Capítulo 5

La relatividad especial solo se aplica a los objetos que se mueven a velocidad constante, mientras que la relatividad general se aplica a los objetos que experimentan una aceleración.

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{(\mathrm{0,650}c)}^2}{c^2}}}=\mathrm{1,32}$

a. $\text{Δ}t=\frac{\text{Δ}\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\mathrm{2,10}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{s}}{\sqrt{1-\frac{{(\mathrm{1,90}\times {10}^8\text{m/s)}}^2}{{(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s)}}^2}}}=\mathrm{2,71}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{s}.$

b. Solo importa la velocidad relativa de las dos naves espaciales, porque no hay movimiento absoluto en el espacio. La señal se emite desde un lugar fijo en el marco de referencia de A, por lo que el tiempo propio de su emisión es $\tau =\mathrm{1,00}\text{s}.$ La duración de la señal medida desde el marco de referencia B es entonces
$\text{Δ}t=\frac{\text{Δ}\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\mathrm{1,00}\text{s}}{\sqrt{1-\frac{{(\mathrm{4,00}\times {10}^7\text{m/s)}}^2}{{(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s)}}^2}}}=\mathrm{1,01}\text{s.}$

$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=(\mathrm{2,50}\text{km})\sqrt{1-\frac{{(\mathrm{0,750}c)}^2}{c^2}}=\mathrm{1,65}\text{km}$

Empiece por definir el incremento de tiempo propio:
$d\tau =\sqrt{-{\left(ds\right)}^2\text{/}{c}^2}=\sqrt{d{t}^2-\left(d{x}^2+d{x}^2+d{x}^2\right)\text{/}{c}^2}.$
donde (dx, dy, dx, cdt) se miden en el marco inercial de un observador que no necesariamente ve esa partícula en reposo. Por lo tanto, esto se convierte en
$\begin{array}{ccc}\hfill d\tau & =\hfill & \sqrt{-{\left(ds\right)}^2\text{/}{c}^2}=\sqrt{d{t}^2-\left[{\left(dx\right)}^2+{\left(dy\right)}^2+{\left(dz\right)}^2\right]\text{/}{c}^2}\hfill \\ & =\hfill & dt\sqrt{1-\left[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\right]\text{/}{c}^2}\hfill \\ & =\hfill & dt\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}\hfill \\ dt& =\hfill & \gamma d\tau .\hfill \end{array}$

Aunque los desplazamientos perpendiculares al movimiento relativo son los mismos en ambos marcos de referencia, el intervalo de tiempo entre eventos difiere, y las diferencias en dt y $dt\prime$ conducen a diferentes velocidades vistas desde los dos marcos.

Podemos sustituir los datos directamente en la ecuación de la frecuencia Doppler relativista:
$f_{\text{obs}}=f_s\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}=(\mathrm{1,50}\text{GHz)}\sqrt{\frac{1-\frac{\mathrm{0,350}c}{c}}{1+\frac{\mathrm{0,350}c}{c}}}=\mathrm{1,04}\text{GHz.}$

Sustituya los datos en la ecuación dada:
$p=\gamma mu=\frac{mu}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{(\mathrm{9,11}\times {10}^{\mathrm{-31}}\text{kg})(\mathrm{0,985})(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s})}{\sqrt{1-\frac{{(\mathrm{0,985}c)}^2}{c^2}}}=\mathrm{1,56}\times {10}^{\mathrm{-21}}\text{kg-m/s.}$

$\begin{array}{cc}\hfill K_{\text{rel}}& =\left(\gamma -1\right)m{c}^2=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}-1\right)m{c}^2\hfill \\ & =\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{(\mathrm{0,992}c)}^2}{c^2}}}-1\right)(\mathrm{9,11}\times {10}^{-31}\text{kg}){(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s})}^2=\mathrm{5,67}\times {10}^{-13}\text{J}\hfill \end{array}$

El segundo postulado, relativo a la velocidad de la luz; la física clásica ya incluía la idea de que las leyes de la mecánica, al menos, eran las mismas en todos los marcos inerciales, pero la velocidad de un pulso de luz era diferente en los distintos marcos que se movían entre sí

Sí, siempre que el avión vuele a velocidad constante respecto a la Tierra; en ese caso, un objeto sin fuerza que actúe sobre él dentro del avión no tiene ningún cambio de velocidad respecto al avión y ningún cambio de velocidad respecto a la Tierra; tanto el avión como el suelo son marcos inerciales para describir el movimiento del objeto.

El observador que se mueve con el proceso ve su tiempo propio, que es el más corto visto por cualquier observador.

La longitud de un objeto es mayor para un observador que se mueve con el objeto y, por tanto, mide su longitud propia.

a. No, no dentro del propio marco de referencia del astronauta. b. Ve que los relojes de la Tierra están en su marco de reposo moviéndose al ritmo de él y, por lo tanto, los ve ralentizados. c. No, no dentro del propio marco de referencia del astronauta. d. Sí, mide que la distancia entre las dos estrellas es más corta. e. Los dos observadores coinciden en su velocidad relativa.

