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Física Universitaria Volumen 3

7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg

Física Universitaria Volumen 37.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir el significado físico de la relación de incertidumbre posición-momento
  • Explicar los orígenes del principio de incertidumbre en la teoría cuántica
  • Describir el significado físico de la relación de incertidumbre energía-tiempo

El principio de incertidumbre de Heisenberg es un principio clave de la mecánica cuántica. A grandes rasgos, afirma que si lo sabemos todo sobre dónde se encuentra una partícula (la incertidumbre de posición es pequeña), no sabemos nada sobre su momento (la incertidumbre de momento es grande), y viceversa. También existen versiones del principio de incertidumbre para otras magnitudes, como la energía y el tiempo. Hablamos sobre los principios de incertidumbre de momento-posición y energía-tiempo por separado.

Momento y posición

Para ilustrar el principio de incertidumbre momento-posición, consideremos una partícula libre que se mueve a lo largo de la dirección de la x. La partícula se mueve con una velocidad constante u y un momento p=mup=mu. Según las relaciones de De Broglie, p=kp=k y E=ωE=ω. Como se comentó en el apartado anterior, la función de onda de esta partícula está dada por

ψk(x,t)=A[cos(ωtkx)isen(ωtkx)]=Aei(ωtkx)=Aeiωteikxψk(x,t)=A[cos(ωtkx)isen(ωtkx)]=Aei(ωtkx)=Aeiωteikx
7.14

y la densidad de probabilidad |ψk(x,t)|2=A2|ψk(x,t)|2=A2 es uniforme e independiente del tiempo. La partícula tiene la misma probabilidad de encontrarse en cualquier parte del eje de la x, pero tiene valores definidos de longitud de onda y número de onda, y por tanto de momento. La incertidumbre de la posición es infinita (nuestra incertidumbre sobre la posición es total) y la incertidumbre del momento es cero (estamos completamente seguros del momento). Esta explicación de una partícula libre es coherente con el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Se pueden hacer afirmaciones similares sobre las partículas localizadas. En la teoría cuántica, una partícula localizada se modela mediante una superposición lineal de estados de partículas libres (u ondas planas) denominada paquete de ondas. Un ejemplo de paquete de ondas se muestra en la Figura 7.9. Un paquete de ondas contiene muchas longitudes de onda y, por tanto, muchos momentos según las relaciones de De Broglie, ¡posibles en la mecánica cuántica! Esta partícula también tiene muchos valores de posición, aunque la partícula está confinada principalmente en el intervalo ΔxΔx. La partícula puede ser mejor localizada (Δx(Δx puede disminuir) si se suman de forma correcta más estados de ondas planas de diferentes longitudes de onda o momentos (Δp(Δp se incrementa). Según Heisenberg, estas incertidumbres obedecen a la siguiente relación.

El principio de incertidumbre de Heisenberg

El producto de la incertidumbre en la posición de una partícula y la incertidumbre en su momento nunca puede ser inferior a la mitad de la constante de Planck reducida:

ΔxΔp/2.ΔxΔp/2.
7.15

Esta relación expresa el principio de incertidumbre de Heisenberg. Esto le pone límites a lo que podemos saber sobre una partícula a partir de mediciones simultáneas de posición y momento. Si ΔxΔx es grande, ΔpΔp es pequeña, y viceversa. La Ecuación 7.15 puede derivarse en un curso más avanzado de física moderna. Reflexionando sobre esta relación en su obra Los principios físicos de la teoría cuántica, Heisenberg escribió "Cualquier uso de las palabras 'posición' y 'velocidad' con una exactitud que exceda la dada por [la relación] carece tanto de sentido como el uso de palabras cuyo sentido no está definido".

Se muestran varias ondas, todas con igual amplitud pero diferentes. También se muestra el resultado de sumarlas para formar un paquete de ondas. El paquete de ondas es una onda oscilante cuya amplitud aumenta hasta un máximo y luego disminuye, de modo que su envolvente es un pulso de anchura Delta x.
Figura 7.9 La suma de varias ondas planas de diferente longitud de onda puede producir una onda relativamente localizada.

