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Física Universitaria Volumen 3

5.9 Energía relativista

Física Universitaria Volumen 35.9 Energía relativista
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo el teorema de trabajo-energía conduce a una expresión para la energía cinética relativista de un objeto.
  • Mostrar cómo la energía relativista se relaciona con la energía cinética clásica, y establece un límite a la velocidad de cualquier objeto con masa.
  • Describir cómo la energía total de una partícula está relacionada con su masa y velocidad.
  • Explicar cómo se relaciona la relatividad con la equivalencia energía-masa y con algunas de las implicaciones prácticas de la equivalencia energía-masa.

El tokamak de la Figura 5.25 es una forma de reactor de fusión experimental que puede transformar la masa en energía. Los reactores nucleares son la prueba de la relación entre energía y materia.

La conservación de la energía es una de las leyes más importantes de la física. La energía no solo tiene muchas formas importantes, sino que cada forma puede convertirse en cualquier otra. Sabemos que, clásicamente, la cantidad total de energía de un sistema permanece constante. Desde el punto de vista relativista, la energía sigue conservándose, pero ahora hay que tener en cuenta la equivalencia energía-masa, como por ejemplo, en las reacciones que se producen dentro de un reactor nuclear. La energía relativista se define intencionadamente para que se conserve en todos los marcos inerciales, al igual que el momento relativista. Como consecuencia, varias magnitudes fundamentales están relacionadas de formas desconocidas en la física clásica. Todas estas relaciones se han verificado mediante resultados experimentales y tienen consecuencias fundamentales. La modificación de la definición de energía contiene algunos de los nuevos conocimientos más fundamentales y espectaculares de la naturaleza en la historia reciente.

Una fotografía del NSTX tokamak.
Figura 5.25 El Experimento Nacional de Torus Esférico (National Spherical Torus Experiment, NSTX) es un reactor de fusión en el que los isótopos de hidrógeno se fusionan para producir helio. En este proceso, una masa relativamente pequeña de combustible se convierte en una gran cantidad de energía (crédito: Laboratorio de Física del Plasma de Princeton).

La energía cinética y el límite de velocidad final.

El primer postulado de la relatividad afirma que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales. Einstein demostró que la ley de conservación de la energía de una partícula es válida de manera relativista, pero con respecto a la energía expresada en términos de velocidad y masa de forma coherente con la relatividad.

Consideremos primero la expresión relativista de la energía cinética. Volvemos a utilizar u para la velocidad para distinguirla de la velocidad relativa v entre observadores. Clásicamente, la energía cinética se relaciona con la masa y la velocidad mediante la conocida expresión K=12mu2.K=12mu2. La expresión relativista correspondiente para la energía cinética puede obtenerse a partir del teorema de trabajo-energía. Este teorema establece que el trabajo neto de un sistema se convierte en energía cinética. En concreto, si una fuerza, expresada como F=dpdt=md(γu)dt,F=dpdt=md(γu)dt, acelera una partícula desde el reposo hasta su velocidad final, el trabajo realizado sobre la partícula debe ser igual a su energía cinética final. En forma matemática, para el movimiento unidimensional:

K=Fdx=mddt(γu)dx=md(γu)dtdxdtdt=muddt(u1(u/c)2)dt.K=Fdx=mddt(γu)dx=md(γu)dtdxdtdt=muddt(u1(u/c)2)dt.

Integre esto por partes para obtener

K=mu21(u/c)2|0umu1(u/c)2dudtdt=mu21(u/c)2mu1(u/c)2du=mu21(u/c)2mc2(1(u/c)2)|0u=mu21(u/c)2+mc21(u/c)2mc2=mc2[(u2/c2)+1(u2/c2)1(u/c)2]mc2K=mc21(u/c)2mc2.K=mu21(u/c)2|0umu1(u/c)2dudtdt=mu21(u/c)2mu1(u/c)2du=mu21(u/c)2mc2(1(u/c)2)|0u=mu21(u/c)2+mc21(u/c)2mc2=mc2[(u2/c2)+1(u2/c2)1(u/c)2]mc2K=mc21(u/c)2mc2.

