente de tungsteno) en el cañón de electrones y se aceleran a través de una diferencia de potencial ΔV,ΔV, convirtiéndose en un haz de electrones bien colimado producido por un cañón de electrones. La energía cinética K de los electrones se ajusta seleccionando un valor de la diferencia de potencial en el cañón de electrones. Esto produce un haz de electrones con un valor determinado de momento lineal, de acuerdo con la conservación de la energía:

eΔV=K=p22mp=2meΔV.eΔV=K=p22mp=2meΔV.
6.61

El haz de electrones incide sobre la muestra de níquel en la dirección normal a su superficie. En la superficie, se dispersa en varias direcciones. La intensidad del haz dispersado en una dirección seleccionada φφ se mide con un detector de alta sensibilidad. La posición angular del detector con respecto a la dirección del haz incidente puede variar de φ=0°φ=0° a φ=90°.φ=90°. Todo el montaje está encerrado en una cámara de vacío para evitar las colisiones de los electrones con las moléculas de aire, ya que estas colisiones térmicas modificarían la energía cinética de los electrones y no son deseables.

La figura muestra el esquema del montaje experimental del experimento de difracción de Davisson-Germer. El cañón de electrones emite un haz de electrones, que pasa a través del colimador y da en el blanco del níquel. El rayo difractado forma un ángulo phi con el rayo incidente y es detectado por un detector móvil. Todo esto ocurre al vacío.
Figura 6.19 Esquema del montaje experimental del experimento de difracción de Davisson-Germer. Un haz de electrones bien colimado se dispersa en el objetivo de níquel. La energía cinética de los electrones en el haz incidente se selecciona ajustando un potencial variable Δ V , Δ V , en el cañón de electrones. La intensidad del haz de electrones dispersos se mide para un rango de ángulos de dispersión φ , φ , mientras que la distancia entre el detector y el objetivo no cambia.

Cuando el objetivo de níquel tiene una forma policristalina con muchos cristales microscópicos orientados al azar, los electrones incidentes se dispersan en su superficie en direcciones aleatorias. Como resultado, la intensidad del haz de electrones dispersos es muy parecida en cualquier dirección, asemejándose a una reflexión difusa de la luz desde una superficie porosa. Sin embargo, cuando el blanco de níquel tiene una estructura cristalina regular, la intensidad del haz de electrones dispersos muestra un claro máximo en un ángulo específico y los resultados muestran un claro patrón de difracción (ver la Figura 6.20). Los físicos William H. Bragg y William L. Bragg, padre e hijo, estudiaron en 1912 patrones de difracción similares formados por rayos X dispersados por varios sólidos cristalinos. La ley de Bragg en cristalografía de rayos X proporciona una conexión entre la longitud de onda λλ de la radiación que incide en una red cristalina, la separación de la red y la posición del máximo de interferencia en la radiación difractada (vea Difracción).

El espacio de red del objetivo de Davisson-Germer, determinado con cristalografía de rayos X, se midió como a=2,15Å.a=2,15Å. A diferencia de la cristalografía de rayos X en la que los rayos X penetran en la muestra, en el experimento original de Davisson-Germer, solo los átomos de la superficie interactúan con el haz de electrones incidente. Para la difracción superficial, la intensidad máxima del haz de electrones reflejado se observa en los ángulos de dispersión que satisfacen la condición nλ=asenφnλ=asenφ (vea la Figura 6.21). El máximo de primer orden (para n=1n=1) se mide con un ángulo de dispersión de φ50°φ50° en ΔV54V,ΔV54V, que da la longitud de onda de la radiación incidente como λ=(2,15Å)sen50°=1,64Å.λ=(2,15Å)sen50°=1,64Å. Por otro lado, un potencial de 54 V acelera los electrones incidentes a energías cinéticas de K=54eV.K=54eV. Su momento, calculado a partir de la Ecuación 6.61, es p=2,478×10−5eV·s/m.p=2,478×10−5eV·s/m. Cuando sustituimos este resultado en la Ecuación 6.58, la longitud de onda de De Broglie se obtiene como

λ=hp=4,136×10−15eV·s2,478×10−5eV·s/m=1,67Å.λ=hp=4,136×10−15eV·s2,478×10−5eV·s/m=1,67Å.
6.62

El mismo resultado se obtiene cuando utilizamos K=54eVK=54eV en la Ecuación 6.61. La proximidad de este resultado teórico al valor experimental de Davisson-Germer de λ=1,64Åλ=1,64Å es un argumento convincente para la existencia de las ondas de materia de De Broglie.