Observe que el principio de incertidumbre no tiene nada que ver con la precisión de un aparato experimental. Incluso en el caso de dispositivos de medición perfectos, estas incertidumbres seguirían existiendo porque se originan en la naturaleza ondulatoria de la materia. El valor exacto del producto ΔxΔpΔxΔp depende de la forma específica de la función de onda. Curiosamente, la función gaussiana (o distribución de campana) da el valor mínimo del producto de incertidumbre: ΔxΔp=/2.ΔxΔp=/2.

Ejemplo 7.5

El principio de incertidumbre grande y pequeña

Determine las incertidumbres mínimas en las posiciones de los siguientes objetos si se conocen sus velocidades con una precisión de 1,0×10−3m/s1,0×10−3m/s: (a) un electrón y (b) una bola de boliche de una masa de 6,0 kg.

Estrategia

Dada la incertidumbre de la velocidad Δu=1,0×10−3m/sΔu=1,0×10−3m/s, tenemos que determinar en primer lugar la incertidumbre en el momento Δp=mΔuΔp=mΔu y luego invertir la Ecuación 7.15 para encontrar la incertidumbre en la posición Δx=/(2Δp)Δx=/(2Δp).

Solución

  1. Para el electrón:
    Δp=mΔu=(9,1×10−31kg)(1,0×10−3m/s)=9,1×10−34kg·m/s,Δx=2Δp=5,8cm.Δp=mΔu=(9,1×10−31kg)(1,0×10−3m/s)=9,1×10−34kg·m/s,Δx=2Δp=5,8cm.
  2. Para la bola de boliche:
    Δp=mΔu=(6,0kg)(1,0×10−3m/s)=6,0×10−3kg·m/s,Δx=2Δp=8,8×10−33m.Δp=mΔu=(6,0kg)(1,0×10−3m/s)=6,0×10−3kg·m/s,Δx=2Δp=8,8×10−33m.

Importancia

A diferencia de la incertidumbre de posición del electrón, la incertidumbre de posición de la bola de boliche es inconmensurablemente pequeña. La constante de Planck es muy pequeña, por lo que las limitaciones impuestas por el principio de incertidumbre no son perceptibles en sistemas macroscópicos como una bola de boliche.

Ejemplo 7.6

La incertidumbre y el átomo de hidrógeno

Estime la energía del estado básico de un átomo de hidrógeno utilizando el principio de incertidumbre de Heisenberg. (Sugerencia: Según los primeros experimentos, el tamaño de un átomo de hidrógeno es de aproximadamente 0,1 nm).

Estrategia

Un electrón unido a un átomo de hidrógeno puede ser modelado por una partícula unida a una caja unidimensional de longitud L=0,1nm.L=0,1nm. La función de onda del estado básico de este sistema es una media onda, como la dada en el Ejemplo 7.1. Esta es la mayor longitud de onda que puede "caber" en la caja, por lo que la función de onda corresponde al estado de menor energía. Observe que esta función tiene una forma muy similar a la de una función gaussiana (curva de campana). Podemos tomar la energía media de una partícula descrita por esta función (E) como un buen estimado de la energía del estado fundamental (E0)(E0). Esta energía media de una partícula se relaciona con su media del momento al cuadrado, que está relacionada con su incertidumbre de momento.

Solución

Para resolver este problema, debemos concretar qué se entiende por "incertidumbre de posición" e "incertidumbre de momento". Identificamos la incertidumbre de la posición (Δx)(Δx) con la desviación estándar de la posición (σx)(σx), y la incertidumbre del momento (Δp)(Δp) con la desviación estándar del momento (σp)(σp). Para la función gaussiana, el producto de incertidumbre es
σxσp=2,σxσp=2,

donde

σx2=x2x2yσp2=p2p2.σx2=x2x2yσp2=p2p2.

La partícula tiene la misma probabilidad de moverse a la izquierda que a la derecha, por lo que p=0p=0. Además, la incertidumbre de la posición es comparable al tamaño de la caja, por lo que σx=L.σx=L. La energía estimada del estado fundamental es, por lo tanto

E0=EGaussiana=p2m=σp22m=12m(2σx)2=12m(2L)2=28mL2.E0=EGaussiana=p2m=σp22m=12m(2σx)2=12m(2L)2=28mL2.