Energía cinética relativista

La energía cinética relativista de cualquier partícula de masa m es

Krel=(γ1)mc2.Krel=(γ1)mc2.
5.8

Cuando un objeto está inmóvil, su velocidad es u=0u=0 y

γ=11u2c2=1γ=11u2c2=1

para que Krel=0Krel=0 en reposo, como era de esperar. Pero la expresión de la energía cinética relativista (como la energía total y la energía en reposo) no se parece mucho a la clásica 12mu2.12mu2. Para demostrar que la expresión para KrelKrel se reduce a la expresión clásica de la energía cinética a bajas velocidades, utilizamos la expansión binomial para obtener una aproximación para (1+ε)n(1+ε)n válida para una pequeña εε:

(1+ε)n=1+nε+n(n1)2!ε2+n(n1)(n2)3!ε3+1+nε(1+ε)n=1+nε+n(n1)2!ε2+n(n1)(n2)3!ε3+1+nε

ignorando los términos muy pequeños en ε2ε2 y las potencias superiores de ε.ε. Eligiendo ε=u2/c2ε=u2/c2 y n=12n=12 lleva a la conclusión de que γ a velocidades no relativistas, donde ε=u/cε=u/c es pequeña, satisface

γ=(1u2/c2)−1/21+12(u2c2).γ=(1u2/c2)−1/21+12(u2c2).

Una expansión binomial es una forma de expresar una cantidad algebraica como la suma de una serie infinita de términos. En algunos casos, como en el límite de velocidad pequeña aquí, la mayoría de los términos son muy pequeños. Por lo tanto, la expresión derivada aquí para γγ no es exacta, pero es una aproximación muy exacta. Por lo tanto, a baja velocidad:

γ1=12(u2c2).γ1=12(u2c2).

Al introducir esto en la expresión de la energía cinética relativista se obtiene

Krel=[12(u2c2)]mc2=12mu2=Kclass.Krel=[12(u2c2)]mc2=12mu2=Kclass.

Es decir, la energía cinética relativista se convierte en la misma que la energía cinética clásica (Classic, class) cuando u<<c.u<<c.

Es aún más interesante investigar qué ocurre con la energía cinética cuando la velocidad de un objeto se acerca a la de la luz. Sabemos que γγ se convierte en infinito a medida que u se acerca a c, por lo que KrelKrel también se vuelve infinita a medida que la velocidad se acerca a la velocidad de la luz (Figura 5.26). El aumento de KrelKrel es mucho mayor que en KclassKclass a medida que v se acerca a c. Se necesita una cantidad infinita de trabajo (y, por tanto, una cantidad infinita de aporte de energía) para acelerar una masa hasta la velocidad de la luz.

La velocidad de la luz

Ningún objeto con masa puede alcanzar la velocidad de la luz.

La velocidad de la luz es el límite máximo de velocidad para cualquier partícula que tenga masa. Todo esto es coherente con el hecho de que las velocidades menores que c siempre suman menos que c. Tanto la forma relativista de la energía cinética como el hecho de que la velocidad límite sea c han sido confirmados en detalle en numerosos experimentos. Por mucha energía que se ponga para acelerar una masa, su velocidad solo puede aproximarse (no alcanzar) a la de la luz.

Este es un gráfico de la energía cinética en función de la velocidad. Se muestran dos curvas: la energía cinética relativista y la energía cinética clásica. Ambas curvas son pequeñas a bajas velocidades. La energía relativista aumenta más rápido que la energía clásica y tiene una asíntota vertical en u=c. La energía clásica atraviesa u=c en un valor finito y sigue aumentando pero sigue siendo finita para u>c.
Figura 5.26 Este gráfico de K rel K rel en función de la velocidad muestra cómo la energía cinética aumenta sin límites a medida que la velocidad se acerca a la de la luz. También se muestra K class , K class , la energía cinética clásica.

Ejemplo 5.12

Comparación de la energía cinética

Un electrón tiene una velocidad v=0,990c.v=0,990c. (a) Calcule la energía cinética en MeV del electrón. (b) Compárela con el valor clásico de la energía cinética a esta velocidad. (La masa de un electrón es 9,11×10−31kg.9,11×10−31kg.)