En este caso no se mide ningún cambio en la longitud de onda o en la frecuencia. El efecto Doppler relativista solo depende de la velocidad relativa de la fuente y del observador, no de cualquier velocidad relativa a un medio para las ondas luminosas.

Demuestra que las estrellas están cada vez más alejadas de la Tierra, que el universo se expande, y lo hace a un ritmo acelerado, con mayor velocidad para las estrellas más lejanas].

Sí. Esto puede ocurrir si la fuerza externa se equilibra con otras fuerzas aplicadas externamente, de modo que la fuerza externa neta sea cero.

Como pierde energía térmica, que es la energía cinética del movimiento aleatorio de sus partículas constituyentes, su masa disminuye en una cantidad extremadamente pequeña, como se describe en la equivalencia energía-masa.

Sí, en principio habría un efecto similar en la masa para cualquier disminución de energía, pero el cambio sería tan pequeño en los cambios de energía en una reacción química que sería indetectable en la práctica.

No según la relatividad especial. Nada con masa puede alcanzar la velocidad de la luz.

a. 1,0328; b. 1,15

$\mathrm{5,96}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{s}$

0,800c

0,140c

48,6 m

Al utilizar los valores dados en Ejemplo 5.3: a. 0,627 km; b. 2,00 km; c. 2,00 km

a. 10,0c; b. La velocidad resultante del frasco es mayor que c, una imposibilidad. c. Es irrazonable suponer que el frasco se moverá hacia la tierra a 1,20c.

El ángulo α se aproxima a los $45\text{°},$ y los ejes $t\prime \text{-}$ y $x\prime$ están en rotación hacia el borde del cono de luz.

15 m/s al este

32 m/s

a. La segunda bola se aproxima con velocidad -v y se detiene mientras la otra bola continúa con velocidad -v; b. Así se conserva el momento.

a. $\begin{array}{c}{t}_1\prime =0;x_1\prime =0;\\ t_2\prime =\tau ;x_2\prime =0\end{array};$ b. $\begin{array}{c}{t}_1\prime =0;x_1\prime =0;\\ t_2\prime =\frac{\tau }{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}};x_2\prime =\frac{-v\tau }{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}\end{array}$

0,615c

0,696c

(Prueba)

$\mathrm{4,09}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{kg}·\text{m/s}$

a. $\mathrm{3,000000015}\times {10}^{13}\text{kg}·\text{m/s;}$ b. 1,000000005

$\mathrm{2,988}\times {10}^8\text{m/s}$

0,512 MeV según el número de cifras significativas indicadas. El valor exacto está más cerca de 0,511 MeV.

$\mathrm{2,3}\times {10}^{-30}\text{kg};$ a dos dígitos porque la diferencia de energías de masa en reposo se encuentra a dos dígitos.

a. $\mathrm{1,11}\times {10}^{27}\text{kg};$ b. $\mathrm{5,56}\times {10}^{-5}$

a. $\mathrm{7,1}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{kg};$ b. $\mathrm{7,1}\times {10}^{-3}=\mathrm{7,1}\times {10}^{-3};$ c. $\frac{\text{Δ}m}{m}$ es mayor para el hidrógeno.

a. 208; b. 0,999988c; seis dígitos utilizados para mostrar la diferencia con c

a. $\mathrm{6,92}\times {10}^5\text{J};$ b. 1,54

a. 0,914c; b. La energía de la masa en reposo de un electrón es de 0,511 MeV, por lo que la energía cinética es aproximadamente el 150 % de la energía de la masa en reposo. El electrón debería viajar cerca de la velocidad de la luz.

a. 0,866c; b. 0,995c

a. 4,303 y a cuatro dígitos para mostrar cualquier efecto; b. 0,1434 y; c $1\text{/}\sqrt{\left(1-v^2\text{/}{c}^2\right)}=\mathrm{29,88}.$

a. 4,00; b. $v=\mathrm{0,867}c$

a. A envía un pulso de radio en cada latido a B, que conoce su velocidad relativa y utiliza la fórmula de dilatación del tiempo para calcular el intervalo de tiempo propio entre latidos a partir de la señal observada. b. $\left(66\text{latidos/min}\right)\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}=\mathrm{57,1}\text{latidos/min}$

a. primer fotón: $(0,0,0)$ en $t=t^{\prime };$ segundo fotón:
$\begin{array}{ccc}t\prime \hfill & =\hfill & \frac{-vx\text{/}{c}^2}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}=\frac{-\left(c\text{/}2\right)\left(\mathrm{1,00}\text{m}\right)\text{/}{c}^2}{\sqrt{\mathrm{0,75}}}=-\frac{\mathrm{0,577}\text{m}}{c}=\mathrm{1,93}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{s}\hfill \\ \hfill x\prime & =\hfill & \frac{x}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}=\frac{\mathrm{1,00}\text{m}}{\sqrt{\mathrm{0,75}}}=\mathrm{1,15}\text{m}\hfill \end{array}$
b. simultáneo en A, no simultáneo en B

