7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg

Momento y posición

Para ilustrar el principio de incertidumbre momento-posición, consideremos una partícula libre que se mueve a lo largo de la dirección de la x. La partícula se mueve con una velocidad constante u y un momento $p=mu$. Según las relaciones de De Broglie, $p=\hslash k$ y $E=\hslash \omega$. Como se comentó en el apartado anterior, la función de onda de esta partícula está dada por

y la densidad de probabilidad $|{\psi }_k(x,t){|}^2=A^2$ es uniforme e independiente del tiempo. La partícula tiene la misma probabilidad de encontrarse en cualquier parte del eje de la x, pero tiene valores definidos de longitud de onda y número de onda, y por tanto de momento. La incertidumbre de la posición es infinita (nuestra incertidumbre sobre la posición es total) y la incertidumbre del momento es cero (estamos completamente seguros del momento). Esta explicación de una partícula libre es coherente con el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Se pueden hacer afirmaciones similares sobre las partículas localizadas. En la teoría cuántica, una partícula localizada se modela mediante una superposición lineal de estados de partículas libres (u ondas planas) denominada paquete de ondas. Un ejemplo de paquete de ondas se muestra en la Figura 7.9. Un paquete de ondas contiene muchas longitudes de onda y, por tanto, muchos momentos según las relaciones de De Broglie, ¡posibles en la mecánica cuántica! Esta partícula también tiene muchos valores de posición, aunque la partícula está confinada principalmente en el intervalo $\text{Δ}x$. La partícula puede ser mejor localizada $(\text{Δ}x$ puede disminuir) si se suman de forma correcta más estados de ondas planas de diferentes longitudes de onda o momentos $(\text{Δ}p$ se incrementa). Según Heisenberg, estas incertidumbres obedecen a la siguiente relación.

Esta relación expresa el principio de incertidumbre de Heisenberg. Esto le pone límites a lo que podemos saber sobre una partícula a partir de mediciones simultáneas de posición y momento. Si $\text{Δ}x$ es grande, $\text{Δ}p$ es pequeña, y viceversa. La Ecuación 7.15 puede derivarse en un curso más avanzado de física moderna. Reflexionando sobre esta relación en su obra Los principios físicos de la teoría cuántica, Heisenberg escribió "Cualquier uso de las palabras 'posición' y 'velocidad' con una exactitud que exceda la dada por [la relación] carece tanto de sentido como el uso de palabras cuyo sentido no está definido".

Figura 7.9 La suma de varias ondas planas de diferente longitud de onda puede producir una onda relativamente localizada.

Observe que el principio de incertidumbre no tiene nada que ver con la precisión de un aparato experimental. Incluso en el caso de dispositivos de medición perfectos, estas incertidumbres seguirían existiendo porque se originan en la naturaleza ondulatoria de la materia. El valor exacto del producto $\text{Δ}x\text{Δ}p$ depende de la forma específica de la función de onda. Curiosamente, la función gaussiana (o distribución de campana) da el valor mínimo del producto de incertidumbre: $\text{Δ}x\text{Δ}p=\hslash \text{/}2.$

Energía y tiempo

Otro tipo de principio de incertidumbre se refiere a las incertidumbres en las mediciones simultáneas de la energía de un estado cuántico y su tiempo de vida,

donde $\text{Δ}E$ es la incertidumbre en la medición de la energía y $\text{Δ}t$ es la incertidumbre en la medición del tiempo de vida. El principio de incertidumbre energía-tiempo no resulta de una relación del tipo expresado por la Ecuación 7.15 por razones técnicas que escapan a esta discusión. Sin embargo, el significado general del principio de energía-tiempo es que un estado cuántico que solo existe durante un corto periodo de tiempo no puede tener una energía definida. La razón es que la frecuencia de un estado es inversamente proporcional al tiempo y que la frecuencia se conecta con la energía del estado, por lo que para medir la energía con precisión, el estado debe observarse por muchos ciclos.

Para ilustrarlo, consideremos los estados excitados de un átomo. Los tiempos de vida finitos de estos estados pueden deducirse de las formas de las líneas espectrales observadas en los espectros de emisión atómica. Cada vez que un estado excitado decae, la energía emitida es ligeramente diferente y, por tanto, la línea de emisión se caracteriza por una distribución de frecuencias espectrales (o longitudes de onda) de los fotones emitidos. En consecuencia, todas las líneas espectrales se caracterizan por su anchura espectral. La energía media del fotón emitido corresponde a la energía teórica del estado excitado y da la localización espectral del pico de la línea de emisión. Los estados de vida corta tienen anchos espectrales amplios y los estados de vida larga tienen anchos espectrales estrechos.