Estrategia

La expresión de la energía cinética relativista es siempre correcta, pero en el caso de (a) hay que utilizarla porque la velocidad es altamente relativista (cercana a c). En primer lugar, calculamos el factor relativista γ,γ, y luego lo utilizamos para determinar la energía cinética relativista. Para (b), calculamos la energía cinética clásica (que se acercaría al valor relativista si v fuera menor que un porcentaje escaso de c) y vemos que no es la misma.

Solución para (a)

Para la parte (a):
  1. Identifique los aspectos conocidos: v=0,990c;m=9,11×10−31kg.v=0,990c;m=9,11×10−31kg.
  2. Identifique la incógnita: Krel.Krel.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación: Krel=(γ1)mc2Krel=(γ1)mc2 con γ=11u2/c2.γ=11u2/c2.
  4. Haga el cálculo. Calcule primero γ.γ. Mantenga dígitos adicionales porque este es un cálculo intermedio:
    γ=11u2c2=11(0,990c)2c2=7,0888.γ=11u2c2=11(0,990c)2c2=7,0888.
    Ahora utilice este valor para calcular la energía cinética:
    Krel=(γ1)mc2=(7,08881)(9,11×10−31kg)(3,00×108m/s2)=4,9922×10−13J.Krel=(γ1)mc2=(7,08881)(9,11×10−31kg)(3,00×108m/s2)=4,9922×10−13J.
  5. Convierta las unidades:
    Krel=(4,9922×10−13J)(1MeV1,60×10−13J)=3,12MeV.Krel=(4,9922×10−13J)(1MeV1,60×10−13J)=3,12MeV.

Solución para (b)

Para la parte (b):
  1. Enumere los aspectos conocidos: v=0,990c;m=9,11×10−31kg.v=0,990c;m=9,11×10−31kg.
  2. Enumere las incógnitas: Krel.Krel.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación: Kclass=12mu2.Kclass=12mu2.
  4. Haga el cálculo:
    Kclass=12mu2=12(9,11×10−31kg)(0,990)2(3,00×108m/s)2=4,0179×10−14J.Kclass=12mu2=12(9,11×10−31kg)(0,990)2(3,00×108m/s)2=4,0179×10−14J.
  5. Convierta las unidades:
    Kclass=4,0179×10−14J(1MeV1,60×10−13J)=0,251Mev.Kclass=4,0179×10−14J(1MeV1,60×10−13J)=0,251Mev.

Importancia

Como era de esperar, dado que la velocidad es el 99,0 % de la velocidad de la luz, la energía cinética clásica difiere significativamente del valor relativista correcto. Observe también que el valor clásico es mucho menor que el valor relativista. De hecho, Krel/Kclass=12,4Krel/Kclass=12,4 en este caso. Esto ilustra lo difícil que es conseguir que una masa se mueva cerca de la velocidad de la luz. Se necesita mucha más energía que la prevista clásicamente. Se necesitan cantidades cada vez mayores de energía para que la velocidad de una masa se acerque un poco más a la de la luz. Una energía de 3 MeV es una cantidad muy pequeña para un electrón, y se puede conseguir con los aceleradores de partículas actuales. El Centro del Acelerador Lineal de Stanford (Stanford Linear Accelerator Center, SLAC) por ejemplo, puede acelerar electrones a más de 50×109eV=50.000MeV.50×109eV=50.000MeV.

¿Tiene sentido que v se acerque un poco más a c que el 99,0 % o el 99,9 %? La respuesta es sí. Aprendemos mucho haciendo esto. La energía que entra en una masa de alta velocidad puede convertirse en cualquier otra forma, incluso en partículas totalmente nuevas. En el Gran Colisionador de Hadrones, en la Figura 5.27, las partículas cargadas se aceleran antes de entrar en la estructura anular. Allí, dos haces de partículas se aceleran hasta su velocidad final de aproximadamente el 99,7 % de la velocidad de la luz en direcciones opuestas, y se les hace colisionar, produciendo especies de partículas totalmente nuevas. La mayor parte de lo que sabemos sobre la subestructura de la materia y el conjunto de partículas exóticas de vida corta en la naturaleza se ha aprendido de esta manera. Los patrones de las características de estas partículas, hasta ahora desconocidas, apuntan a una subestructura básica de toda la materia. Estas partículas y algunas de sus características se tratarán en un capítulo posterior sobre la física de partículas.