$\begin{array}{ccc}\hfill t\prime & =\hfill & \frac{t-vx\text{/}{c}^2}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}=\frac{\left(\mathrm{4,5}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{s}\right)-\left(\mathrm{0,6}c\right)\left(\frac{150\times {10}^3\text{m}}{c^2}\right)}{\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^2}}\hfill \\ & =\hfill & \mathrm{1,88}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{s}\hfill \\ \hfill x\prime & =\hfill & \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}=\frac{150\times {10}^3\text{m}-\left(\mathrm{0,60}\right)\left(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s}\right)\left(\mathrm{4,5}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{s}\right)}{\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^2}}\hfill \\ & =\hfill & \mathrm{8,6}\times {10}^4\text{m}=86\text{km}\hfill \\ \hfill y& =\hfill & y\prime =15\text{km}\hfill \\ \hfill z& =\hfill & z\prime =1\text{km}\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ccc}\hfill \text{Δ}t& =\hfill & \frac{\text{Δ}t\prime +v\text{Δ}x\prime \text{/}{c}^2}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}\hfill \\ \hfill 0& =\hfill & \frac{\text{Δ}t\prime +v\left(500\text{m}\right)\text{/}{c}^2}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}};\hfill \end{array}$
dado que $v\ll c,$ podemos ignorar el término $v^2\text{/}{c}^2$ y encontrar
$\text{Δ}t\prime =-\frac{\left(50\text{m/s}\right)\left(500\text{m}\right)}{{\left(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s}\right)}^2}=\mathrm{-2,78}\times {10}^{\mathrm{-13}}\text{s}$
La ruptura de la simultaneidad newtoniana es insignificante, pero no exactamente nula, a velocidades de tren realistas de 50 m/s.

$\begin{array}{ccc}\hfill \text{Δ}t\prime & =\hfill & \frac{\text{Δ}t-v\text{Δ}x\text{/}{c}^2}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}\hfill \\ \hfill 0& =\hfill & \frac{\left(\mathrm{0,30}\text{s}\right)-\frac{\left(v\right)\left(\mathrm{2,0}\times {10}^9\text{m}\right)}{{\left(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s}\right)}^2}}{\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}}\hfill \\ \hfill v& =\hfill & \frac{\left(\mathrm{0,30}\text{s}\right)}{\left(\mathrm{2,0}\times {10}^9\text{m}\right)}{\left(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s}\right)}^2\hfill \\ \hfill v& =\hfill & \mathrm{1,35}\times {10}^7\text{m/s}\hfill \end{array}$

Tenga en cuenta que todas las respuestas a este problema se indican con cinco cifras significativas, para distinguir los resultados. a. 0,99947c; b.$\mathrm{1,2064}\times {10}^{11}\text{y;}$ c.$\mathrm{1,2058}\times {10}^{11}\text{y}$

a. -0,400c; b. -0,909c

a. 1,65 km/s; b. Sí, si la velocidad de la luz fuera tan pequeña, las velocidades que podemos alcanzar en la vida cotidiana serían superiores al 1 % de la velocidad de la luz y podríamos observar los efectos relativistas con mucha más frecuencia.

775 MHz

a. $\mathrm{1,12}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{m/s};$ b. La pequeña velocidad nos indica que la masa de una proteína es sustancialmente menor que la de una cantidad mínima de materia macroscópica.

a.
$\begin{array}{cc}\hfill F& =\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{mu}{\sqrt{1-u^2\text{/}{c}^2}}\right)\hfill \\ & =\frac{du}{dt}\left(\frac{m}{\sqrt{1-u^2\text{/}{c}^2}}\right)-\frac{1}{2}\frac{m{u}^2}{{\left(1-u^2\text{/}{c}^2\right)}^{3\text{/}2}}2\frac{du}{dt}\hfill \\ & =\frac{m}{{\left(1-u^2\text{/}{c}^2\right)}^{3\text{/}2}}\frac{du}{dt}\hfill \end{array};$
b.
$\begin{array}{cc}\hfill F& =\frac{m}{{\left(1-u^2\text{/}{c}^2\right)}^{3\text{/}2}}\frac{du}{dt}\hfill \\ & =\frac{1\text{kg}}{{\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)}^{3\text{/}2}}\left(1{\text{m/s}}^2\right)\hfill \\ & =\mathrm{1,53}\text{N}\hfill \end{array}$

90,0 MeV

a. ${\gamma }^2-1;$ b. sí

$\mathrm{1,07}\times {10}^3$

a. $\mathrm{6,56}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{kg};$ b. $m=\left(200\text{L}\right)\left({1\text{m}}^3\text{/1000 L}\right)\left({750\text{kg/m}}^3\right)=150\text{kg;}$ por lo tanto, $\frac{\text{Δ}m}{m}=\mathrm{4,37}\times {10}^{-10}$

a. 0,314c; b. 0,99995c (Cinco dígitos utilizados para mostrar la diferencia con respecto a c)

a. 1,00 kg; b. Esta cantidad de masa sería medible, pero probablemente no observable a simple vista porque es el 0,01 % de la masa total.

a. $\mathrm{6,06}\times {10}^{11}\text{kg/s};$ b. $\mathrm{4,67}\times {10}^{10}\text{y};$ c. $\mathrm{4,27}\times {10}^9\text{kg};$ d. 0,32 %