Problemas

Dada la función de valor complejo $f(x,y)=(x-iy)\text{/}(x+iy)$, calcule $|f(x,y){|}^2$.

Una partícula con una masa m que se mueve a lo largo del eje de la x y su estado cuántico está representado por la siguiente función de onda:

$\text{Ψ}(x,t)=\{\begin{array}{cc}\hfill 0,& x<0,\hfill \\ \hfill Ax{e}^{\text{−}\alpha x}{e}^{\text{−}iEt\text{/}\hslash },& x\ge 0\text{,}\hfill \end{array}$

donde $\alpha =\mathrm{2,0}\times {10}^{10}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}$. (a) Encuentre la constante de normalización. (b) Encuentre la probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo $0\le x\le L$. (c) Encuentre el valor esperado de la posición. (d) Encuentre el valor esperado de la energía cinética.

La medición de la velocidad de una partícula $\alpha$se ha realizado con una precisión de 0,02 mm/s. ¿Cuál es la mínima incertidumbre en su posición?

Si la incertidumbre en el componente $y$de la posición de un protón es de 2,0 pm, encuentre la incertidumbre mínima en la medición simultánea de la posición del componente de velocidad $y$del protón. ¿Cuál es la incertidumbre mínima en la medición simultánea del componente de velocidad $x$del protón?

Un átomo en estado metaestable tiene una vida de 5,2 ms. Encuentre la mínima incertidumbre en la medición de la energía del estado excitado.

Supongamos que un electrón está confinado en una región de longitud 0,1 nm (del orden del tamaño de un átomo de hidrógeno). (a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima de su momento? (b) ¿Cuál sería la incertidumbre del momento si la región de longitud confinada se duplicara hasta 0,2 nm?

Demuestre que $\text{Ψ}\left(x,t\right)=A{e}^{i\left(kx-\omega t\right)}$ es una solución válida de la ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo.

Demuestre que cuando ${\text{Ψ}}_1(x,t)$ y ${\text{Ψ}}_2(x,t)$ son soluciones de la ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo y A,B son números, entonces una función $\text{Ψ}(x,t)$ que es una superposición de estas funciones también es una solución: $\text{Ψ}(x,t)=A{\text{Ψ}}_1(x,t)+B{\text{Ψ}}_1(x,t)$.

Encuentre el valor esperado de la energía cinética para la partícula en el estado, $\text{Ψ}\left(x,t\right)=A{e}^{i\left(kx-\omega t\right)}$. ¿Qué conclusión obtiene de su solución?

Un protón libre tiene una función de onda dada por $\text{Ψ}(x,t)=A{e}^{i(\mathrm{5,02}\times {10}^{11}x-\mathrm{8,00}\times {10}^{15}t)}$.

El coeficiente de x es inverso a los metros $({\text{m}}^{\mathrm{-1}})$ y el coeficiente en t es inverso a los segundos $({\text{s}}^{\mathrm{-1}}).$ Encuentre su momento y energía.

Supongamos que un protón en un núcleo puede tratarse como si estuviera confinado en una caja unidimensional de 10,0 fm de ancho. (a) ¿Cuáles son las energías del protón cuando se encuentra en los estados correspondientes a $n=1$, $n=2$, y $n=3$? (b) ¿Cuáles son las energías de los fotones emitidos cuando el protón realiza las transiciones desde el primer y segundo estado excitado al estado fundamental?

¿Cuál es la energía del estado fundamental (en eV) de un protón confinado en una caja unidimensional del tamaño del núcleo de uranio que tiene un radio de aproximadamente 15,0 fm?

Para excitar un electrón en una caja unidimensional desde su primer estado excitado hasta su tercer estado excitado se necesitan 20,0 eV. ¿Cuál es el ancho de la caja?

Si la energía del primer estado excitado del electrón en la caja es de 25,0 eV, ¿cuál es el ancho de la caja?

Las móleculas de Hidrógeno ${\text{H}}_2$ se mantienen a 300,0 K en un recipiente cúbico de 20,0 cm de lado. Suponga que puede tratar las moléculas como si se movieran en una caja unidimensional. (a) Encuentre la energía del estado fundamental de la molécula de hidrógeno en el contenedor. (b) Suponga que la molécula tiene una energía térmica dada por $k_{\text{B}}T\text{/}2$ y encuentre el correspondiente número cuántico n del estado cuántico que correspondería a esta energía térmica.

Un electrón en una caja se encuentra en el estado fundamental con una energía de 2,0 eV. (a) Encuentre el ancho de la caja. (b) ¿Cuánta energía se necesita para llevar al electrón a su primer estado excitado? (c) Si el electrón hace una transición de un estado excitado al estado fundamental con la emisión simultánea de un fotón de 30,0 eV, encuentre el número cuántico del estado excitado.

Si la energía del estado fundamental de un oscilador armónico simple es de 1,25 eV, ¿cuál es la frecuencia de su movimiento?

Las vibraciones de la molécula de hidrógeno ${\text{H}}_2$ se pueden modelar como un oscilador armónico simple con la constante de resorte $k=\mathrm{1,13}\times {10}^3\text{N}\text{/}\text{m}$ y la masa $m=\mathrm{1,67}\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg}$. (a) ¿Cuál es la frecuencia de vibración de esta molécula? (b) ¿Cuáles son la energía y la longitud de onda del fotón emitido cuando la molécula hace la transición entre su tercer y segundo estado excitado?

Encuentre el valor esperado $\langle x^2\rangle$ del cuadrado de la posición para un oscilador armónico cuántico en el estado fundamental. Nota: ${\displaystyle {\int }_{\text{−}\infty }^{+\infty }dx{x}^2{e}^{-a{x}^2}=\sqrt{\pi }}{(2a^{3\text{/}2})}^{-1}$.

Compruebe que ${\psi }_1(x)$ dada por la Ecuación 7.57 es una solución de la ecuación de Schrӧdinger para el oscilador armónico cuántico.

Una masa de 0,250 kg oscila sobre un resorte con la constante de fuerza 110 N/m. Calcule el nivel de energía fundamental y la separación entre los niveles de energía adyacentes. Exprese los resultados en julios y en electronvoltios. ¿Son importantes los efectos cuánticos?

Un electrón de 6,0 eV impacta en una barrera con altura de 11,0 eV. Encuentre la probabilidad de que el electrón atraviese la barrera si el ancho de la barrera es (a) 0,80 nm y (b) 0,40 nm.

Un electrón de 12,0 eV encuentra una barrera de altura 15,0 eV. Si la probabilidad de que el electrón atraviese la barrera es del 2,5 %, encuentre su ancho.

Un modelo sencillo de un decaimiento nuclear radiactivo supone que $\text{α}$ están atrapadas dentro de un pozo de potencial nuclear cuyas paredes son barreras de un ancho finito de 2,0 fm y una altura de 30,0 MeV. Encuentre la probabilidad de tunelización a través de la barrera de potencial de la pared para $\text{α}$ con energía cinética (a) 29,0 MeV y (b) 20,0 MeV. La masa de las partículas $\text{α}$ es $m=\mathrm{6,64}\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg}$.

Un grano de arena con una masa de 1,0 mg y una energía cinética de 1,0 J incide sobre una barrera de energía potencial con una altura de 1,000001 J y un ancho de 2500 nm. ¿Cuántos granos de arena tienen que caer sobre esta barrera para que, por término medio, pase uno?