Se muestra una foto de Ginebra con la ubicación del CERN y los dos anillos. El anillo más pequeño está dentro pero es tangente al más grande.
Figura 5.27 La Organización Europea para la Investigación Nuclear (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, CERN) opera el mayor acelerador de partículas del mundo entre las fronteras de Francia y Suiza (crédito: modificación de un trabajo de la NASA).

Energía relativista total

La expresión de la energía cinética se puede reordenar a:

E=mc21u2/c2=K+mc2.E=mc21u2/c2=K+mc2.

Einstein argumentó en otro artículo, también publicado posteriormente en 1905, que si la energía de una partícula cambia por ΔE,ΔE, su masa cambia por Δm=ΔE/c2.Δm=ΔE/c2. Las abundantes pruebas experimentales que se han realizado desde entonces confirman que mc2mc2 corresponde a la energía que tiene la partícula de masa m cuando está en reposo. Por ejemplo, cuando un pion neutro de masa m en reposo decae en dos fotones, los fotones tienen masa cero pero se observa que tienen una energía total correspondiente a mc2mc2 para el pion. Del mismo modo, cuando una partícula de masa m decae en dos o más partículas con una masa total menor, la energía cinética observada impartida a los productos de la desintegración corresponde a la disminución de la masa. Así, E es la energía relativista total de la partícula, y mc2mc2 es su energía de reposo.

Energía total

La energía total E de una partícula es

E=γmc2E=γmc2
5.9

donde m es la masa, c es la velocidad de la luz, γ=11u2c2,γ=11u2c2, y u es la velocidad de la masa respecto a un observador.

Energía en reposo

Laenergía en reposo de un objeto es

E0=mc2.E0=mc2.
5.10

Esta es la forma correcta de la ecuación más famosa de Einstein, que por primera vez demostró que la energía está relacionada con la masa de un objeto en reposo. Por ejemplo, si se almacena energía en el objeto, su masa en reposo aumenta. Esto también implica que la masa puede ser destruida para liberar energía. Las implicaciones de estas dos primeras ecuaciones relativas a la energía relativista son tan amplias que no se reconocieron por completo hasta algunos años después de que Einstein las publicara en 1905, y la prueba experimental de que son correctas tampoco fue ampliamente reconocida al principio. Hay que señalar que Einstein comprendió y describió los significados e implicaciones de su teoría.

Ejemplo 5.13

Calcular la energía en reposo

Calcule la energía en reposo de una masa de 1,00 g.

Estrategia

Un gramo es una masa pequeña, menos de la mitad de la masa de un céntimo. Podemos multiplicar esta masa, en unidades del SI, por la velocidad de la luz al cuadrado para encontrar la energía en reposo equivalente.

Solución

  1. Identifique los aspectos conocidos: m=1,00×10−3kg;m=1,00×10−3kg; c=3,00×108m/s.c=3,00×108m/s.
  2. Identifique la incógnita: E0.E0.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación: E0=mc2.E0=mc2.
  4. Haga el cálculo:
    E0=mc2=(1,00×10−3kg)(3,00×108m/s)2=9,00×1013kg·m2/s2.E0=mc2=(1,00×10−3kg)(3,00×108m/s)2=9,00×1013kg·m2/s2.
  5. Convierta las unidades. Si 1kg·m2/s2=1J,1kg·m2/s2=1J, vemos que la energía en reposo es:
    E0=9,00×1013J.E0=9,00×1013J.

Importancia

Esta es una enorme cantidad de energía para una masa de 1,00 g. La energía en reposo es grande porque la velocidad de la luz c es un número grande y c2c2 es un número muy grande, por lo que mc2mc2 es enorme para cualquier masa macroscópica. La energía de masa en reposo 9,00×1013J9,00×1013J para 1,00 g es aproximadamente el doble de la energía liberada por la bomba atómica de Hiroshima y unas 10.000 veces la energía cinética de un gran portaaviones.