El gráfico muestra la dependencia de la intensidad del haz de dispersión con el ángulo de dispersión en grados. La intensidad se gradúa de 10 a 30 grados, seguida de un fuerte aumento y un máximo a 50 grados, y luego llega a cero a 80 grados.
Figura 6.20 Los resultados experimentales de la difracción de electrones en un objetivo de níquel para el potencial de aceleración en el cañón de electrones de aproximadamente Δ V = 54 V : Δ V = 54 V : El máximo de intensidad se registra en el ángulo de dispersión de aproximadamente φ = 50 ° . φ = 50 ° .
La figura muestra la difracción superficial de una onda electromagnética monocromática en una estructura de red cristalina. Los haces incidentes en fase se reflejan en los átomos de la superficie. Phi es el ángulo entre el rayo incidente y el reflejado, la distancia en el plano entre los átomos es a.
Figura 6.21 En la difracción superficial de una onda electromagnética monocromática en una estructura de red cristalina, los haces incidentes en fase se reflejan en los átomos de la superficie. Un rayo reflejado en el átomo de la izquierda recorre una distancia adicional D = a sen φ D = a sen φ hasta el detector, donde a es la separación de la red. Los haces reflejados permanecen en fase cuando D es un múltiplo entero de su longitud de onda λ . λ . La intensidad de las ondas reflejadas tiene máximos pronunciados para los ángulos φ φ lo que cumple con n λ = a sen φ . n λ = a sen φ .

Las líneas de difracción medidas con electrones de baja energía, como las utilizadas en el experimento de Davisson-Germer, son bastante amplias (vea la Figura 6.20) porque los electrones incidentes se dispersan solo desde la superficie. La resolución de las imágenes de difracción mejora enormemente cuando un haz de electrones de mayor energía atraviesa una fina lámina metálica. Esto ocurre porque la imagen de difracción se crea por la dispersión de muchos planos cristalinos dentro del volumen, y los máximos producidos en la dispersión en los ángulos de Bragg son agudos (vea la Figura 6.22).

La imagen A es una fotografía del patrón de difracción obtenido en la dispersión sobre un sólido cristalino con rayos X. La imagen B es una fotografía del patrón de difracción obtenido en la dispersión sobre un sólido cristalino con electrones. Ambas imágenes muestran manchas difractadas dispuestas simétricamente alrededor del haz central.
Figura 6.22 Patrones de difracción obtenidos en la dispersión sobre un sólido cristalino: (a) con rayos X, y (b) con electrones. El patrón observado refleja la simetría de la estructura cristalina de la muestra.

Desde los trabajos de Davisson y Germer, la hipótesis de De Broglie ha sido ampliamente comprobada con diversas técnicas experimentales, y se ha confirmado la existencia de las ondas de De Broglie para numerosas partículas elementales. Los neutrones se han utilizado en experimentos de dispersión para determinar las estructuras cristalinas de los sólidos a partir de los patrones de interferencia formados por las ondas de materia de los neutrones. El neutrón tiene carga cero y su masa es comparable a la de un protón con carga positiva. Tanto los neutrones como los protones pueden verse como ondas de materia. Por lo tanto, la propiedad de ser una onda de materia no es específica de las partículas cargadas eléctricamente, sino que es válida para todas las partículas en movimiento. Ondas de materia de moléculas tan grandes como el carbono C60C60 se han medido. Todos los objetos físicos, pequeños o grandes, tienen una onda de materia asociada mientras permanecen en movimiento. El carácter universal de las ondas de materia de De Broglie está firmemente establecido.