Multiplicando el numerador y el denominador por c2c2 da

E0=(c)28(mc2)L2=(197,3eV·nm)28(0,511·106eV)(0,1nm)2=0,952eV1eV.E0=(c)28(mc2)L2=(197,3eV·nm)28(0,511·106eV)(0,1nm)2=0,952eV1eV.

Importancia

Según las primeras estimaciones del tamaño de un átomo de hidrógeno y el principio de incertidumbre, la energía del estado básico de un átomo de hidrógeno está en el rango de los eV. La energía de ionización de un electrón en el estado básico de energía es de aproximadamente 10 eV, por lo que esta predicción se confirma a grandes rasgos. (Nota: el producto cc suele ser un valor útil para realizar cálculos en mecánica cuántica).

Energía y tiempo

Otro tipo de principio de incertidumbre se refiere a las incertidumbres en las mediciones simultáneas de la energía de un estado cuántico y su tiempo de vida,

ΔEΔt2,ΔEΔt2,
7.16

donde ΔEΔE es la incertidumbre en la medición de la energía y ΔtΔt es la incertidumbre en la medición del tiempo de vida. El principio de incertidumbre energía-tiempo no resulta de una relación del tipo expresado por la Ecuación 7.15 por razones técnicas que escapan a esta discusión. Sin embargo, el significado general del principio de energía-tiempo es que un estado cuántico que solo existe durante un corto periodo de tiempo no puede tener una energía definida. La razón es que la frecuencia de un estado es inversamente proporcional al tiempo y que la frecuencia se conecta con la energía del estado, por lo que para medir la energía con precisión, el estado debe observarse por muchos ciclos.

Para ilustrarlo, consideremos los estados excitados de un átomo. Los tiempos de vida finitos de estos estados pueden deducirse de las formas de las líneas espectrales observadas en los espectros de emisión atómica. Cada vez que un estado excitado decae, la energía emitida es ligeramente diferente y, por tanto, la línea de emisión se caracteriza por una distribución de frecuencias espectrales (o longitudes de onda) de los fotones emitidos. En consecuencia, todas las líneas espectrales se caracterizan por su anchura espectral. La energía media del fotón emitido corresponde a la energía teórica del estado excitado y da la localización espectral del pico de la línea de emisión. Los estados de vida corta tienen anchos espectrales amplios y los estados de vida larga tienen anchos espectrales estrechos.

Ejemplo 7.7

Transiciones atómicas

Un átomo normalmente se encuentra en estado excitado durante aproximadamente Δt=10−8sΔt=10−8s. Estime la incertidumbre ΔfΔf en la frecuencia de los fotones emitidos cuando un átomo hace la transición de un estado excitado con la emisión simultánea de un fotón con una frecuencia media de f=7,1×1014Hzf=7,1×1014Hz. ¿La radiación emitida es monocromática?

Estrategia

Invertimos la Ecuación 7.16 para obtener la incertidumbre de la energía ΔE/2ΔtΔE/2Δt y combinarla con la energía del fotón E=hfE=hf para obtener ΔfΔf. Para estimar si la emisión es monocromática o no, evaluamos Δf/fΔf/f.

Solución

La dispersión de las energías de los fotones es ΔE=hΔfΔE=hΔf. Por lo tanto,
ΔE2ΔthΔf2ΔtΔf14πΔt=14π(10−8s)=8,0×106Hz,Δff=8,0×106Hz7,1×1014Hz=1,1×10−8.ΔE2ΔthΔf2ΔtΔf14πΔt=14π(10−8s)=8,0×106Hz,Δff=8,0×106Hz7,1×1014Hz=1,1×10−8.

Importancia

Como las frecuencias de los fotones emitidos están dentro del 1,1×10−61,1×10−6 porciento de la frecuencia media, la radiación emitida puede considerarse monocromática.

Compruebe Lo Aprendido 7.4

Un átomo de sodio hace una transición desde el primer estado excitado al estado fundamental, emitiendo un fotón de 589,0 nm con una energía de 2,105 eV. Si el tiempo de vida de este estado excitado es de 1,6×10−8s1,6×10−8s, ¿cuál es la incertidumbre en la energía de este estado excitado? ¿Cuál es la anchura de la línea espectral correspondiente?

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