Hoy en día, las aplicaciones prácticas de la conversión de masa en otra forma de energía, como en las armas nucleares y las plantas de energía nuclear, son bien conocidas. Pero los ejemplos también existían cuando Einstein propuso por primera vez la forma correcta de la energía relativista, y describió algunos de ellos. La radiación nuclear se había descubierto en la década anterior, y había sido un misterio el origen de su energía. La explicación era que, en algunos procesos nucleares, se destruye una pequeña cantidad de masa y se libera energía que es transportada por la radiación nuclear. Pero la cantidad de masa destruida es tan pequeña que es difícil detectar que falta alguna. Aunque Einstein propuso esto como fuente de energía en las sales radiactivas que se estudiaban entonces, pasaron muchos años antes de que se reconociera ampliamente que la masa podía ser convertida, y de hecho lo es comúnmente, en energía (Figura 5.28).

Fotografías del Sol y de la estación eléctrica de vapor de Susquehanna.
Figura 5.28 (a) El sol y (b) la Estación Eléctrica de Vapor de Susquehanna convierten la masa en energía: el sol a través de la fusión nuclear, y la estación eléctrica a través de la fisión nuclear. (crédito: modificación del trabajo de la NASA / Observatorio de Dinámica Solar [Solar Dynamics Observatory, SDO] (Ensamblaje de Imágenes Atmosféricas [Atmospheric Imaging Assembly, AIA])).

Debido a la relación de la energía en reposo con la masa, ahora consideramos que la masa es una forma de energía y no algo separado. Antes del trabajo de Einstein no había ni siquiera un indicio de esto. Ahora se sabe que la equivalencia energía-masa es la fuente de energía del sol, la energía del decaimiento nuclear e incluso una de las fuentes de energía que mantiene caliente el interior de la Tierra.

Energía almacenada y energía potencial

¿Qué ocurre con la energía almacenada en un objeto en reposo, como la energía que se pone en una batería al cargarla, o la energía almacenada en el resorte comprimido de una pistola de juguete? El aporte de energía pasa a formar parte de la energía total del objeto y, por tanto, aumenta su masa en reposo. Toda la energía almacenada y potencial se convierte en masa en un sistema. En aparente contradicción, el principio de conservación de la masa (que significa que la masa total es constante) fue una de las grandes leyes verificadas por la ciencia del siglo XIX. ¿Por qué no se advirtió que era incorrecto? El siguiente ejemplo ayuda a responder a esta pregunta.

Ejemplo 5.14

Calcular la masa en reposo

La batería de un auto tiene capacidad para mover 600 amperios-hora (A·h)(A·h) de carga a 12,0 V. (a) Calcule el aumento de la masa en reposo de dicha batería cuando se pasa de estar totalmente agotada a estar totalmente cargada, suponiendo que ninguno de los reactivos químicos entra o sale de la batería. (b) ¿Qué porcentaje de aumento es éste, dado que la masa de la batería es de 20,0 kg?

Estrategia

En la parte (a), primero debemos encontrar la energía almacenada como energía química EbattEbatt en la batería, lo que equivale a la energía eléctrica que ésta puede proporcionar. Dado que Ebatt=qV,Ebatt=qV, tenemos que calcular la carga q en 600A·h,600A·h, que es el producto de la corriente I por el tiempo t. A continuación, multiplicamos el resultado por 12,0 V. Entonces podemos calcular el aumento de masa de la batería utilizando Ebatt=(Δm)c2.Ebatt=(Δm)c2. La parte (b) es una relación simple convertida en porcentaje.

Solución para (a)

  1. Identifiquelos aspectos conocidos: I·t=600A·h;V=12,0V;c=3,00×108m/s.I·t=600A·h;V=12,0V;c=3,00×108m/s.
  2. Identifique la incógnita: Δm.Δm.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación:
    Ebatt=(Δm)c2Δm=Ebattc2=qVc2=(It)Vc2.Ebatt=(Δm)c2Δm=Ebattc2=qVc2=(It)Vc2.
  4. Haga el cálculo:
    Δm=(600A·h)(12,0V)(3,00×108)2.Δm=(600A·h)(12,0V)(3,00×108)2.
    Escriba los amperios A como culombios por segundo (C/s), y convierta las horas en segundos:
    Δm=(600C/s·h)(3.600s1h)(12,0J/C)(3,00×108m/s)2=2,88×10−10kg.Δm=(600C/s·h)(3.600s1h)(12,0J/C)(3,00×108m/s)2=2,88×10−10kg.
    donde utilizamos la conversión 1kg·m2/s2=1J.1kg·m2/s2=1J.