Ejemplo 6.13

Dispersión de neutrones

Supongamos que se utiliza un haz de neutrones en un experimento de difracción sobre un sólido cristalino típico. Estimar la energía cinética de un neutrón (en eV) en el haz de neutrones y compararla con la energía cinética de un gas ideal en equilibrio a temperatura ambiente.

Estrategia

Supongamos que un espacio cristalino típico a es del orden de 1,0 Å. Para observar un patrón de difracción en una red de este tipo, la longitud de onda de los neutrones λλ debe estar en el mismo orden de magnitud que el espacio de la red. Utilizamos la Ecuación 6.61 para encontrar el momento p y la energía cinética K. Para comparar esta energía con la energía ETET de gas ideal en equilibrio a temperatura ambiente T=300K,T=300K, utilizamos la relación K=32kBT,K=32kBT, donde kB=8,62×10−5eV/KkB=8,62×10−5eV/K es la constante de Boltzmann.

Solución

Evaluamos pc para compararla con la energía de la masa en reposo del neutrón E0=940MeV:E0=940MeV:
p=hλpc=hcλ=1,241×10−6eV·m10−10m=12,41keV.p=hλpc=hcλ=1,241×10−6eV·m10−10m=12,41keV.

Vemos que p2c2E02p2c2E02 así que KE0KE0 y podemos utilizar la energía cinética no relativista:

K=p22mn=h22λ2mn=(6,63×10−34J·s)2(2×10−20m2)(1,66×10−27kg)=1,32×10−20J=82,7meV.K=p22mn=h22λ2mn=(6,63×10−34J·s)2(2×10−20m2)(1,66×10−27kg)=1,32×10−20J=82,7meV.

La energía cinética de un gas ideal en equilibrio a 300 K es:

KT=32kBT=32(8,62×10−5eV/K)(300K)=38,8MeV.KT=32kBT=32(8,62×10−5eV/K)(300K)=38,8MeV.

Vemos que estas energías son del mismo orden de magnitud.

Importancia

Los neutrones con energías en este rango, que es el típico para un gas ideal a temperatura ambiente, se llaman "neutrones térmicos”.

Ejemplo 6.14

Longitud de onda de un protón relativista

En el supercolisionador de la Organización Europea para la Investigación Nuclear (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, CERN), los protones pueden acelerarse a velocidades de 0,75c. ¿Cuáles son sus longitudes de onda de De Broglie a esta velocidad? ¿Cuáles son sus energías cinéticas?

Estrategia

La energía de la masa en reposo de un protón es E0=m0c2=(1,672×10−27kg)(2,998×108m/s)2=938MeV.E0=m0c2=(1,672×10−27kg)(2,998×108m/s)2=938MeV. Cuando se conoce la velocidad del protón, tenemos β=0,75β=0,75 y βγ=0,75/10,752=1,714.βγ=0,75/10,752=1,714. Obtenemos la longitud de onda λλ y la energía cinética K de las relaciones relativistas.

Solución

λ=hp=hcpc=hcβγE0=1,241eV·μm1,714(938MeV)=0,77fmλ=hp=hcpc=hcβγE0=1,241eV·μm1,714(938MeV)=0,77fm
K=E0(γ1)=938MeV(1/10,7521)=480,1MeVK=E0(γ1)=938MeV(1/10,7521)=480,1MeV

Importancia

Observe que dado que un protón es 1835 veces más masivo que un electrón, si este experimento se realizara con electrones, un simple reajuste de estos resultados nos daría la longitud de onda del electrón de (1.835)0,77fm=1,4pm(1.835)0,77fm=1,4pm y su energía cinética de 480,1MeV/1.835=261,6keV.480,1MeV/1.835=261,6keV.

Compruebe Lo Aprendido 6.13

Encuentre la longitud de onda de De Broglie y la energía cinética de un electrón libre que viaja a una velocidad de 0,75c.

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