Solución para (b)

Para la parte (b):
  1. Identifique los aspectos conocidos: Δm=2,88×10−10kg;m=20,0kg.Δm=2,88×10−10kg;m=20,0kg.
  2. Identifique la incógnita: % de cambio.
  3. Exprese la respuesta en forma de una ecuación: %aumento =Δmm×100%.%aumento =Δmm×100%.
  4. Haga el cálculo:
    % de aumento=Δmm×100%=2,88×10−10kg20,0kg×100%=1,44×10−9%.% de aumento=Δmm×100%=2,88×10−10kg20,0kg×100%=1,44×10−9%.

Importancia

Tanto el aumento real de la masa como el aumento porcentual son muy pequeños, porque la energía se divide por c2,c2, un número muy grande. Tendríamos que ser capaces de medir la masa de la batería con una precisión de una milmillonésima parte de un porcentaje, es decir, 1 parte en 1011,1011, para notar este aumento. No es de extrañar que la variación de la masa no se observe fácilmente. De hecho, este cambio de masa es tan pequeño que podemos preguntarnos cómo se puede comprobar que es real. La respuesta se encuentra en los procesos nucleares en los que el porcentaje de masa destruida es lo suficientemente grande como para ser medido con precisión. La masa del combustible de un reactor nuclear, por ejemplo, es sensiblemente menor cuando se ha utilizado su energía. En ese caso, se ha liberado la energía almacenada (convertida sobre todo en energía térmica para alimentar los generadores eléctricos) y la masa en reposo ha disminuido. También se produce una disminución de la masa al utilizar la energía almacenada en una batería, con la diferencia de que la energía almacenada es mucho mayor en los procesos nucleares, lo que hace que el cambio de masa sea medible tanto en la práctica como en la teoría.

Energía y momento relativistas

Sabemos clásicamente que la energía cinética y el momento están relacionados entre sí, porque:

Kclass=p22m=(mu)22m=12mu2.Kclass=p22m=(mu)22m=12mu2.

De manera relativista, podemos obtener una relación entre la energía y el momento manipulando algebraicamente sus ecuaciones de definición. Así se produce:

E2=(pc)2+(mc2)2,E2=(pc)2+(mc2)2,
5.11

donde E es la energía total relativista, E=mc2/1u2/c2,E=mc2/1u2/c2, y p es el momento relativista. Esta relación entre la energía relativista y el momento relativista es más complicada que en la versión clásica, pero podemos obtener algunas ideas nuevas e interesantes al examinarla. En primer lugar, la energía total está relacionada con el momento y la masa en reposo. En reposo, el momento es cero, y el resultado de la ecuación expresa que la energía total es la energía en reposo mc2mc2 (por lo que esta ecuación es coherente con la discusión de la energía en reposo anterior). Sin embargo, a medida que la masa se acelera, su momento p aumenta, incrementando así la energía total. A velocidades suficientemente altas, el término de energía en reposo (mc2)2(mc2)2 se vuelve insignificante en comparación con el término de momento (pc)2;(pc)2; por lo tanto, E=pcE=pc a velocidades extremadamente relativistas.

Si consideramos que el momento p es distinto de la masa, podemos determinar las implicaciones de la ecuación E2=(pc)2+(mc2)2,E2=(pc)2+(mc2)2, para una partícula que no tiene masa. Si tomamos m como cero en esta ecuación, entonces E=pc,op=E/c.E=pc,op=E/c. Las partículas sin masa tienen este momento. En la naturaleza existen varias partículas sin masa, entre ellas los fotones (que son paquetes de radiación electromagnética). Otra implicación es que una partícula sin masa debe viajar a la velocidad c y solo a la velocidad c. Está fuera del alcance de este texto examinar la relación en la ecuación E2=(pc)2+(mc2)2E2=(pc)2+(mc2)2 en detalle, pero se puede ver que la relación tiene importantes implicaciones en la relatividad especial.

Compruebe Lo Aprendido 5.9

¿Cuál es la energía cinética de un electrón si su velocidad es de 0,992c?

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